《数学分析》第一讲 点集拓扑初步

第二章多元函数微分学 第二章多元函数微分学 第一节多元连续函数 2-1-1点集拓扑初步 2-1-1-1度量空间 2-1-1-2邻域、开集与闭集 2-1-1-3集合的紧致性、完备性与连通性 第一讲点集拓扑初步 课后作业 复习阅读:第一章pp.01-21,己在代数中学过,请抽时间复习。 阅读:第二章11,12,13,14:pp.22-28 预习:第二章2.1,2.2:pp.29-38 作业:第二章习题1:pp28-29:1,(2),(3);2,(2),(4);3;5 2-1-1点集拓扑初步 拓扑与线性空间、代数等概念一样,是一种数学结构。它与线性空间是研 究代数运算下形成的结构不同,是研究“连续体”在“连续变化”下不变的性 质,这样,极限概念就是不可缺少的。然而,一维空间中的极限概念是基于实 数集合的,如何将极限概念拓广到多维空间、甚至一般集合上,这是拓扑的最 基础内容。从一元极限概念的描述可见,其中“距离”的概念起了决定性作用, 而比距离更基本的是一个点的“邻域”的概念。本节将对一般的集合介绍点集 拓扑的一些最基础概念 2-1-1-1度量空间 (一)度量空间的定义:设X是一个集合,其中元素称为点。定义了一个函数 具有下列三条性质 (1)正定性,即vv∈X,d(xy)20,且u=v分d(y)=0 (2)对称性:即Wuv∈X,d(y)=d(v,u) (3)满足三角不等式,即Vuv,w∈x,d(xy)+d()≥d(0) 就称X是一个度量空间,函数称为距离函数或度量,X也叫距离空间。有时 为了区别距离d的不同定义,将度量空间记成(X,d) (二)度量空间举例: 例一,n维欧氏空间R":x,y∈R”,距离函数的定义常用的有四个 第一节多元函数

第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 1 第二章 多元函数微分学 第一节 多元连续函数 2-1-1 点集拓扑初步 2-1-1-1 度量空间 2-1-1-2 邻域、开集与闭集 2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性 第一讲 点集拓扑初步 课后作业： 复习阅读：第一章 pp. 01---21, 己在代数中学过，请抽时间复习。 阅读：第二章 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 : pp. 22----28 预习：第二章 2.1, 2.2 : pp. 29---38 作业: 第二章 习题 1: pp.28---29 : 1,(2), (3); 2, (2), (4); 3; 5. 2-1-1 点集拓扑初步 拓扑与线性空间、代数等概念一样，是一种数学结构。它与线性空间是研 究代数运算下形成的结构不同，是研究“连续体”在“连续变化”下不变的性 质，这样，极限概念就是不可缺少的。然而，一维空间中的极限概念是基于实 数集合的，如何将极限概念拓广到多维空间、甚至一般集合上，这是拓扑的最 基础内容。从一元极限概念的描述可见，其中“距离”的概念起了决定性作用， 而比距离更基本的是一个点的“邻域”的概念。本节将对一般的集合介绍点集 拓扑的一些最基础概念。 2-1-1-1 度量空间 (一) 度量空间的定义：设 X 是一个集合，其中元素称为点。定义了一个函数， d :X  X → R 具有下列三条性质， (1) 正定性，即 u,v X, d(u,v)  0, 且 u = v  d(u,v) = 0 ; (2) 对称性：即 u,v X, d(u,v) = d(v,u) ； (3) 满足三角不等式，即 u,v,w X, d(u,v)+ d(v,w)  d(u,w)。 就称 X 是一个度量空间，函数称为距离函数或度量， X 也叫距离空间。有时 为了区别距离 d 的不同定义，将度量空间记成 (X,d)。 (二) 度量空间举例： 例一，n 维欧氏空间 n R ： n x, y  R ,距离函数的定义常用的有四个:

