微分学讨论题--1 1.设f(x,y)在点M(x,yo)可微,=i-j,u=-i+2如果 af(x,yo)=-2,=1,则f(x,y)在点M(x,)的微分是( af(xo,yo) ) ou 2.已知 (x+ay)dx+ ydy. (x+y)2 为某个二元函数的全微分,则a=() 3.设函数z=f(x,y)是由方程xyz+x2+y2+z=2确定的在点(1,0,-1)求d (dx-√2dy) 4.设f(x,y,z)=xy2+y2+zx2,求 f(,0f(0,2)f(0-10)f(201(2,00 oxr2 Oxdz ayoz axoz 5.求下列函数在指定点的全微分 (1)z= arctan+y,在任意点(x,y).(-ydx+22dy) x-y +y (2)z= arctan,求d(1,).((dx-dy)) 02u匹2) 6.设u=e-xsin,在点(2,)求 y π 9.按要求求下列曲面的切平面 (1)曲面x2+2y2+3z2=21的与平面x+4y+6z=0平行的切平面, (x+4y+6z=±21) x+2z=1 (2)曲面z=x2+y2的与直线{ 垂直的切平面,(2x+2y-z=2) y+2z=2 10.过曲面S:F(x,y,z)=2x2+3y2+z2=6上点P(1)处指向外侧的法向量为n, 求函数u=6x2+8y2 在点P处沿方向n的方向导数 解曲面S上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为 grad(,)=(4,y,2=(4,6,2)
微分学讨论题--1 1 ． 设 f (x, y) 在 点 ( , ) 0 0 M x y 可微， v i j u i j = − , = − + 2 。如果 1 ( , ) 2, ( , ) 0 0 0 0 = = − u f x y u f x y ，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 M x y 的微分是（ ） 2. 已知 2 ( ) ( ) x y x ay dx ydy + + + 为某个二元函数的全微分,则 a = ( ) 3． 设函数 z = f (x, y) 是由方程 2 2 2 2 xyz + x + y + z = 确定的,在点 (1,0,−1) 求 dz . （ dx − 2dy ） 4．设 2 2 2 f (x, y,z) = xy + yz + zx ，求 2 2 2 3 2 2 (2,0,1) , (0, 1,0) , (1,0,2) , (0,0,1) x z f y z f x z f x f − （ 2,2,0,0 ） 5．求下列函数在指定点的全微分 （1） x y x y z − + = arctan ，在任意点 (x, y).（ dy x y x dx x y y 2 2 2 2 + + + − ） （2） 2 1 arctan y x z + = ，求 dz(1,1) .（ ( ) 5 2 dx − dy ） 6.设 y x u e x sin − = ,在点 ) 1 (2, 求 x y u 2 .（ 2 ( ) e ） 9. 按要求求下列曲面的切平面 （1）曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 的与平面 x + 4y + 6z = 0 平行的切平面， （ x + 4y + 6z = 21 ） （2）曲面 2 2 z = x + y 的与直线 + = + = 2 2 2 1 y z x z 垂直的切平面，（ 2x + 2y − z = 2 ） 10． 过曲面 S : ( , , ) 2 3 6 2 2 2 F x y z = x + y + z = 上点 P(1,1,1) 处指向外侧的法向量为 n , 求函数 z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. 解 曲面 S 上点 P(1,1,1) 处指向外侧的法向量为 grad (1,1,1) (4 ,6 ,2 ) (4,6,2) f = x y z (1,1,1) =
单位法向量为n 3,1) 14 6x2+8 另一方面, 在点P处的三个偏导数为 On(P)60u(P)8an(P)。-14 6x2+8y 于是函数= 在点P处的梯度向量为658-14) ,该函数在点P处沿方 向n的方向导数为 为2= grad f(P)n=7 11.设∫"(x,y)存在,∫y(x,y)在点(x,y)处连续,证明f(x,y)在点(x,y)处可 分析:证明函数f(x,y)在某点可微的关键,是利用题目条件,将函数改变量 △=f(x0+△x,y0+4y)-f(x,%0)表示成A△x+B.Ay+a,其中当x2+y2→0 a与√x2+y2比较是高阶无穷小量.或者设法将表示成 AAx+B△y+a·△x+B.Ay,其中当x2+y2→0时,a→0,B→0 解 Af =f(o+Ax, yo + Ay)-f(o, yo) (1) f(xo +Ax, yo +Ay)-f(o +Ax, yo)+f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo) 因为f(x,y)在点(x0,y)连续,所以,根据一元函数的拉格朗日微分中值定理,有 f(xo+x,yo+△y)-f(xo+△x,y) ∫(xo+Ax,yo+的y)Ay=/(xo,yo)+(p)4y 其中,p=√4x2+1y2,B(p)为当p→0时的无穷小量 又由已知,∫2(x0,y)存在,根据偏导数定义,有 f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo) Ax-0 =f(xo, yo
