第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-1复习:微分方程基本概念及可积类型 6-1-1基本概念 6-1-2一阶可积类型 6-1-4高阶可降阶类型 第二十一讲微分方程复习 6-1-1基本概念 (一)关于方程: 什么是微分方程?包含未知函数导数的方程式称为微分方程 (differential equation) 微分方程分类: 按自变量多少分:常微分方程和偏微分方程:线性非线性方程 按微分方程的阶( order)数分 n阶常微分方程的一般形式为 dy d y d-y f(x, y, dx 线性与非线性方程 n阶线性常微分方程的一般形式为 "+an()2++a(x)4+a1()y=(x) 其中a(x)(=01,n-1,f(x)是已知函数 (二)关于方程的解: 解的概念 满足微分方程的函数,称为该方程的解 通解一般解与初值问题 对阶微分方程,包含了n个任常数的解y=f(x,C2C,,cn) 称为微分方程的通解( general solution) 对于n阶微分方程(1.9)—(1.11),为了从通解中找到所需要的解, 需要附加n个初始值条件,即 y=f(,y, dy d' y(xo)=yo, y(xo=yo,, y(-(ro)=yo- 这样的定解条件称为初值条件( initial condition) 上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy问题 还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程 f(x,y,y)=0 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-1 复习：微分方程基本概念及可积类型 6-1-1 基本概念 6-1-2 一阶可积类型 6-1-4 高阶可降阶类型 第二十一讲 微分方程复习 6-1-1 基本概念 (一) 关于方程： ⚫ 什么是微分方程？包含未知函数导数的方程式称为微分方程 (differential equation). ⚫ 微分方程分类： 按自变量多少分：常微分方程和偏微分方程；线性非线性方程 按微分方程的阶(order)数分: n 阶常微分方程的一般形式为 ( ) ( , , , ,..., ) 1 1 2 2 − − = n n n dx d y dx d y dx dy y f x y 线性与非线性方程 n 阶线性常微分方程的一般形式为 ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 a x y f x dx dy a x dx d y a x dx d y n n n n n + + + + = − − − 其中 a (x), (i 0,1,...,n 1), f (x) i = − 是已知函数. (二) 关于方程的解： ⚫ 解的概念: 满足微分方程的函数，称为该方程的 解。 ⚫ 通解一般解与初值问题 对 n 阶微分方程, 包含了 n 个任常数的解 y = f (x,c1 ,c2 ,...,cn) 称为微分方程的通解(general solution). 对于 n 阶微分方程(1.9)--(1.11),为了从通解中找到所需要的解, 需要附加 n 个初始值条件, 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = − − − − 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 , , , ( , , ,..., ) 0 n n n n n y x y y x y y x y dx d y dx dy y f x y 这样的定解条件称为初值条件(initial condition), 上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy 问题. 还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程 y = f (x, y, y ) = 0
第六章常微分方程 附加条件 Ma=yi, yb)=y2 称为边值条件( boundary condition) 满足微分方程,并且适合定解条件的解称为微分方程的特解 (special solution) 微分方程的存在唯一性定理 存在唯一性定理:对一阶初值问题:女=(xy),若二元函数 y(ro)=y ∫(x,y)在矩形D={(x,y)x-xKAy-yKB}连续 且偏导数(xy存在并有界则存在正数,使得上述初值问题 在区间[x0-h,x+h上存在有唯一的解 证明思路:{(=(6)-m)设(= 构造达代叙列:yn(x)=/(x,y2(x)x,n=01…则 lyn,(x)-y,(x2) 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 附加条件 1 2 y(a) = y , y(b) = y . 称为边值条件( boundary condition). 满足微分方程, 并且适合定解条件的解称为微分方程的特解 (special solution). ⚫ 微分方程的存在唯一性定理 存在唯一性定理: 对一阶初值问题: = = 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy , 若二元函数 f (x, y) 在矩形 : {( , ) :| | ,| | } D = x y x − x0 A y − y0 B 连续, 且偏导数 ( ) y f x y , 存在并有界. 则存在正数 h, 使得上述初值问题 在区间 [x0 −h, x0 +h] 上存在有唯一的解. 证明思路: = = 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy ( ) ( ) = x x y x f x y x dx 0 , ( ) .