《数学分析》第十九讲 定积分在几何方面的应用（二）

第七章定积分 第七章定积分 (The definite integration 第十九讲定积分在几何方面的应用 课后作业: 阅读:第七章7.1:72,7.3:pp198-210: 预习:74:pp.211--215;75:215--219 作业:pp.201-202:习题7.1:1,(1),(8);2;4;6;7;8(2);10. pp210--211:习题72:2;4;5;9;10;13. 习题2(2);4;6;9 7-1定积分在几何方面的应用 7-1-1定积分应用的两种思想 定积分问题的持征: 定积分量F是区间I的函数:F(),具有对区间的可加性 ,若l1和2内部之交为空集,则有 F(1∪l2)=F(1)+F(2) 解决定积分问题的两种思路 元素相加法:利用定积分定义一个量 (1)分小取近似M≈f(2Ax (2)求和取极限 =m∑f()x=f(x)dx 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1)分小取微分:M≈d=f(x (2)积分求增量:I=f(x)x=F(b)-F(a) 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 第十九讲 定积分在几何方面的应用 课后作业： 阅读：第七章 7.1: 7.2, 7.3: pp198---210; 预习：7.4: pp. 211---215; 7.5: 215---219 作业: pp.201---202: 习题 7.1: 1, (1), (8); 2; 4; 6; 7; 8(2); 10. pp.210---211: 习题 7.2: 2; 4; 5; 9; 10; 13. 习题 2(2); 4; 6; 9 7-1 定积分在几何方面的应用 7-1-1 定积分应用的两种思想 ⚫ 定积分问题的持征： 定积分量 F 是区间 I 的函数: F(I) ，具有对区间的可加性: 即，若 1 I 和 2 I 内部之交为空集, 则有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 F I I = F I + F I 。 ⚫ 解决定积分问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 (1) 分小取近似: ( )i i I  f  x ; (2) 求和取极限:   =  = = → b a n i I lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1) 分小取微分: I  dI = f (x)dx ; (2) 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) b a = = − 

第七章定积分 7-1-2定积分在几何方面的应用-求平面图形的面积 1平面图形的面积是什么? 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为G,通常做法是用两种多边形P和Q,其面积分别 为Sp,Sa,使得: PCGcO:取 S.=Sp(S)最小上界:S=m/(S。)最大下界 如果有S,=S"=S,显然可认为图形G的面积是S 2)各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: AS≈|f(x)-g(x)△x f(x) S=(x)-g(x), glx) 其中,b≥a 在参数方程表示下: d x! lx+4x b y=f( x(t) y() S=∫yd=f(x(O)x( 在极坐标系下: pd\41 △S≈p2(p)p;a≤φ≤B S=,( 3)例 S 例1:双曲线,x2-y2=a2 求双曲线弧MNPM 所围图形的面积。 2 dx 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 7-1-2 定积分在几何方面的应用---求平面图形的面积： 1)平面图形的面积是什么？ 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为 G ，通常做法是用两种多边形 P 和 Q , 其面积分别 为 S P SQ , , 使得 : P  G  Q : 取 ( ) P P S* = Sup S 最小上界； ( ) Q Q S = Inf S * 最大下界。 如果有 S = S = S * * , 显然可认为图形 G 的面积是 S . 2)各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： S  f (x) − g(x)x ; S f x g x dx b a = ( ) − ( ) , 其中， b  a 在参数方程表示下： ( ) ( )  ( )   = = = y y t x x t y f x : , S = y dx f x t x (t)dt t t b a =     2 1 ( ( )) 在极坐标系下：    ( ) 2 2 1 S ;       ( )    S d  = 2 2 1 3) 例 例 1 : 双曲线, 2 2 2 x − y = a , 求双曲线弧 MNPM 所围图形的面积。  = − x a S x a dx 2 2 1 2 因  x − a dx 2 2 = (x x − a − a (x + x − a ))+ C 2 2 2 2 2 ln 2 1 y y=f(x) ΔS y=g(x) a x x+Δx b 0 x  = () dρ d Δl d ρ y M 0 N x a x P S 1

第七章定积分 S=2∫√x2- adr=xy-a'In/tvr'-a 所求面积S=xy-S1=a2hx+y xty 由x 解出 特别是当a=1时 S (2+a-+h(v+y+a)-y 该结果不 对!是 2hy+√y2 y4-a a n(+1+hv+y2+)y2) 此时 这就是叫做双曲函数的原因 ly=sh(S) 而园 x=cost=cos(S。) 所以三角函数又叫圆函数 S 第乜

