《数学分析》第六讲 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式

第二章多元函数微分学 第二章第五节 微分学在几何方面的应用及多元函数的 Taylor公式 课后作业 阅读:第二章第四节43:pp56--58;第五节5.2:pp.60-63 预习:第二章第五节52:pp.60--63 作业:第二章习题4:pp.59-60 6,(3),(5);7,(1),(2);8;10;12;13. 补充:,求函数f(x,y)=1-x2-y2在00)点的二阶带 格伦日余项的 Taylor公式 2,求函数f(x,y)=x32+y3+z3-3xy=在P(1)点的 三阶带拉格伦日余项的 Taylor公式 第六讲微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式 2-5-1空间曲线和曲面的光滑性 (1)空间曲线的切线 设C是R3空间中的一条曲线, 其参数方程( parameter equation 为y=y(1)(a≤t≤B 二=(1) 若记F=(x,y,二) 曲线C的参数方程又可以写作 F=f(t)=(x()y(o)x()y;(a≤t≤B 当参数t表示时间时,上述方程组或向量函数可以看成表示的是质 点的运动规律;这时曲线C表示的就是质点的运动轨迹 设P(x,y0,二0)=P(x(t)y(n)=()为曲线C上的一点,在C上任 取另外一点Q(x(),y(t),z(1)),过P,Q两点作割线PQ,则此割线 的一个方向向量为 (n)=(x0)-x)uo)-yn)=0)-=() 如果函数x=x(1),y=y(1),x=()都在t=1o处可导,那么 当t→to时,向量v,t0)就趋向于极限向量v(to) v(t0)=lmv(,)=P(n)=(x(n)y(0),z(n0) 当x(t0)2+y(to)2+(10)2≠0时 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 第二章 第五节 微分学在几何方面的应用及多元函数的 Taylor 公式 课后作业： 阅读：第二章 第四节 4.3 : pp. 56---58; 第五节 5.2: pp. 60---63 预习：第二章第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题 4: pp. 59---60 : 6, (3), (5); 7, (1), (2) ; 8; 10; 12; 13. 补充：1, 求函数 2 2 f (x, y) = 1− x − y 在 (0,0) 点的二阶带 格伦日余项的 Taylor 公式。 2, 求函数 f (x, y) x y z 3xyz 3 3 3 = + + − 在 P(1,1,1) 点的 三阶带拉格伦日余项的 Taylor 公式。 第六讲 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 2-5-1 空间曲线和曲面的光滑性 (1) 空间曲线的切线 设 C 是 R 3 空间中的一条曲线， 其参数方程 (parameter equation) 为 ( ) ( ) ( ) ( )          = = = t z z t y y t x x t 若记 T r = (x, y,z)  ， 则曲线 C 的参数方程又可以写作 r = r(t) = (x(t) y(t) z(t)) ; (  t  )   T 当参数 t 表示时间时，上述方程组或向量函数可以看成表示的是质 点的运动规律；这时曲线 C 表示的就是质点的运动轨迹. 设 ( ( ) ( ) ( )) 0 0 0 0 0 ( , , ) , , 0 P x y z = P x t y t z t 为曲线 C 上的一点，在 C 上任 取另外一点 Q(x(t ), y(t ),z(t ))，过 P,Q 两点作割线 PQ , 则此割线 的一个方向向量为 ( ) ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 t t z t z t t t y t y t t t x t x t v t t − − − − − − =  如果函数 x = x(t), y = y(t),z = z(t) 都在 t = t0 处可导，那么 当 t →t0 时，向量 ( ) 0 v t,t  就趋向于极限向量 ( ) 0 v t  ( ) ( ) T t t v t lim v t,t r (t ) (x (t ), y (t ),z (t )) 0 0 0 0 0 0 0 = =  =    →    当 ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 0 2 x  t0 + y  t + z  t  时