设 0 0 y (x) = y , 构造迭代叙列： ( ) ( , ( )) , 0,1, 0 1 = = + y x f x y x dx n x x n n . 则 ( ) ( ) ( ) + − − − x x yn x yn x f x yn x f x yn x dx 0 ( ) , ( ) , ( ) 1 1 ( ) (y y )dx B y x y (x)dx y f x x x n n x x n − n− − − = 0 0 1 1 ( ) , +1 0 − −1 − − n n n n y y B x x y y 其中： u v Max u(x) v(x) x I − = − , y f x y B Max x y D = ( , ) ( , ) 6-1-2 一阶可积类型 (一) 分离变量型 形如 dy dx = f (x)g( y) 或者 u(x)dx = v( y)dy 例 1: 解方程 1 1 0 2 2 x + y + yy + x = . 解: 将方程化为 xdx x ydx 1 1 y 0 2 2 + + + = 积分得到通解 1 1 2 2 2 + y + + x = c(c )
第六章常微分方程 (二)可化为可分高变量型的方程 零齐方程:=82),利用代换n=2,可以将这类方程化为 变量分离方程 例2:求此曲线y=y(x),使其上每点M(x,y)的法线平分过这点的水 平线与矢径所交之角 解:d 令=y,代入方程 l+n'sV1+u2-1d√1+u u2 dx √x2+y2=x+c→y2=2cx+c2 这是抛物线 a,x+ y+C ,先作变量 将其变成关于 a,x+b,y+c2 v=y-Vo n的零齐方程,如=4+ a,u+b,v y'=∫(ax+b),令=ax+by,y l-ax y=f(ax+by)=(u-a)=f(u) →l=b(l)+a (三)一阶线性方程 考察一阶线性微分方程 d +p(x)y=q(x) 凑导数法+以(x)y=q(x),方程两边乘函数cmM, d y(x)·e =g(x)2/k y(x)=C 「q(x dy I 例3:解方程+xy-x 解: x,对方两边同乘x,得:xy+y=sinx (xy) sIn x 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (二) 可化为可分离变量型的方程 ⚫ 零齐方程: dy dx g y x = ( ), 利用代换 u y x = , 可以将这类方程化为 变量分离方程. 例 2: 求此曲线 y = y(x),使其上每点 M (x, y) 的法线平分过这点的水 平线与矢径所交之角。 解: y x y x y dx dy + − = = 2 2 . 令 x y u = , 代入方程 u u u xu 1 1 2 + − + = ; x dx u d u = − + + 2 2 1 1 1 x + y = x + c 2 2 2 2 y = 2cx + c 这是抛物线。 ⚫ + + + + = 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c y f , 先作变量 = − = − 0 0 v y y u x x 将其变成关于 u,v 的零齐方程, + + = a u b v a u b v f dv du 2 2 1 1 ⚫ y = f (ax + by) , 令 u = ax + by , b u ax y − = , y = f (ax + by) (u a) f (u) b − = 1 u = bf (u)+ a (三) 一阶线性方程 考察一阶线性微分方程 dy dx + p(x) y = q(x) 凑导数法 dy dx + p(x) y = q(x) ，方程两边乘函数 ( ) p x dx e , ( ) ( ) ( ) = p x dx p x dx y x e q(x)e ( ) ( ) ( ) y x Ce e q x e dx p x dx p x dx p x dx + = − − ( ) ( ) 例 3:解方程 dy dx x y x x + = 1 sin . 解: e x dx x = 1 , 对方两边同乘 x ,得: x y + y = sin x (x y) = sin x
第六章常微分方程 两边积分:xy=∫smx+c,y=(-cosx+c) (五)全徽分方程 微分方程M(x,y)x+N(x,y)dhy=0 其中M(x,y)与N(x,y)连续可微的函数.若满足可积性条件: MM(x,y) a(x,y) 则称该方程是全微分方程( exact differential equation) 例4:解方程(1+)ax+e(-x)=0. 解:是一个全微分方程.下面用三种方法求解这个方程. 解法1:线积分法 解法2:用不定积分计算.l(x,y)=x+ye= 解法3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为 d x+ i dy +e (yedx-xdy dx dx +erdy+yed()=0 此式进一步又化为+edy+yd(e)=0 由此立即得到方程通解为x+yei=C. (六)积分因子 若微分方程 M(x, y)d+N(x, y)dy=0 不是全微分方程,有时可以找到一个非零函数(x,y),使得 u(x,y)M(x, y)ax+u(x,y)N(x, y)dy=0 成为全微分方程.这样的函数称为积分因子( integrating factor) 例5:解方程ydx+(x-3xy2)y=0 A: ydx+(x-3x'y)dy= ydx+xdy-3x'y-dy ydx+(x-3x'y)dy=0= d(xy)-3x'y dy=0 两边同乘 d(xy)3dy y (xy)2 3d(ny)=0 In 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 两边积分： x y = xdx + c sin , y x = − x + c 1 ( cos ) . (五)全微分方程 微分方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 其中 M (x, y) 与 N(x, y) 连续可微的函数. 