第七章 定积分 第七章 定积分 = − x a S x a dx 2 2 1 2         + − = − a x x a x y a 2 2 2 ln       + = − a x y x y a ln 2 所求面积 a x y S xy S a + = − = ln 2 1 进一步： a x y S a + = ln 2  2 a S x + y = a e , 由 2 2 2 x − y = a  2 a S x y a e − − = ; 解出：                = − =        = + =  − − 2 2 2 2 2 2 2 2 a S a sh e e y a a S a ch e e x a a S a S a S a S . 特别是当 a =1 时, ( )   = + − = x S y a y dy 0 2 2 2 ( ( ) ) x y y a a y y a y 0 2 2 2 2 2 2 = + + ln + + − = y y a a ln (y y a ) y a ln a 2 2 2 2 2 2 2 + + + + − − . ( ( ) ) 2 1 lim lim 1 ln 2 2 2 = + + + + − = →  → S y y y y y y y . 此时， ( )  ( )   = = y sh S x ch S , 这就是叫做双曲函数的原因。 而园    = = = = sin sin ( ) cos cos( ) o o y t S x t S , 所以三角函数又叫圆函数。 该结果不 对！是  y M N 0 a x x P S y 0 x 1 So t

第七章定积分 例2:(ax)+(by)=(c)5 s/ar X=—cos"t 0.25 c2=a2-b2,椭圆渐屈线所围面积。 a=3:b=2时椭圆渐屈线的图像 解:S=4 cos tsin t dt sin t 12c4(31 5·3·1 3 例3,求叶形线x3+y3=3axy在第一象限中的面积。 化成极坐标 x=pcos asin p co,0≤0 snq+cosφ lo do=23 13(3a do Sin (2+ cOS a=3时叶形线的图像 设t=1gq,利用广义积分可得 S 9af tdt 3 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 例 2: ( ) ( ) ( )3 4 3 2 3 2 a x + b y = c 1 3 2 2 3 2 2  =       +       c b y c a x         = = t b c y t a c x 3 2 3 2 sin cos , 2 2 2 c = a − b , 椭圆渐屈线所围面积。 a = 3;b = 2 时椭圆渐屈线的图像 解：  =  2 0 2 2 3 2 cos sin 3 4 sin  t t dt a c t b c S ( )  = − 2 0 4 2 4 sin 1 sin 12  t t dt ab c = ab c ab c 8 3 6 4 2 2 5 3 1 4 2 2 12 3 1 4 4     =            −    例 3, 求叶形线 x y 3axy 3 3 + = 在第一象限中的面积。 化成极坐标。    = =     sin cos y x , 2 , 0 sin cos 3 sin cos 3 3          + = a . S =           + = 2 0 2 3 3 2 0 2 sin cos 3 sin cos 2 1 2 1          d a d a = 3 时叶形线的图像 设 t = tg , 利用广义积分可得： S = ( ) ( ) 2 3 31 1 lim 2 9 2 1 9 2 0 3 2 0 2 3 2 2 a t a t a t dt b b = + − = + →= +  . 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 0.5 1 1.5 2 2.5 1 2 3 4 1 2 3 4

第七章定积分 7-1-3定积分在几何方面的应用-求曲线的弧长 1,曲线的长度是什么? 封闭曲线的弧长可作为其内折线长, 在子弧最大直径趋于零时的极限 2,各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: △l≈√(△x)2+(4y)2; Ff(r) dy L dx dx 在参数方程表示下: L=∫V)+(d L=∫x)+)d t1≤tst2 在极坐标系下 M≈√(mp+(△); L=CV(0)+((o)d ≤φ≤B 3)例 例1,悬链线y=ach 的弧长 2 ∫√+((x)th=-J 例2,星形线 x= acos t 的弧长 y=asin I L=d)+(dy)= 2 a sin t cos tdt = 6a 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 7-1-3 定积分在几何方面的应用---求曲线的弧长： 1, 曲线的长度是什么？ 非封闭曲线的弧长可作为其内折线长, 在子弧最大直径趋于零时的极限。 2, 各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： ( ) ( ) 2 2 l  x + y ; x x y          = + 2 1 dx dx dy L b a       = + 2 1 在参数方程表示下： ( )  ( )   = = y y t x x t , ( ) ( )  = + b a L dx dy 2 2 ( ) ( )  =  +  2 1 2 2 t t L xt xt dt 1 2 t  t  t 在极坐标系下： ( ) ( ) 2 2 l   +  ;  () ( ())    L d  = +  2 2 ,      3)例: 例 1, 悬链线 2 a x a x e e a a x y a ch − + = = 的弧长. ( )        =       =      = +  =   a x a sh a x dx a sh a x L y x dx ch x x x 0 0 0 2 1 ( ) . 例 2, 星形线     = = y a t x a t 3 3 sin cos 的弧长. ( ) ( )  = + b a L dx dy 2 2 =  = 2 0 4 3 sin cos 6  a t tdt a y y=f(x) dl 0 x x+dx x  = () dρ d Δl d ρ

