第六章定积分 第六章定积分 (The definite integration) 第十六讲定积分的计算方法 课后作业: 阅读:第六章64,6.5,6.6:pp176--193. 预习:第七章7.1,7.2,7.3:pp19-210 练习pp.182-184:习题6.4:1;2;3,7,8中的单数序号小题:11; 17;20 p6-1886.5:12;3中的单数序号小题;4;6; 8;9;11;24;26;27 作业pp82--184:习题6.4:3,中的双数序号小题;5;6; 7,(6),(8),(10);8,(2),(4);9;10;15;16;18;21 17;20. pp16-88865:3,中的双数序号小题;6;7;10;12 14;18;20,(1),(2);21,(3);22;25;29 6-4定积分的计算方法 6-4-1变量置换法 定理:设f∈C[A,B](连续),如果函数x=u(t)满足下列条件: (1)u(t)在[a,]上连续可导,且u([a,)[a,b][A,B] (2)u(a)=a,u(B)=b; a a 由于保证了两边被积函数的连续性,因而直接利用N--L公式即可证 明。 定理:设f∈Ra,b](可积),如果函数x=u(t)满足下列条件: (1)u(t)在[a,]上连续可导,且单调; (2)u(a)=a,u()=b 则f(x)d=f(u)( a 这个证稍麻烦,要把两边化成积分和,对△x1=u(t)-u(t-1) 用有限增量公式来证明,有兴趣者可尝试之。 1,若f(x)是[-aa]上的可积的奇函数f(x)dx=0 a 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 第六章 定积分 (The definite integration ) 第十六讲 定积分的计算方法 课后作业： 阅读：第六章 6.4, 6.5, 6.6: pp176---193. 预习：第七章 7.1, 7.2, 7.3: pp199---210. 练习 pp.182---184: 习题 6.4 : 1; 2; 3, 7, 8 中的单数序号小题; 11; 17; 20. pp.186---188: 习题 6.5 : 1; 2; 3,中的单数序号小题; 4; 6; 8; 9; 11; 24; 26; 27. 作业 pp.182---184: 习题 6.4 : 3,中的双数序号小题; 5; 6; 7, (6), (8), (10); 8,(2), (4); 9; 10; 15; 16; 18; 21. 17; 20. pp.186---188: 习题 6.5 : 3,中的双数序号小题; 6; 7; 10; 12; 14; 18; 20, (1), (2); 21, (3); 22; 25; 29. 6-4 定积分的计算方法 6-4-1 变量置换法 定理：设 f C[A, B] (连续), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且 u([,]) [a,b] [A,B] ; (2) u() = a, u() = b ; 则 = f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用 N--L 公式即可证 明。 定理：设 f R[a,b] (可积), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且单调 ; (2) u() = a, u() = b ; 则 = f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 这个证稍麻烦，要把两边化成积分和, 对 ( ) ( ) i = i − i−1 x u t u t 用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。 例 1, 若 f (x) 是 − a,a 上的可积的奇函数 ( ) = 0 − a a f x dx ;
5六章定积分 若(x)是ad上的可积的偶函数→∫八x=2(x 例2,证明:若∫∈C[O,1,则 o fr(sin xdr=r(cos xdo (2)jx/mxx=∫/(smx 证:令x=丌-1,d=-dt, ∫x/mnx=(x-)/(sm-m) =「πf(sn)t-「1/(sn)t →2「x/(smx)d=「π/(imt)dt xsIn dx πrd(cosx dx dh 1+cosx I+cos-x X=其 telcos x) 例3:若∫∈C[A,B],[a,b]c[A,B求极限 f(x+h)-f(x) 〔(+)-/( 解:lim f(x+h)-f(x) dx=lim h→0 (x+b()2)1(广0 lim((+h)-f(a+h)=f(b)-f(a 例4,若函数∫(x)是以T为周期的可积周期函数,证明: (1)Va, f(x)ax= f(x)dx 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 若 f (x) 是 − a,a 上的可积的偶函数 ( ) ( ) = − a a a f x dx f x dx 0 2 例 2, 证明 : 若 f C[0,1], 则 (1) ( ) ( ) = 2 0 2 0 sin cos f x dx f x dx ; (2) ( ) ( ) = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx 证：令 x = − t , dx = −dt , ( ) ( ) ( )( ) = − − 0 0 xf sin x dx t f sin t dt = = ( ) ( ) − 0 0 f sin t dt t f sin t dt ( ) ( ) = 0 0 2 x f sin x dx f sin t dt . 求: ( ) + = − + = + 0 2 0 2 0 2 1 cos cos 1 cos 2 sin 1 cos 2 sin x d x dx x x dx x x x = ( ) 4 cos 2 2 0 = − = = x x arctg x 例 3: 若 f C[A, B], [a,b] [A, B] 求极限 + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 . 解： + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 = ( ) ( ) h h b a h h f x h f x dx + − → ( ) ( ) lim 0 = ( ) + − → h b h a lim f (x h) f (x) dx 0 = ( ) + → + h b h h a h lim f (t) dt 0 = lim ( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 f b h f a h f b f a h + − + = − → 例 4, 若函数 f (x) 是以 T 为周期的可积周期函数, 证明： (1) a , = a+T T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) ;