第二章多元函数微分学 d1(x,y)=∑-y d(xy)=∑(x-y) max dA(x,y)=xAy,A为正定矩阵 例三,在闭区间上的连续函数空间6:,∈C6距离函数的定义 (xy)=y()-g( 例三,在闭区间上的可积函数空间a小:切g∈Fab距离函数的定义 d(r,y)=f(x)-g()dx 以上各例中不同的距离定义确定了不同的度量空间,在其性质检验中,主 要是对三角不等式的证明,请读者自证:在例三中对两函数相等的理解要作扩 充才行 2-1-1-2邻域、开集与闭集 设X是一度量空间,其度量为d (一)邻域在P∈X,对任何δ>0,集合 ∈X:d(x,p)< 称X中点P的一个邻域,记成U(p) 今后如果说到“在P及其附近”,就是指这样的某个U(P0) 如果说到“在P0的附近”,则指在这样的某个集合U(P0)中除掉Po本 身之后剩下的点构成的集合,这是一个空心的集合 在(Rl,d)=12,∞中,U(x)都是以x0为中心,长度等于 26的开区间(x0-6,x0+6) 在(R2d2)中,U(P0)是以点Po为中心,以δ为半径的开圆 盘:在(R2,d1)中,U(P)是以点P0为中心,以26为对角线长的菱 形盘:在(R2,d)中,U(P是以点P0为中心,以26为边长的正方 形盘 第一节多元函数

第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 2 ⚫ ( ) = = − n i i i d x y x y 1 1 , ; ⚫ ( ) ( ) = = − n i i i d x y x y 1 2 2 , ⚫ ( ) i i i n d x y = Max x − y    1 , ⚫ d (x y) x A y T A , = , A 为正定矩阵 例二，在闭区间上的连续函数空间 Ca,b：f , g Ca,b,距离函数的定义: ( )   d x y Max f (x) g(x) x a b = −  , , 例三，在闭区间上的可积函数空间 Ra,b：f , g Ra,b,距离函数的定义: ( ) ( ( ) ( ))  = − b a d x y f x g x dx 2 , 以上各例中不同的距离定义确定了不同的度量空间，在其性质检验中，主 要是对三角不等式的证明，请读者自证；在例三中对两函数相等的理解要作扩 充才行。 2-1-1-2 邻域、开集与闭集 设 X 是一度量空间，其度量为 d 。 （一）邻域 在 p  X , 对任何   0 ,集合 {x  X : d(x, p)  .} 称 X 中点 p 的一个邻域, 记成 U (p)  . 今后如果说到“在 P0 及其附近”，就是指这样的某个 ( ) U P0 ； 如果说到“在 P0 的附近”，则指在这样的某个集合 ( ) U P0 中除掉 P0 本 身之后剩下的点构成的集合，这是一个空心的集合. 在 ( , ), = 1,2, 1 R d i i 中, ( ) U x0 都是以 0 x 为中心,长度等于 2 的开区间 ( , ) x 0− x 0+ . 在 ( ) 2 2 R ,d 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以  为半径的开圆 盘； 在 ( ) 1 2 R ,d 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以 2 为对角线长的菱 形盘；在 ( ) R d , 2 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以 2 为边长的正方 形盘

第二章多元函数微分学 在(R,d)中,U(P)是以点P为中心,以δ为半径的开球 (二)内点与开集 内点与开集的定义设G是X中的一个子集,P0是G中一点, 如果存在某个U(P0)(6>0),使得U(P0)G,则称Po是G的 个内点( Inner point) 如果一个集合G的所有的点都是它的内点,就称这个集合是开集 open set 内部的定义设G是X中的一个子集,G中所有内点构成的集合, 称为G的内部,记作C 例在R中,任意开区间(a,b)(有界或者无界)是开集 证明当(a,b)是有界区间时,对于(a,b)中的任意一点x,必有 a0,y>0}是开集 般情形,平面上由几条连续曲线围成的图形内部所有的点组成的 集合是开集. 在R3中,由几张连续曲面围成的图形内部所有的点组成的集合是开 在R1,R2,R3和R"中,空集是开集,空间本身也是开集 (三)豪点与闭集 聚点的定义设G是X中的一个子集,P0是X中一点,如果对任何 U6(P)(6>0),在U6(P0)中至少有一个异于P0的G中的点则称 Po是G的一个聚点( accumulation point) 如果一个集合G包含它的所有的聚点,就称这个集合是闭集 闭包的定义设G是X中的一个子集,G中所有聚点构成的集合, 称为G的闭包,记作G 例在R中,任意开区间[a,b](有界或者无界)是闭集 第一节多元函数