第七章定积分 例3,椭圆+,=1的弧长 (容易计算椭园面积是:S=4yx)dx=mab) x= a cost √a2+b2 用参数方程 y=bsn t /x )+(x=va2cos2t+b2 L=4a I-s sin I dt =4aE s, T 其中E(g)=y-esin2g叫椭园积分 例4,蜗线p=acosφ+b的弧长 P2(o+(p'lo)=a2+2ab cos o+b2 4ab (a+b)2 L=(0)+(() do 4ab sint dt 。V(a+b) b 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 例 3, 椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的弧长. ( 容易计算椭园面积是： S y x dx ab a = =   0 4 ( ) .) 用参数方程    = = y b t x a t sin cos , a a b 2 2 +  = (x ) (x ) a t b t t t 2 2 2 2 2 2  +  = cos + sin a t 2 2 = 1− sin .       = − =  2 4 1 sin 4 , 2 0 2 2     L a t dt aE 其中 ( )  = −       0 2 2 E , 1 sin d 叫椭园积分。 例 4, 蜗线  = a cos + b 的弧长. ( ) ( ( )) 2 2 2 2   +   = a + 2abcos + b = ( ) ( )         + + − 2 sin 4 1 2 2 2  a b ab a b  () ( ())    L d  = +  2 2 = ( ) ( )  + + −    0 2 2 2 sin 4 1 d a b ab a b = ( ) ( )  + + − 2 0 2 2 sin 4 2 1  t dt a b ab a b = ( )         + + 2 , 2 2  a b ab a b E

第七章定积分 7-1-4定积分在几何方面的应用一特殊图形的体积 若体积的截面积函数己知A=4(x),则 V=A(x)d 例,两个半径为的园柱体,其轴垂直相交, 求相交部分之体积 若两个园柱的半径不相同,则其相交部分体积 V1=8」√R2-x)2-x)t 令x=rsn,k= R V=8R[cos'v1-k2sin2 do 平面曲线y=f(x),绕x轴旋转一周而成的体积。 切片:d=A(x)kx=ry2dx →=「xyx=zf2(x)dtx 卷筒:d=2zyd=2zy(x2(y)-x,(y)k →V=「2ad=「2n(x2(y)-x()h 7-1-5定积分在几何方面的应用 平面曲线y=f(x),绕x轴旋转一周而成的表面积。 dS= 2T ydl s=2myd/=2rf (x)1+(v)dx 例,关于球的体积。面积的计算 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 7-1-4 定积分在几何方面的应用---特殊图形的体积: ⚫ 若体积的截面积函数己知 A = A(x), 则  = b a V A(x)dx . 例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交， 求相交部分之体积。 ( ) 3 0 2 2 3 16 V 8 r x dx r r  = − = 若两个园柱的半径不相同，则其相交部分体积 为： ( )( )  = − − r V R x r x dx 0 2 2 2 2 1 8 . 令 R r x = rsin , k =  = − 2 0 2 2 2 1 8 cos 1 sin  V Rr  k  d . ⚫ 平面曲线 y = f (x), 绕 x 轴旋转一周而成的体积。 切片: dV A(x)dx y dx 2 = =     = = b a b a V y dx f (x)dx 2 2   卷筒: dV 2 y ds 2 y (x ( y) x ( y))dy 2 1 =  =  −  ( ( ))   = = − b S a V x ds y x y x y dy 2 1 2 2 ( ) 7-1-5 定积分在几何方面的应用--- 平面曲线 y = f (x), 绕 x 轴旋转一周而成的表面积。 dS = 2 y dl ,  ( )   = = +  b AB a S y dl f x y dx 2 2 2 ( ) 1 例，关于球的体积。面积的计算 y A(x) x r r

第七章定积分 1,体积 切片 dv=ndx =「x(R2-x2 -R R 4R R 卷筒 dv=2D(2ydx) =|4m√R2-x2dx= -∫2rR2-xR2-x 包锥 d=2丌 2Rsin r2 Isin p do=R 2,球面面积 L=「2m√1+(0)2a △OAB~4pgB,∠pBq=∠OBA b dl d →dl=-ax OB AB R dS=2mdI=2rR dx=S=2 2rRdx=4zR 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 1, 体积: ⚫ 切片: dV y dx 2 =  , ( )  − = − R R V R x dx 2 2  = ( )  − R R x dx 0 2 2 2  = 3 4 3 2 3 3 3 R R R =         − ⚫ 卷筒 dV = 2x(2ydx),  = − R V x R x dx 0 2 2 4 = = ( )  − − − R R x d R x 0 2 2 2 2 2 ⚫ 包锥         =    d R R dV 3 2 2 sin 2 2 ,  =     0 3 sin 3 2 d R V = 3 3 4 R 2, 球面面积: ⚫ dS = 2y dl( )  − = +  R R L y y dx 2 2 1 OAB ~ pqB , pBq = OBA dx y R dl y dx R dl AB qB OB pB  =  =  = , dS = 2y dl = 2R dx 2 0 S 2 2 Rdx 4 R R  =  =   . y R x 2 + y2 =R2 -R 0 x x+△x R x -R y R x 2 + y2 =R2 △ -R 0  R y R p x 2 + y2 =R2 q B -R 0 x x+△x R A