第二章多元函数微分学 则称非零向量v(n)=r()=(x(t0,y(0,=(n)为曲线C在点P 处的切向量( tangent vector) 经过点P并且以v()为方向向量的直线称为曲线C在点P处的切 线( tangent line),其参数方程是 x=x0+x'(t0)(t-10) x=y0+y(10Xt-t0) 二=z0+(10)(t-t0) 另外,过点P并且垂直于曲线C在该点切线的平面称为曲线C在 点P处的法平面( normal plane),它的(点法式)方程为 x(10x-xo)+y(oy-y)+=(o(z-=0)=0 例1求螺线{y=asnt:(a>0,c>0) C 在点M(a,a,)处的切线与法平面 解由于点M对应的参数为to=z,所以螺线在M处的切向量是 v=(x()y(z,x(z)=(=g,g,c) 2 因而所求切线的参数方程为{=+三 法平面方程为 2(x-)+2(”-)+=-4=0 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线,因此,从方程形式上 讲,曲线除了具有参数方程外,还具有一般方程(隐函数形式),关于 曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论 (2)空间曲面的切平面 (A)空间曲面的三种表示: 显函数表示: f(x,y) 隐函数表示 F(x,y,)=0 参数方程表示:双参数 x=r(u, y=yu, v) 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 则称非零向量 ( ) ( ) T v t r (t ) x (t ), y (t ),z (t ) 0 0 0 0 0 =  =     为曲线 C 在点 P 处的切向量(tangent vector). 经过点 P 并且以 ( ) 0 v t  为方向向量的直线称为曲线 C 在点 P 处的切 线(tangent line)，其参数方程是      = +  − = +  − = +  − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z z t t t x y y t t t x x x t t t 另外，过点 P 并且垂直于曲线 C 在该点切线的平面称为曲线 C 在 点 P 处的法平面(normal plane)，它的（点法式）方程为 ( )( ) ( )( ) ( 0 )( 0 ) 0 0 0 0 0 x  t x − x + y  t y − y + z  t z − z = 例 1 求螺线      = = = z ct y a t x a t sin cos ； (a  0,c  0) 在点 ) 4 , 2 , 2 ( a a c M  处的切线与法平面. 解 由于点 M 对应的参数为 4 0  t = ，所以螺线在 M 处的切向量是 , ) 2 , 2 )) ( 4 ), ( 4 ), ( 4 ( ( c a a v x y z − =    =    因而所求切线的参数方程为          = + = + = − , 4 , 2 2 , 2 2 z c ct t a a y t a a x  法平面方程为 ) 0 4 ) ( 2 ( 2 ) 2 ( 2 − − + − + c z − c = a y a a x a  . 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线，因此，从方程形式上 讲，曲线除了具有参数方程外，还具有一般方程（隐函数形式）,关于 曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论. (2) 空间曲面的切平面 (A) 空间曲面的三种表示： ⚫ 显函数表示： z = f (x, y) ⚫ 隐函数表示: F(x, y,z) = 0 ⚫ 参数方程表示: 双参数 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , ,

第二章多元函数微分学 (B)空间曲面的切平面: 下面讨论两个问题 其一,曲面在一点的切平面是如何定义的? 其二,如何求曲面上在一点的切平面方程 定义设S是一张空间曲面,P是S上的一点,若所有过P且在 曲面S上的曲线在P处的切线共面,则称此平面为曲面S在P处 的切平面( tangent plane);过P且与切平面垂直的直线称为曲面 S在P处的法线( normal line) 切平面的定义可以有好几种,我们之所以用这一定义,是因为,这 是根据曲面的固有性质,与其方程形式没有关系 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念 另外,还有一种较好的定义:设S是一张空间曲面,M是S上的 点,丌是过M点的一张平面,曲面S上任一点Q到平面的距离为 d(Q),若Q→M时,山Q)=opM,则称此平面为曲面S在M处 的切平面 (i)切平面的方程 首先讨论:如果曲面S的切平面的存在,其切平面的方程是什么? 显然,这与曲面的方程表示有关 若曲面S由显函数表示z=f(x,y) 因为,所有在曲面S上过Px,y)的曲线在P处的切线都在切平面 =0 丌上→曲线C={y=y和C2={y=0的切线在x上 z=f(x,y) :=f(, y) 平面丌的法向 =lx12=0 ar(x,y)ar(x,y)o(x afrl →曲面S过P(x0,y0)切平面方程: af(xo, yol(x af(o )+0(y-yn) 其中,z0=f(x0,y) 法线方程是 y-yo (x0,y0)-a/(x0,y0) 接着要研究:函数满足什么条件时,其切平面存在? 若曲面S由显函数表示z=f(x,y)在点p(x,y)可微,则曲面S 在点p(xa,y0)有不平行z轴的切平面 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 (B)空间曲面的切平面： 下面讨论两个问题: 其一, 曲面在一点的切平面是如何定义的？ 其二, 如何求曲面上在一点的切平面方程？ ⚫ 定义 设 S 是一张空间曲面， P 是 S 上的一点，若所有过 P 且在 曲面 S 上的曲线在 P 处的切线共面，则称此平面为曲面 S 在 P 处 的切平面(tangent plane)；过 P 且与切平面垂直的直线称为曲面 S 在 P 处的法线(normal line). 