第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 3 在 ( ) 2 3 R ,d 中, ( ) U P0 是以点 P0 为中心,以  为半径的开球. (二) 内点与开集 内点与开集的定义 设 G 是 X 中的一个子集, P0 是 G 中一点, 如果存在某个 ( ) U P0 (  0) ,使得 U (P0 )  G ,则称 P0 是 G 的一 个内点( inner point ); 如果一个集合 G 的所有的点都是它的内点,就称这个集合是开集 ( open set ). 内部的定义 设 G 是 X 中的一个子集, G 中所有内点构成的集合, 称为 G 的内部, 记作 0 G 。 例 在 R 1 中,任意开区间 (a,b) (有界或者无界)是开集. 证明 当 (a,b) 是有界区间时,对于 (a,b) 中的任意一点 x ,必有 a  x  b.令  = min{x −a,b − x},这是一个正数,并且有 U (x) = (x − , x + )  (a,b)  .这说明 x 是 (a, b) 的一个内点,由 x 的 任意性知 (a, b) 中所有的点都是它的内点,因而 (a,b) 是开集. 当 (a,b) 是无界区间时,请读者自己证明 (a,b) 是开集. 例 在 2 R 中,集合 {( x, y) | x  0, y  0} 是开集. 一般情形,平面上由几条连续曲线围成的图形内部所有的点组成的 集合是开集. 在 R 3 中,由几张连续曲面围成的图形内部所有的点组成的集合是开 集. 在 R 1 , 2 R , R 3 和 R n 中,空集是开集,空间本身也是开集. (三) 聚点与闭集 聚点的定义 设 G 是 X 中的一个子集, P0 是 X 中一点, 如果对任何 ( ) U P0 (  0) ,在 ( ) U P0 中至少有一个异于 P0 的 G 中的点.则称 P0 是 G 的一个聚点(accumulation point). 如果一个集合 G 包含它的所有的聚点,就称这个集合是闭集 (closed set). 闭包的定义 设 G 是 X 中的一个子集, G 中所有聚点构成的集合, 称为 G 的闭包, 记作 G 。 例 在 R 1 中,任意开区间 [a,b] (有界或者无界)是闭集

第二章多元函数微分学 在R中,开区间(a,b)的所有聚点构成的集合是闭区间{a,b];若用 Q表示R中所有有理点构成的集合,则每个实数都是Q的聚点 在R中,任意闭区间[a,b都是闭集在R2中,任意闭圆盘 {P∈R2:d(P,P0)≤6.}(6>0)都是闭集.在R中,任意闭球 {P∈R3:d(P,P0)≤6}(a>0)都是闭集 (四)开集与闭集的性质 (1)在度量空间X中,X本身作为空间X的一个子集,既是开集,又是闭 空集作为空间X的一个子集,既是开集,又是闭集. (2)在度量空间X中,任意开集的余集是闭集;任意闭集的余集是开集 (3)任意多个开集的并是开集;有限多个闭集的并是闭集 (4)任意多个闭集的交是闭集;有限多个开集的交是开集。 2-1-1-3集合的紧致性、完备性与连通性 (一)完备性 Cauchy序列定义:(Pm)是度量空间X中的点列,若对于任意事先给定 的正数E,都能够找到自然数N,使得所有满足m>N、k>N的自 然数m,k,都有d(Pm,Pk)<E 完备空间:若度量空间X中任何 Cauchy列都存在极限,称为X具有完 备性( completeness),或完备空间 可类似定义完备集。 例:R"是完备的 (二)紧致性 开覆盖定义:{O2∈A}是度量空间x中的一簇开集,S是X中的 个子集。,若∪O1S,则称{1∈A}是S的一个开覆盖。 紧致集定义:S是度量空间X中的一个子集,若S的任何开覆盖,必有 有限的开覆盖,则称S是紧致集 R"的紧致性:在R"中以下三条等价: (1)S是R”中的紧致集 2)S是有界闭集 3)S中任何无穷有界集必有聚点(列紧性)。 (三)连通性,考虑R2(或R) 第一节多元函数