单位法向量为 14 (2,3,1) n = . 另一方面, z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P 处的三个偏导数为 14 ( ) 6 = x u P , 14 ( ) 8 = y u P , 14 ( ) = − z u P . 于是函数 z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P 处的梯度向量为 14 (6,8,−14) ,该函数在点 P 处沿方 向 n 的方向导数为 = • = f P n n u grad ( ) 7 11 11． 设 ( , ) 0 0 f x y x 存在， ( , ) 0 0 f x y y 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续，证明 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可 微. 分 析 : 证明函数 f (x, y) 在 某 点 可 微 的 关 键 , 是 利 用 题 目 条 件 , 将 函 数 改 变 量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f = f x + x y + y − f x y 表示成 Ax + B y + ,其中当 0 x 2 + y 2 → 时 , 与 2 2 x + y 比 较 是 高 阶 无 穷 小 量 . 或 者 设 法 将 f 表示成 Ax + B y + x + y ,其中当 0 x 2 + y 2 → 时, → 0, → 0 . 解 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y f x x y f x x y f x y f f x x y y f x y = + + − + + + − = + + − (1) 因为 f (x, y) y 在点 ( , ) 0 0 x y 连续，所以，根据一元函数的拉格朗日微分中值定理，有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y + y − f x + x y f x x y y y f x y y = y ( 0 + , 0 + ) = [ y ( 0 , 0 ) + ()] (2) 其中， 2 2 = x + y ， () 为当 → 0 时的无穷小量. 又由已知， ( , ) 0 0 f x y x 存在，根据偏导数定义，有 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x y x f x x y f x y x x = + − →
根据有极限函数和无穷小量的关系,得到 (+4,y)-/(xM)=r(xn,)+a(A) 其中,a(4x)是当4x→>0时的无穷小量 f(x+x,y)-f(x0,y)=fx(x0,y0)·4x+a(4x)·4x 将(2),(3)式代入(1)式,得到 fr(o, yo). Ax+fy(xo, yo) 因为当x2+y2→>0时,a(Ax)和B(P)都是无穷小量,所以根据函数在一点可微性定义推 出f(x,y)在点(x,y)处可微 (1,y)=sny,求〓(x,y) 分析利用公式f(x,y)=了a+g(y),其中g(y)为待定函数,可以利用条件 二(1, y求g(y) ∫dx+g(y) In(1-xy)+g(y) 当x=1时,z(1,y)=sny--h(1-y)+g().利用题目条件(,y)=siy得到 sny--h(1-y)+g(y)=sny.于是g(y)=-h(1-y),最后求得 xsin y--In(1-xy)+-hn(1-y) 13.设二=f(x,y)在点(a,a)可微,f(a,a)=a 令ox)=f(x,f(x,f(x,x),求g2(x)=a 分析用f和f2分别表示函数∫对于第一个变量和第二个变量的偏导数理清函数的复合 关系 解利用复合函数微分法则求导数
根据有极限函数和无穷小量的关系，得到 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 f x y x x f x x y f x y x = + + − 其中， (x) 是当 x →0 时的无穷小量. 即 f x x y f x y f x y x x x ( 0 + , 0 ) − ( 0 , 0 ) = x ( 0 , 0 ) +( ) (3) 将(2),(3)式代入(1)式,得到 f f x y x f x y y x x y = x ( 0 , 0 ) + y ( 0 , 0 ) +( ) + () 因为当 0 x 2 + y 2 → 时, (x) 和() 都是无穷小量,所以根据函数在一点可微性定义推 出 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微. 12． 