切平面的定义可以有好几种，我们之所以用这一定义，是因为，这 是根据曲面的固有性质，与其方程形式没有关系. 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念。 另外，还有一种较好的定义：设 S 是一张空间曲面， M 是 S 上的 一点，  是过 M 点的一张平面, 曲面 S 上任一点 Q 到平面的距离为 d(Q), 若 Q → M 时， d(Q)= o(QM ), 则称此平面为曲面 S 在 M 处 的切平面 (i) 切平面的方程 首先讨论：如果曲面 S 的切平面的存在，其切平面的方程是什么？ 显然，这与曲面的方程表示有关。 若曲面 S 由显函数表示 z = f (x, y)： 因为，所有在曲面 S 上过 P(x, y) 的曲线在 P 处的切线都在切平面  上  曲线 ( )      = = = = z f x y y y x C , 0 1 和 ( )      = = = = z f x y y x x C , 2 0 的切线在  上  平面  的法向: ( ) ( ) ( ) ( )         −     =     =  = 1 , , , 1 0 , 1 2 0 1 y f x y x f x y x f x y y f x y i j k n l l        曲面 S 过 ( ) 0 0 0 P x , y 切平面方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , y y y f x y x x x f x y z z −   − +   = + , 其中， ( ) 0 0 0 z = f x , y 法线方程是 ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − =   − =   − z z y f x y y y x f x y x x 接着要研究：函数满足什么条件时，其切平面存在？ 若曲面 S 由显函数表示 z = f (x, y) 在点 ( ) 0 0 p x , y 可微, 则曲面 S 在点 ( ) 0 0 p x , y 有不平行 z 轴的切平面

第二章多元函数微分学 x(t0) 证:若曲线L:{y=y)是曲面S上过点P=|y =f(x()y() 0)(=(n) 其中=0=f(x()y(0)的光滑曲线,即函数x()y()在t0可导。 现在要证明,此曲线L过P的切线在平面丌 9(cn(-x)+91x,y1-y)-(-)=0 上。其法线方向是:成()= af(p) a(p) 事实上,曲线L在P处的切线向量是 f()=|x)yt) af(p) f( ax x(o)+y(o 显然有:成(t0)(t0)=0→()⊥r() 即:曲线L过P的切线在平面丌。上 实际上,函数表示z=f(x,y)在点p(xny0)可微是曲面S在点 p(x0,y0)有不平行z轴的切平面的充分必要条件。 (ii)用隐函数和参数方程表示的曲面S的切平面方程: 若曲面S由隐函数F(x,y2)=0表示, 过P的曲线为:{y=y()→F(()y()()=0, ( 两边求微分: aF(x,y.2)d(0)+ d()+2(xy:) (t)=0 x()+-y()+-()=0 →n aF(x,y, = )aF(x,y, =)aF(x,y, 3) →曲面S过(x0,y0=0)切平面方程 ∂F(x0,y0,=0 xo)+ Vo ∂F(x0,y0, 0)=0 法线方程是:a(n,0,-=a(x,)=F(元,1n, 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 证：若曲线 L : ( ) ( ) ( ( ) ( ))      = = = z f x t y t y y t x x t , 是曲面 S 上过点 ( ) ( ) ( )           =           0 0 0 0 0 0 z t y t x t z y x P , 其中 ( ( ) ( )) 0 0 0 z = f x t , y t 的光滑曲线, 即函数 x(t), y(t) 在 0 t 可导。 现在要证明，此曲线 L 过 P 的切线在平面  p : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 0 0 − − − =   − +   y y z z y f x y x x x f x y 上。其法线方向是： ( ) ( ) ( )         −     0 = 1 y f p x f p n t  事实上，曲线 L 在 P 处的切线向量是: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             +   =   0 0 0 0 0 y t y f p x t x f p  t x t y t  . 显然有: n(t 0 ) (t 0 ) = 0    ( ) ( ) 0 0 n t  t   ⊥ , 即：曲线 L 过 P 的切线在平面  p 上。 实际上，函数表示 z = f (x, y) 在点 ( ) 0 0 p x , y 可微是 曲面 S 在点 ( ) 0 0 p x , y 有不平行 z 轴的切平面的充分必要条件。 (ii) 用隐函数和参数方程表示的曲面 S 的切平面方程： ⚫ 若曲面 S 由隐函数 F(x, y,z) = 0 表示, 过 P 的曲线为： ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t  F(x(t), y(t),z(t))  0, 两边求微分： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , ,    +   +   dz t x F x y z dy t x F x y z dx t x F x y z ( ) ( ) ( ) = 0    +    +   z t x F y t x F x t x F  ( ) ( ) ( )               = z F x y z y F x y z x F x y z n  , , , , , ,  曲面 S 过 ( ) 0 0, 0 x , y z 切平面方程 ( ) ( ) ( ) ( − )+   − +   0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , y y y F x y z x x x F x y z ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 − =   + z z z F x y z 法线方程是: ( ) ( ) ( ) z F x y z z z y F x y z y y x F x y z x x   − =   − =   − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , ,

第二章多元函数微分学 aF(Mo) aE y=yo t OF(Mo) 另外,设在M0(x02y0,=0)有 radF(M0)≠0,即三个偏导数 OF(Mo) aF(Mo OF(Mo 中至少 有一个不为零时,不妨设(MD≠0,这时由隐函数定理可以推出在 (x0,yo)的某个邻域U中唯一地定义了一个函数z=f(x,y),满足 z0=f(x,y)F(x,y,f(x,y)≡0(x,y)∈U/),由隐函数微分法得 g(o,yo) OF(Mo)/OF(Mo) ax g(xo,yo)-0F(Mo)/F(Mo 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 =x(s, t) 若曲面S由参数方程{y=ys,1)(s,1)∈DsR2表示 若记F=(x,y,z),则上式的向量形式为 r=r(s, t=(x(s, O),y(s, 0),=(s, t)) 设M0(x0,y,2z0)=(x(o,.0y(t,so)=(t,so)是S上的一点,当 固定1=0时,方程{y=y(s,l0)确定了曲面S上的一条曲线, z=二(S 它在M。处的切向量是 ax(so, to)Oy(so, t,)0:so, to) s s s x(so, t) 同样地,方程{y=y(s0,)确定了曲面S上的另一条曲线,它在 点M0处的切向量是 dx(so, to)ay(so, to)d=So, to) ) t t t 若这两个向量不共线的条件下,曲面S在M0处的法向量是 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 或          = + = + = + t z F M z z t y F M y y t x F M x x       ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 另外，设在 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z 有 gradF(M 0 )  0 ，即三个偏导数 z F M y F M x F M       ( ) , ( ) , ( )0 0 0 中至少 有一个不为零时，不妨设 0 ( )0  z F M   ，这时由隐函数定理可以推出在 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域 U 中唯一地定义了一个函数 z = f (x, y) ，满足 ( , ), ( , , ( , )) 0 (( , ) ) z0 = f x0 y0 F x y f x y  x y U , 由隐函数微分法得 z F M x F M x f x y       ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0 = − , z F M y F M y f x y      ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0  = − 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 ⚫ 若曲面 S 由参数方程 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) s t D R z z s t y y s t x x s t        = = = 表示 若记 T r = (x, y,z)  ，则上式的向量形式为 T r = r(s,t) = (x(s,t), y(s,t),z(s,t))   设 ( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) M0 x0 y0 z0 = x t0 s0 y t0 s0 z t0 s0 是 S 上的一点，当 固定 t=t0 时，方程      = = = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z z s t y y s t