若满足可积性条件： M x y y N x y x ( , ) ( , ) = 则称该方程是全微分方程(exact differential equation). 例 4:解方程 (1+ ) + (1− ) = 0 x y x e dx ey x y dy . 解:是一个全微分方程. 下面用三种方法求解这个方程. 解法 1:线积分法 解法 2:用不定积分计算. u x y x y e c x ( , ) = + y = . 解法 3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为 dx e dy e ydx xdy y x y x + + y − ( ) = 0 dx e dy y e ydx xdy y x y x + + y − ( ) = 2 0, 即 dx e dy y e d x y x y x + + y = ) ( ) 0. 此式进一步又化为 dx e dy yd e x y x + + ( y ) = 0 由此立即得到方程通解为 x y e c x + y = . (六)积分因子 若微分方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 不是全微分方程, 有时可以找到一个非零函数 (x, y) , 使得 (x, y)M(x, y)dx +(x, y)N(x, y)dy = 0 成为全微分方程. 这样的函数称为积分因子(integrating factor). 例 5:解方程 ( 3 ) 0 3 2 y dx + x − x y dy = . 解: y dx x x y dy ydx xdy x y dy 3 2 3 2 + ( − 3 ) = + − 3 ( 3 ) 0 3 2 ydx + x − x y dy = ( ) 3 0 3 2 d xy − x y dy = 两边同乘 ( ) 3 1 xy , ( ) ( ) 0 3 3 − = y dy xy d xy ( ) 3 (ln ) 0 1 2 1 2 − = − d y xy d ( ) ln 0 2 1 3 2 = − − y xy d
第六章常微分方程 原方程的通解为 +3n 1 例6:解方程xax+y+4y3(x2+y2)hy=0 解: ++4y3(x2+y2)d d(x2+y2)+4y(2+y2k 两边同乘、1一得:2x2+y2+4y3=0 2+y +4y3d=dn√x2+y2+y 从而得到方程通解hyx2+y2+y+=C 6-1-3高阶可降阶类型方程的求解 般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设 法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论 (一)y=f(x)类型 可通过n次积分可以得到通解.逐次积分得到方程通解变为 (x-1)-lf(dt+Cx"+.+cm-x+c (二)y"=f(x,y)类型 令p(x)=y,y=p(x),方程变成:p'=f(x,p) 这是一阶方程,有可能求解 例7:设有单位质量的质点Q,受到沿x方向的力P= Asn o t的作用 沿x轴运动.及空气阻力与速度成正比,比例系数k>0,其中A,为常 数.如果x(0)=0,x(0)=0,试求质点运动规律 解:根据 Newton第二定理,质点运动方程为 d dx k-t asin o t x(0)=0,x(o)= 解:这是y"=f(x,y)型方程,令p()=x().则方程变成: 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 原方程的通解为 1 2 2 3 ( ) ln xy + y = c. 例 6:解方程 4 ( ) 0 3 2 2 xdx+ ydy + y x + y dy = . 解: xdx ydy 4y (x y )dy 3 2 2 + + + = ( ) 4 ( ) 0 2 1 2 2 2 2 d x + y + y x + y dy = 两边同乘 2 2 1 x + y 得: ( ) 4 0 2 1 3 2 2 2 2 + = + + y dy x y d x y ( ) 4 (ln ) 0 2 1 3 2 2 4 2 2 2 2 + = + + = + + y dy d x y y x y d x y 从而得到方程通解 x + y + y = C 2 2 4 ln . 6-1-3 高阶可降阶类型方程的求解 一般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设 法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 y = f (x, y, y ) 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论. (一) ( ) ( ) n y = f x 类型 可通过 n 次积分可以得到通解. 逐次积分得到方程通解变为 ( ) ( ) n n n x x n x t f t dt c x c x c n y − + + + + − = − − − 1 1 1 1 0 ( 1)! 1 (二) y = f (x, y ) 类型 令 p(x) = y , y = p (x), 方程变成： p = f (x, p) 这是一阶方程，有可能求解。 例 7: 设有单位质量的质点 Q, 受到沿 x 方向的力 P = Asin t 的作用 沿 x 轴运动.及空气阻力与速度成正比，比例系数 k 0 ,其中 A, 为常 数. 如果 x(0) = 0, x (0) = 0 ,试求质点运动规律. 解:根据 Newton 第二定理,质点运动方程为 ( ) ( ) = = = − + 0 0, 0 0 sin 2 2 x x A t dt dx k dt d x 解：这是 y = f (x, y ) 型方程, 令 p(t) = x (t), 则方程变成：