设 z = z(x, y) , xy y x z − = + 1 1 sin , z(1, y) = sin y ,求 z(x, y) . 分 析 利用公式 ( , ) dx g( y) x f f x y + = , 其 中 g( y) 为待定函数 , 可 以 利用条件 z(1, y) = sin y 求 g( y) . 解 dx g( y) x z z + = ln(1 ) ( ) 1 sin xy g y y = x y − − + 当 x =1 时, ln(1 ) ( ) 1 (1, ) sin y g y y z y = y − − + .利用题目条件 z(1, y) = sin y 得到 y g y y y y ln(1 ) ( ) sin 1 sin − − + = .于是 ln(1 ) 1 ( ) y y g y = − ,最后求得 ln(1 ) 1 ln(1 ) 1 sin y y x y y z = x y − − + − 13． 设 z = f (x, y) 在点 (a, a) 可微, b y f b x f f a a a a a a a = = = ( , ) ( , ) ( , ) , , . 令 (x) = f (x, f (x, f (x, x))) ,求 x a x dx d = ( ) 2 分析 用 1 f 和 2 f 分别表示函数 f 对于第一个变量和第二个变量的偏导数.理清函数的复合 关系. 解 利用复合函数微分法则求导数:
q2(x)=2q d d (x)=f1+f2,f(x,f(x,x) 其中 f(x,f(, x))=f+f2(+f2) 于是 d(x)=20(x+/(+/(+/ 当x=a,y=a时,代入题目条件:o(a)=f(a,f(a,f(a,a))=a,f(a,a)=b, f2(a,a)=b.得到 x=0=2a(b+b2+2b) 14.例3(8806)设=Jf(-)+xg(-),其中∫,g有连续的二阶导数,求 a2u a2u 解令=x,w=2,则 yf+g-2g (f+g-2g) ∫”+g·(-) x28x8(-3)=1 g y a-u )=f”(-2)+8(-)-g2-.g 于是x 0 axon
( ) 2 ( ) ( ) 2 x dx d x x dx d = ( ) ( , ( , )) 1 2 f x f x x dx d x f f dx d = + 其中 ( , ( , )) ( ) 1 2 1 2 f x f x x f f f f dx d = + + 于是 ( ) 2 ( )[ ( ( ))] 1 2 1 2 1 2 2 x x f f f f f f dx d = + + + 当 x = a, y = a 时 , 代 入 题 目 条 件 : (a) = f (a, f (a, f (a,a))) = a , f1 (a,a) = b , f2 (a,a) = b.得到 x a x dx d = ( ) 2 2 ( 2 ) 2 3 = a b + b + b 14. 例 3 (88106) 设 ( ) ( ) x y xg y x u = yf + , 其 中 f , g 有 连 续 的 二 阶 导 数 , 求 x y u y x u x + 2 2 2 解 令 x y w y x v = , = ,则 g x y yf g x u = + − ( ) ( ) 2 2 g x y f g x x f x x u + − = = g x y f x y y g x y g x y x y g y = f + − + − − = + 3 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 g x y f y x x g x y g x x g y x f x u x y y u = − + − − = − + = 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( 于是 x y u y x u x + 2 2 2 = 0
多元微分讨论题 1.说明下列各组命题之间的逻辑关系 (1)f(x,y)在点M(x,y)存在所有方向导数; 1∫(x,y)在点M(x0,y)存在所有偏导数。 (2)f(x,y)在点M(x,y0)可微 ∫(x,y)的所有偏导数在点M(x,yo)连续。 (3)lf(x,y)在点M(x0,y0)可微; f(x,y)点M(x0,y)连续。 (4)f(x,y)在点M(x0,y)存在所有方句导数; ∫(x,y)点M(xo,y)连续。 (x+y)sin x+y≠ 2.设f(x,y)= (1)凭直观判定f(x,y)在点(0,0)的偏导数是否存在,是否可微。然后用最少的话对于可 微的结论给出简要证证明。 (结论:在点(0,0)以及任意一点有偏导数∫(x,y),f”(x,y)函数f(x,y)在点(0,0)处可 微) (2)讨论偏导数厂(x,y)和f”(x,y)在点(0,0)处是否连续。 证(1)当x2+y2≠0时,有 f(x,y)=2xsin +(x2+y2)cos-22 2xsin 同理可得 ∫"(x,y)=2Ji~1 2y coS 当x2+y2=0时,有