x x s t 确定了曲面 S 上的一条曲线， 它在 M 0 处的切向量是 T s z s t s y s t s x s t v ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 1       =  同样地，方程      = = = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z z s t y y s t x x s t 确定了曲面 S 上的另一条曲线，它在 点 M0 处的切向量是 T t z s t t y s t t x s t v ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 2       =  若这两个向量不共线的条件下，曲面 S 在 M0 处的法向量是

第二章多元函数微分学 n=v1×v2 aaa aaa (A B C) 记(以下所有偏导数都在(s0,to)求值) A B= 示正a 示a C 小aa 则单位法向量而0=± (Ai+ bj+ck A+B+c 因此曲面S在M处的切平面方程是 A(x-x0)+B(y-y)+C(x-z0)=0 法线方程为 x-x_y-y_2-0 例2设曲面S由方程x=u+v,y=u2+y2,z=u3+y3确定,试求 S在t0=2,v0=1时的法线与切平面方程 解根据曲面方程可知,曲面上与L0=2,v=1对应的点为 M0(3,5,9).由于 V, ahe2n=(142) aaa (1,23) 所以曲面S在点M0(3,5,9)处的法向量为 v×v2=1412=-127+9j-2k 因此所求的法线方程是 x=3-12t 切平面方程是 2(x-3)+9(y-5)-2(=-9)=0 由此可见当 gradF(M0)≠0时,由方程F(x,y,)=0确定的曲面 S在M。处的法向量为 gradF(M). 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 ( ) T A B C t z t y t x s z s y s x i j k n v v =             =  =      1 2 记（以下所有偏导数都在 ( , ) s0 t0 求值） t y t x s y s x C t x t z s x s z B t z t y s z s y A                         = , = , = 则单位法向量 ( ) 1 2 2 2 0 Ai Bj Ck A B C n + + + + =   因此曲面 S 在 M 0 处的切平面方程是 ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 A x − x + B y − y +C z − z = 法线方程为 C z z B y y A x x 0 0 0 − = − = − 例 2 设曲面 S 由方程 x u v y u v z u v 2 2 3 3 = + , = + , = + 确定，试求 S 在 2, u0 = v0 = 1 时的法线与切平面方程. 解 根据曲面方程可知，曲面上与 u0 = 2, v0 =1 对应的点为 (3,5,9) M 0 .由于 ( , , ) (1,2,3) ( , , ) (1,4,12) 2 (2,1) 1 (2,1) = = = = v z v y v x u z u y u x v v               所以曲面 S 在点 (3,5,9) M 0 处的法向量为 i j k i j k v v         12 9 2 1 2 3 1 4 12 1 2  = = − + − 因此所求的法线方程是      = − = + = − z t y t x t 9 2 5 9 3 12 切平面方程是 −12(x − 3) + 9( y − 5) − 2(z − 9) = 0 由此可见当 ( ) 0 0 gradF M  时，由方程 F(x, y,z) = 0 确定的曲面 S 在 M 0 处的法向量为 ( ) M 0 gradF

第二章多元函数微分学 例3证明球面S1:x2+y2+2=R2与锥面S2:x2+y2=a22正交 Orthogonal 解所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直 记F(x,y,z)=x2+y2+x2-R2,G(x,y,z)=x2+y2-a22 曲面S1上任一点M(x,y,)处的法向量是 grad/F(x,y,)=(2x2y2)或者v1=(xy) 曲面S2上任一点M(x,y)处的法向量为1;=(x,y-a2=) 设点M(x,y,)是两曲面的公共点,则在该点有 vv2=(x,y,)-(x,y-a2)=x2+y2-a2=2=0 即在公共点处两曲面的法向量相互垂直,因此两曲面正交. 从切平面的定义我们知道,曲面S上过M6(x0,y,z0)任意一条曲 线在M0处的切线都在S在M0处的切平面上.