第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 4 在 R 1 中, 开区间 (a,b) 的所有聚点构成的集合是闭区间 [a,b] ;若用 Q 表示 R 1 中所有有理点构成的集合,则每个实数都是 Q 的聚点. 在 R 1 中,任意闭区间 [a,b] 都是闭集.在 2 R 中,任意闭圆盘 { : ( , ) .}( 0) 0 2 P  R d P P     都是闭集. 在 R 3 中,任意闭球 { : ( , ) .}( 0) 0 3 P  R d P P     都是闭集. (四) 开集与闭集的性质 (1)在度量空间 X 中, X 本身作为空间 X 的一个子集,既是开集,又是闭 集. 空集作为空间 X 的一个子集,既是开集,又是闭集. (2)在度量空间 X 中,任意开集的余集是闭集; 任意闭集的余集是开集. (3)任意多个开集的并是开集；有限多个闭集的并是闭集。 (4) 任意多个闭集的交是闭集；有限多个开集的交是开集。 2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性 (一) 完备性 ⚫ Cauchy 序列定义: (Pm) 是度量空间 X 中的点列, 若对于任意事先给定 的正数  ，都能够找到自然数 N ，使得所有满足 m  N 、 k  N 的自 然数 m, k ，都有 ( , )   d Pm Pk . ⚫ 完备空间: 若度量空间 X 中任何 Cauchy 列都存在极限，称为 X 具有完 备性(completeness), 或完备空间。 ⚫ 可类似定义完备集。 例： n R 是完备的。 (二) 紧致性 ⚫ 开覆盖定义: O   是度量空间 X 中的一簇开集， S 是 X 中的一 个子集。, 若  O  S    , 则称 O   是 S 的一个开覆盖。 ⚫ 紧致集定义: S 是度量空间 X 中的一个子集,若 S 的任何开覆盖, 必有 有限的开覆盖，则称 S 是紧致集。 ⚫ n R 的紧致性：在 n R 中以下三条等价： (1) S 是 n R 中的紧致集: (2) S 是有界闭集; (3) S 中任何无穷有界集必有聚点(列紧性)。 (三) 连通性, 考虑 2 R (或 R 3 )

第二章多元函数微分学 ●连通性定义10.1.5设D为R2(或R)中的一个集合,如果对于D中 任意两点PQ,都可以用完全在D中的一条连续曲线L将它们连接起 来,则称D是连通集( connected set)(这样的集合也称弧(arc)连通集) 例:在R中,任意非空区间(开或闭,有界或无界)都是连通集. 在R中,任意圆盘S={(x,y)∈R2x2+y20)}是连通集 但是如果在这个圆盘中除去任意一条直径,所余下的点集合不是连通集 再如,R2本身或者R2中的每个象限,都是连通集 但R2中除去x轴后余下的集合不再是连通集 ●区域的定义:连通的开集称为区域( range).因为这里的区域是开集, 所以又称区域为开区域 在R2中,任意开区间(有界或无界)都是区域 在R2中,常见的区域是由若干连续曲线围成的集合内部,而这些曲 线称为区域的边界( bound) 在R3中,常见的区域是由若干连续曲面围成的集合内部.而这些曲 面构成了区域的边界 区域连同它的边界构成的集合称为闭区域( closed range).闭区域是 闭集 第一节多元函数

第二章 多元函数微分学 第一节 多元函数 5 ⚫ 连通性定义 10.1.5 设 D 为 2 R (或 R 3 )中的一个集合,如果对于 D 中 任意两点 P,Q,都可以用完全在 D 中的一条连续曲线 L 将它们连接起 来,则称 D 是连通集(connected set) (这样的集合也称弧(arc)连通集) ⚫ 例: 在 1 R 中,任意非空区间(开或闭,有界或无界)都是连通集. 在 2 R 中,任意圆盘 {( , ) | ( 0)} 2 2 2 S = x y R x +y  R R  是连通集. 但是如果在这个圆盘中除去任意一条直径,所余下的点集合不是连通集. 再如, 2 R 本身或者 2 R 中的每个象限, 都是连通集; 但 2 R 中除去 x 轴后余下的集合不再是连通集. ⚫ 区域的定义: 连通的开集称为区域(range).因为这里的区域是开集, 所以又称区域为开区域. 在 1 R 中,任意开区间(有界或无界)都是区域. 在 2 R 中,常见的区域是由若干连续曲线围成的集合内部,而这些曲 线称为区域的边界(bound). 在 3 R 中,常见的区域是由若干连续曲面围成的集合内部. 而这些曲 面构成了区域的边界 . 区域连同它的边界构成的集合称为闭区域(closed range).闭区域是 闭集