多元微分讨论题 --------------------------------------------- 1．说明下列各组命题之间的逻辑关系： （1） f (x, y） 在点 ( , ) 0 0 M x y 存在所有方向导数； f (x, y） 在点 ( , ) 0 0 M x y 存在所有偏导数。 （2） f (x, y） 在点 ( , ) 0 0 M x y 可微； f (x, y） 的所有偏导数在点 ( , ) 0 0 M x y 连续。 （3） f (x, y） 在点 ( , ) 0 0 M x y 可微； f (x, y） 点 ( , ) 0 0 M x y 连续。 （4） f (x, y） 在点 ( , ) 0 0 M x y 存在所有方向导数； f (x, y） 点 ( , ) 0 0 M x y 连续。 2. 设 + = + + + = 0 , 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y （1）凭直观判定 f (x, y) 在点 (0,0) 的偏导数是否存在，是否可微。然后用最少的话对于可 微的结论给出简要证证明。 （结论：在点 (0, 0) 以及任意一点有偏导数 f (x, y) x , f (x, y) y 函数 f (x, y) 在点 (0, 0) 处可 微） （2） 讨论偏导数 f (x, y) x 和 f (x, y) y 在点 (0, 0) 处是否连续。 证 (1)当 0 2 2 x + y 时,有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 2 2 sin ] ( ) 2 [ 1 ( ) cos 1 ( , ) 2 sin x y x y x x y x x y x x y x y x y f x y x x + + − + = + − + + + + = 同理可得 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 2 ( , ) 2 sin x y x y y x y f x y y y + + − + = 当 0 2 2 x + y = 时，有
∫(x,0) :(0.0)=如(x,0)-f(0.0)=mxsr3s0 同理可得f,(0,0)=0 所以,f(x,y)在点(0,0)的邻域内有偏导数f(x,y)和fy(x,y) (2)考察极限 limf'(x, y)=lim(2xsn -2 cOS 当动点(x,y)沿直线y=x趋向于点(0,0)时,有 =lim 2xsin 但是 2x COS =lim -cos 不存在所以,imf(x,y)不存在,因而f(x,y)在点(0,0)处不连续 同理可证,∫”(x,y)在点(0,0)处不连续 (3)如果当(x,y)→>(0,0)时, f(xy)-/(00-(2 dx k(o,o)x+ ax lo,o)y) 等于o(√x2+y2),就能够判定f(x,y)在(00)的(全)微分存在 注意到厂(0,0)=fy(0,0)=0,所以 f(x,y)-f(0,0)-xf20.0)-yfy(0.0) =lim x2+y2.sin 因此f(x,y)-f(0,0)-( ar(0ox+x00y)=o(√x2+y2).从而函数f(x,y)在点 (0,0)处可微 2.l=xf(x,-),其中∫(x,y)有连续的二阶偏导数。求
2 2 1 ( , 0) sin x f x = x . 0 1 lim sin ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim 2 0 0 = = − = → → x x x f x f f x x x . 同理可得 f y (0, 0) = 0 . 所以， f (x, y) 在点 (0, 0) 的邻域内有偏导数 f (x, y) x 和 f (x, y) y . （2）考察极限 ) 1 cos 1 2 lim ( , ) lim (2 sin 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 x y x y x x y f x y x y x x y x + + − + = → → → → 当动点 (x, y) 沿直线 y = x 趋向于点 (0, 0) 时，有 0 2 1 lim 2 sin 1 lim 2 sin 2 0 2 2 0 0 = = + → = → → x x x y x x y x x 但是 2 0 2 2 2 2 0 0 2 1 cos 1 lim 1 cos 2 lim x y x y x x x x y x x → = → → = + + 不存在.所以， lim ( , ) 0 0 f x y x y x → → 不存在，因而 f (x, y) x 在点 (0, 0) 处不连续. 同理可证， f (x, y) y 在点 (0, 0) 处不连续. （3）如果当 (x, y) → (0,0) 时, f (x, y) − f (0,0) ( ) (0,0) (0,0) y y f x x f + − 等于 ( ) 2 2 o x + y ,就能够判定 f (x, y) 在 (0,0) 的(全)微分存在. 