反过来我们也可以证明 (见习题),切平面上任意一条过M0(x0,y0,z)的直线,都可以在曲面 S上找到一条过M0(x0,y0,=0)的曲线,使后者在M0(x0,y0,z0)处的 切线即为前者,于是我们能够得到这样的结论:曲面S在点 M0(x,y0,=0)处的切平面z恰好由曲面上经过点M0(x0,y0,=0)的所 有曲线的切线组成 (3)空间曲线的交面式: 条空间曲线L,可以看作通过它的两个曲面S与S的交线,若 设S1的方程为F(x,y,)=0,S2的方程为G(x,y,)=0,则L的方程 是 IG(x, 3==0 如果在曲线L上的点M(x0,y,z0)处两个梯度向量 gradF(Mo), grad(Mo) 不共线,则向量 v=gaF(M0)× grad(M) 是L在点M0(x,y,z0)处的一个切向量 例4求曲线 x2+y2+=2-6=0 y2=0 在点Mo(,2)处的切线方程 解取F(x,y,z)=x2+y2+2-6,G(x,y,z)=z-x2-y2,则 gradF(Mo)=(2,2,4), grad(M0)=(-2,-2,1) 所以曲线在M0(1,1,2)处的切向量为 v=gradF(MoX gradG(Mo=(10-10,0) x=1+10t 于是所求的切线方程为{y=1-10t 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 例 3 证明球面 S x y z R 2 2 2 2 1 : + + = 与锥面 S x y a z 2 2 2 2 2 : + = 正交 (orthogonal). 解 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直. 记 F x y z x y z R G x y z x y a z 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) = + + − , ( , , ) = + − 曲面 S1 上任一点 M(x, y,z) 处的法向量是 T gradF(x, y,z) = (2x,2y,2z) 或者 T v (x, y,z) 1 =  曲面 S2 上任一点 M(x, y,z) 处的法向量为 T v (x, y, a z) 2 2 = − . 设点 M(x, y,z) 是两曲面的公共点，则在该点有 ( , , ) ( , , ) 0 2 2 2 2 2 1 2  = x y z  x y − a z = x + y − a z = T v v   即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交. 从切平面的定义我们知道，曲面 S 上过 M0 (x0 y0 z0 , , ) 任意一条曲 线在 M 0 处的切线都在 S 在 M 0 处的切平面上.反过来，我们也可以证明 （见习题），切平面上任意一条过 ( , , ) M0 x0 y0 z0 的直线，都可以在曲面 S 上找到一条过 ( , , ) M0 x0 y0 z0 的曲线，使后者在 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处的 切线即为前者 . 于是我们能够得到这样的结论：曲面 S 在 点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处的切平面  恰好由曲面上经过点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 的所 有曲线的切线组成. (3) 空间曲线的交面式： 一条空间曲线 L ，可以看作通过它的两个曲面 1 S 与 2 S 的交线，若 设 1 S 的方程为 F(x, y,z) = 0， 2 S 的方程为 G(x, y,z) = 0 ，则 L 的方程 是    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 如果在曲线 L 上的点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处两个梯度向量 ( ), ( ) gradF M 0 gradG M 0 不共线，则向量 ( ) (M ) gradF M0 gradG 0 v =   是 L 在点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处的一个切向量. 例 4 求曲线    − − = + + − = 0 6 0 2 2 2 2 2 z x y x y z 在点 (1,1,2) M 0 处的切线方程. 解 取 ( , , ) 6 2 2 2 F x y z = x + y + z − ，G x y z z x y 2 2 ( , , ) = − − ，则 ( ) (2,2,4), ( ) ( 2, 2,1) gradF M 0 = gradG M 0 = − − 所以曲线在 M0 (1,1,2) 处的切向量为 ( ) ( ) (10, 10,0) 0 0 v = gradF M  gradG M = − 于是所求的切线方程为      = = − = + 2 1 10 1 10 z y t x t

第二章多元函数微分学 2-5-2多元函数的 Taylor公式 我们知道,一元函数的 Taylor公式是研究函数f(x)在一点x0 处性态的有力工具 如果函数∫(x)在点x0有n阶导数,则它在点x0的某邻域内有带 皮亚诺型余项的 Taylor公式: f(x)=f(x0)+f"(x0x-x0)+f"(x0x-x0)2+.+ f"(x0)(x-x0)"+o[(x-x0)"] 如果函数f(x)在某个包含点x0的区间(a,b)内处处有n+1阶 导数,则对于任意的x∈(a,b),有 f(x)=f(x0)+f"(x0x-x0)+f"(x0x-x0)2+…+-f"(x0)x-x0)” f"(x0+0(x-x0)x-x0)m(0<0<1) 这就是带有拉格朗日型余项的n阶 Taylor公式 对于多元函数来说,我们也有类似的结论,这就是多元函数的泰 勒公式.