第六章常微分方程 p+k p=Asin@t 0 这是一阶线性方程,两边同乘e ne")=4 le sin ot→(pe"2=「 Ae"sin otdr x()=e-"「Ae" sin tdt=f「Ae--") sin o udu Ae- k(t-u)sin oudu t=[dr[Ae-k(r-m)sin oudu 例8:解方程xy”=yhy 解:令p(x)=y,代入方程,则原方程化为:x=php 由此解出P=e",于是原方程的通解为y=/mh1+C (二)y”=f(y,y)类型 令P=p(y)= 少dy=中血=n中 dx dy 代入方程得 f(p, y) 于是得到一个关于未知函数P和自变量y的一阶方程 例9:解方程= 解:令p=p(y)=,4=中中=p中 dx dx 代入方程得到 1+p 2 pdp dy 两端积分得到h(1+p)=hy+hc.即,1+ 分离变量,将上式改写成 解此方程得通解:±二√ay-1=x+c化简得:-(cy-1)=(x+c) 例10:y”=( 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 ( ) = + = 0 0 sin p p k p A t , 这是一阶线性方程, 两边同乘 k t k dt e = e , (pe ) Ae t kt kt = sin ( ) = t kt t kt pe Ae t dt 0 0 sin ( ) ( ) x t e Ae tdt Ae udu t k t u t k t kt − − − = = 0 0 sin sin ( ) ( ) ( ) − − − − = = t k u t t k t u x t Ae udu dt d Ae udu 0 0 0 0 sin sin 例 8:解方程 x y = y ln y . 解:令 p(x) = y , 代入方程,则原方程化为: p p dx dp x = ln 由此解出 c x p e 1 = ,于是原方程的通解为 2 1 1 1 e c c y pdx c x = = + . (二) y = f ( y, y ) 类型 令 p p y dy dx = ( ) = , 2 2 d y d x dp dy dy dx p dp dy = = , 代入方程得 p dp dy = f ( p, y) . 于是得到一个关于未知函数 p 和自变量 y 的一阶方程. 例 9:解方程 d y d x dy dx y 2 2 2 1 2 = + ( ) . 解:令 p p y dy dx = ( ) = , 2 2 d y d x dp dy dy dx p dp dy = = , 代入方程得到 p dp dy p y = 1+ 2 2 即 2 1 2 pdp p dy + y = . 两端积分得到 ln(1 ) ln ln 2 + p = y + c1 .即, 1 2 + ( ) = 1 dy dx c y 分离变量,将上式改写成 1 1 −1 = c y dx 解此方程得通解: − = + 2 1 1 1 2 c c y x c 化简得: 4 1 1 2 1 2 2 c (c y − ) = (x+c ) 例 10: ( )2 3 2 y = 1+ y
第六章常微分方程 解1:令y=p(x),y=p(x) y=(+y2)→p(x2=(+p( d +p)2+p2) x+c X+c 1+ p d +C1 dx=± x+c (x+ →(x+c1)+(y+ sdd 解2:令y=p(y),y=2p(y) t p =d→d 2(+p2 1+ (+C1 d(y+ →x+C,= 1-(+c (+c)2+(x+c2)2 第六章常微分方程
第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 解 1： 令 y = p(x) , y = p (x), ( )2 3 2 y = 1+ y ( ) ( ( ))2 3 2 p x = 1+ p x ( ) ( ) dx p d p dx p d p = + − = + − − 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 x c p dx p d = + + = + − − . ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 x c x c x c p p p − + + = + = + ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dx x c x c d x c y c = − + − + + + = ( ) ( ) 1 2 2 2 x + c1 + y + c = 解 2： 令 y = p( y) , p(y) d y d p y = , ( )2 3 2 y = 1+ y ( )2 3 2 1 p dy dp p = + ( ) dy p dy d p d p = + − = + 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 y c p = − − + ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 y c y c p − + + = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dy y c y c d y c x c = − + − + + + = ( ) ( ) 1 2 2 2 y + c1 + x + c =