注意到 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 ，所以 0 1 lim sin ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) lim 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 = + = + + − − − → → → → x y x y x y f x y f xf yf y x x y y x 因此 f (x, y) − f (0,0) ( ) (0,0) (0,0) y y f x x f + − ( ) 2 2 = o x + y .从而函数 f (x, y) 在点 (0, 0) 处可微. 2． ( , ) x y u = xf x ，其中 f (x, y) 有连续的二阶偏导数。求 x y u 2
f(x.2)+xf+f2(-)=f+-2f a-u au [f+X/1-f21]=f2 f2-2·f2 y 3.设x-a=f(y-b-),其中∫(x,y)可微,求a-+b=? 解:设F(x,y,)=x-a-f(y-b-),则 az ax ay -f bf 于是a+b= ay a-bf 4.在曲线L:x=1,y=12,z=13求一点,使得该点的切线平行于平面x+2y+z=4。 答案:(-1-111 +y2+22=6 5.求曲线L 在点(1,1,2)处的切线合法平面。 答案:切线 x-1y-1-0 6.求函数f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5在点(1)的二阶泰勒多项式 7.周长等于2a的矩形绕其一边旋转得到的旋转体体积的最大值是多少? 解:设矩形场合款分别为x,y。矩形绕x周选一周得到的体积等于V(x,y)=mxy2。 约束条件为x+y=a。答案:x=,y=2 8.设u=f(x,y,1)x2+y2+t=1。求 解:(1)如果将u看作x,t的函数,则 atat ay at at ay y
解： 1 2 2 1 2 ( , ) [ ( ) f x y f xf x y x f f x y f x x u = + + − = + − x f x y f x x x f x f f x y f xf y u x y u 1 1 1 1 [ ] 1 2 2 1 2 2 2 2 2 + − = + − − = 122 2 22 f x y = f − 3.设 x − az = f ( y − bz) ，其中 f (x, y) 可微，求 = ? + y z b x z a 解：设 F(x, y,z) = x − az − f ( y − bz) ，则 a bf z F x F x z − = = − 1 ， a bf f z F y F y z − − = = − 于是 y z b x z a + a bf a − = = 1 − − a bf bf 4．在曲线 2 3 L : x = t, y = t ,z = t 求一点，使得该点的切线平行于平面 x + 2y + z = 4 。 答案： ) 27 1 , 9 1 , 3 1 (−1,1,−1),(− − 。 5．求曲线 = + + + = 2 2 2 2 2 6 : z x y x y z L 在点 (1,1,2) 处的切线合法平面。 答案：切线： 0 0 1 1 1 1 − = − − = − x − y z 6．求函数 ( , ) 2 6 3 5 2 2 f x y = x − x y − y − x − y + 在点 (1,1) 的二阶泰勒多项式。 7．周长等于 2a 的矩形绕其一边旋转得到的旋转体体积的最大值是多少？ 解：设矩形场合款分别为 x, y 。矩形绕 x 周选一周得到的体积等于 2 V(x, y) = xy 。 约束条件为 x + y = a 。答案： 3 a x = ， 3 2a y = 。 8．设 ( , , ), 1 2 2 2 u = f x y t x + y + t = 。求 t u 。 解：（1）如果将 u 看作 x,t 的函数，则 t u y t y f t f t y y f t f − = + =
(1)如果将u看作y,t的函数,则 at at ax at at f(x,y) x=y,求2a 解:u,v和x,y的函数关系由方程组 xu-y=0 确定。由隐函数微分法得到 两个方程对于u求偏导数得到 ax ay x+u 0 ax ay 由此解出 两个方程对于ν求偏导数得到 2y2=0 ax a 由此解出 然后利用复合函数微分法则=.+2
（1）如果将 u 看作 y,t 的函数，则 t u x t x f t f t x x f t f − = + = 8． z = f (x, y) ， v xy x y u = , = 2 ，求 v z u z , 。 解： u, v 和 x, y 的函数关系由方程组 − = − = 0 0 2 xy v xu y 确定。由隐函数微分法得到 两个方程对于 u 求偏导数得到 = + = − + 0 2 0 u y x u x y u y y u x x u 由此解出 u y u x , 。 两个方程对于 v 求偏导数得到 − = + = − + 1 0 2 0 v y x v x y v y y v x x v 由此解出 v y v x , 。 然后利用复合函数微分法则 u y f u x f u z + = 1 2