下面我们先讨论二元函数的 Taylor公式 二元函数的 Taylor公式 利用一元化的思想,将二元函数展公式的问题转化为一元问题 设有z=f(x,y),点M(x0,y)及点M(x+Axy+4)=M(x,y) 今研究函数在线段M。M上的增量变化:因为线段MM可以表示为 0≤t≤l} y/ly=yo+r(x-xo) 这样函数在线段MM上的值是 Φ():=f(x0+1Ax,y+t△y)(0≤t≤1), )=f(xn,y3),Φ()=f(xo+△x,yo+△y)=f( +Ay)=4()=∑“(0) d0)=可(x,y)A可(x0,y) Ay: =(Ar-+Ay-)f(xo, yo) 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 2-5-2 多元函数的 Taylor 公式 我们知道，一元函数的 Taylor 公式.是研究函数 f (x) 在一点 0 x 处性态的有力工具。 如果函数 f (x) 在点 0 x 有 n 阶导数,则它在点 0 x 的某邻域内有带 皮亚诺型余项的 Taylor 公式: = +  − +  ( )( − ) +... + 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 f x f x f x x x f x x x ( )( ) [( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n + − + − 如果函数 f (x) 在某个包含点 0 x 的区间 (a,b) 内处处有 n +1 阶 导数,则对于任意的 x  (a,b) ,有 n n f x x x n f x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) ... 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) = 0 +  0 − 0 +  0 − 0 + + − ( ( ))( ) (0 1) ( 1)! 1 1 0 0 0 ( 1) + − −   + + + +   n n f x x x x x n 这就是带有拉格朗日型余项的 n 阶 Taylor 公式. 对于多元函数来说，我们也有类似的结论，这就是多元函数的泰 勒公式.下面我们先讨论二元函数的 Taylor 公式. ⚫ 二元函数的 Taylor 公式 利用一元化的思想，将二元函数展公式的问题转化为一元问题： 设有 z = f (x, y), 点 ( ) 0 0 0 M x , y 及点 M(x x, y y) M(x, y) 0 +  0 +  = , 今研究函数在线段 M 0 M 上的增量变化：因为线段 M 0 M 可以表示为:              = + − = + −         , 0 1} ( ) ( ) 0 0 0 0 t y y t x x x x t x x y x , 这样 函数在线段 M 0 M 上的值 是 ( ): ( , ) (0 1)  t = f x0 + t x y0 + t y  t  , 且 ( ) ( ) 0 0  0 = f x , y , (1) f (x x, y y) f (x, y)  = 0 +  0 +  = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! 0 ! 1 , 1 1 0 0 0 +  +  +  =  =  + + = k n f x x y y n n k k  . ( ) : ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 f x y y y x y x y f x y x x f x y          =  +  =  + 

第二章多元函数微分学 af(o, yo2Ax (x0,y) Ax△v+ (x0,y0) aray ay aa)f(xo,yo =(X一+ (o)=(△x2+y2)yfxn,y) f(x,y)=f(xo+Ax,yo+Ay)=o( f(xo, yo)+ Ax+4,、O)n+1 (n+1 ar+Aya/(ro+0Ax, yo+eAy 定理设二元函数∫在点M(x0,y)的某个邻域U中有1至n+1 阶的连续导数,M(x,y)是U中一点,则有 o, yo Ax+△v )f(x+a,+y) (0<6<1) 此式称为二元函数f(x,y)在M(x0,y)处的带有拉格朗日型余项的 n阶 Taylor公式 当n=0时, Taylor变为 f(x,y)-f(x0,y0) o(x+(x-x,y+(0-y0)(x-x0 (x,y) y-y0 这个结论类似于一元函数的微分中值定理 当n=1时, Taylor变为 f(x,y)=f(x9(x32)(4x),1 +(Ax△y)H(M a(x, y)(4y/2 其中,M=(x+OAx,y+04y), 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 ( ) : ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 0 0 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 f x y y y x x y y f x y x y x y f x y x x f x y           =  +   +   +    = ( ) (0) ( ) ( , ) 0 0 f x y y y x x k k      =  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! 0 ! 1 , , 1 1 0 0 0 +  = +  +  =  =  + + = k n f x y f x x y y n n k k  = ( )+           +      = n k k f x y y y x x 0 k 0 0 , ! 1 + ( ) f (x x y y) y y x x n n +  +            +     + + 0  0  1 , 1! 1 定理 设二元函数 f 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 的某个邻域 U 中有 1 至 n +1 阶的连续导数， M (x, y) 是 U 中一点，则有 ( ) ( )+           +    =   = n k k f x y y y x x k f x y 0 0 0 , ! 1 , + ( ) f (x x y y) y y x x n n +  +            +     + + 0  0  1 , 1! 1 (0  1). 此式称为二元函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 M x y 处的带有拉格朗日型余项的 n 阶 Taylor 公式. 当 n = 0 时，Taylor 变为 ( )         − −   + − + − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( ( ), ( )) ( , ) ( , ) y y x x x y f x x x y y y f x y f x y   这个结论类似于一元函数的微分中值定理. 当 n =1 时，Taylor 变为 ( ) ( ) ( )           +               = + y x x y H M y x x y f x y f x y f x y  2 1 , ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 其中， M = (x + x y + y)  0 0 ,

第二章多元函数微分学 f af H axon 称为海色矩阵。 当n=2时, Taylor变为 (xy)=/(x,y)+(,1)Ax (x,y)(△y af(o, yo)a(o, yo)4y o(2) 0y2 多元函数的 Taylor公式 同样思路对于n元函数来说,有带拉格朗日余项的n阶 Taylor公 式,但常用的是 一阶带拉格朗日余项 Taylor公式 f()=f(x)+°(x( +1=-+)0041 ()=(元n)+2(x(-=元)+(2-元)B(G+0-元) af af Xo H ,称为海色( Hessian)矩阵。 af ox,ax 二阶一阶带皮亚诺余项 Taylor公式 ()=(元)+01()(-元)+1(-元B(=-元)+2) 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式

第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    x y M y f x y f x y f x f x y f M x y H M =                       =            = , 2 2 2 2 2 2 , , 称为海色矩阵。 当 n = 2 时，Taylor 变为 ( ) +            = + y x x y f x y f x y f x y , ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 , , , , 2 1 o  y x y f x y x y f x y x y f x y x f x y x y +                                  +   ⚫ 多元函数的 Taylor 公式 同样思路对于 n 元函数来说，有带拉格朗日余项的 n 阶 Taylor 公 式, 但常用的是 一阶带拉格朗日余项 Taylor 公式: − +  = += ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 i n i i i x x x f x f x f x     ( )( ) ( ) 2! 1 0 0 , 1 0 2 i j j n i j i i j x x x x x x f x x − −  +  + =      0  1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 2 ( ) 1 ( ) ( ) x x x x H x x x x x f x f x f x     T         − + − +  −  = +                         = 2 2 1 2 1 2 2 1 2 n n n x f x x f x x f x f H          , 称为海色( Hessian )矩阵。 二阶一阶带皮亚诺余项 Taylor 公式: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 2 ( ) 1 ( ) ( )   x x x x H x x x o x f x f x f x T − + − − +  = +            = = − n i i i x x 1 2 0 2  ( )