5六章定积分 (2)研究函数F(x)=|f(1)a是否也是周期函数? (1)f(x)dx=If(x)dx+If(x)cx+If(x)dx 做变换:x=t+T, f(x)d=」f(t+n)=」f(nlt a+r ∫/(x)=丁(x)+(x)+∫f(xh-fx)d (2)F(x)=「f()d是否是周期函数,要看 x,F(x+)-F(x)=0 是否成立。而 F(x+7)-F(x)=j/(0÷JMt 结论是:若被积函数f(x)是T周期函数,则F(x)=∫ 是周期函数的充要条件是:f()d=0。 若∫()=/≠0,则F(x)=周期函数+线性函数 因为d=1,这样函数g(x)=f(x)-是周期函数,且有 g(x)x=f(xddx--dx=0 则G(x)=g()是周期函数。这样 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 (2) 研究函数 = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否也是周期函数？ 证明： (1) + + = + + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a T a T T a T a f x dx f x dx f x dx f x dx 做变换： x = t +T , = + = a+T a a T f x dx f t T dt f t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) ; = − + + a+T a T a a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = T f x dx 0 ( ) (2) = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否是周期函数，要看 x, F(x +T)− F(x) = 0 是否成立。而 ( ) + − = = x+T T x F x T F x f t dt f t dt 0 ( ) ( ) ( ) . 结论是： 若被积函数 f (x) 是 T 周期函数，则 = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数的充要条件是： ( ) 0 0 = T f t dt 。 若 ( ) 0 0 = f t dt I T , 则 F(x) =周期函数 + 线性函数. 因为 dt I T I T = 0 , 这样函数 T I g(x) = f (x) − 是周期函数，且有 ( ) ( ) 0 0 0 0 = − = dx T I g x dx f x dx T T T ; 则 = x G x g t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数。这样：
5六章定积分 =F( F(x)=f(dt=G(x)+x 例5:计算[snx-sin3xah 解:∫√smx-m3x在=、mx10 =[A、smx:cosx+[√smx(- cos xdx =2√smxc=2”√ sin xdsin x 、 sin x cos xo=2 sin xsinx 例6:计算smx=sm2x 解1:[snx-sn2xd √mx(-snx)dx= n x cos cOS -1·cost-sin f V(cos1 + sin ()2-1. d( cos t + sin 1)=4 u2-Idu 1+h 1‖=2√2-2hn1+√2 Inax+ 解2: /2cosx√smnx-Sm-x sin x-sin-x dx=2 COS x 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 x T I dt F x T I G x f t x = − = − ( ) ( ) ( ) 0 , x T I F x f t dt G x x = = + ( ) ( ) ( ) 0 . 例 5: 计算 − 0 3 sin x sin x dx . 解: − 0 3 sin x sin x dx = 0 sin x cos x dx = ( ) + − 2 2 0 sin x cos xdx sin x cos x dx = = 2 0 2 0 2 sin cos 2 sin sin x xdx x d x = = 2 0 2 0 2 sin cos 2 sin sin x xdx x d x = ( ) 3 4 sin 3 4 2 0 3 = x 例 6: 计算 − 0 2 sin x sin x dx . 解1： − 0 2 sin x sin x dx = = ( ) − = − 0 2 0 2 sin 2 sin 1 sin sin cos dx x x x x dx x = − 0 2 sin 2 cos 2 cos 2 2sin dx x x x x = ( ) + − − 2 0 2 2 cos sin 1 cos sin t t t t dt = ( ) ( ) + − + = − 2 1 2 4 0 2 4 cost sin t 1 d cost sin t 4 u 1du = ( ( )) 2 1 2 2 1 ln 1 2 4 u u − + u − u − = 2 2 − 2ln (1+ 2) ( (x x a ) c a x − a dx = x x − a − + − + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1 ) 解2： − 0 2 sin x sin x dx =2 2 − 0 2 cos cos sin sin dx x x x x
5六章定积分 sIn x-sin sIn x du +1-1 1+l √1+t2+hn+√1+t2)-n+√l+t 1+t2--n+√1+t =22-h+√2) +u →l dt 1+ -du= 2 r-2t 2dt dv 6-4-2分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处,只 是可随式的推导及时代入积分限即可: u(x)dv(x) =u(x)v(x)-v(xdu(x) 对于分部积分的计算同样有三种情形:化简型;循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例7计算xe2ax 解:先求xe2的原函数.令l=-x2,则xx=-dht,于是 ∫xe2ax=-∫e"dh=-e“+c=-e2+c 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 = ( ) − − = − − 1 0 2 2 2 0 2 2 1 sin 2 1 sin sin sin 2 du u u u d x x x x = + + − = + 1 0 1 0 1 1 1 4 1 2 d u u u du u u = + + − 1 0 2 2 1 1 4 1 dt t t = ( ) ( ) 1 0 2 2 2 ln 1 ln 1 2 1 1 2 4 + t + t + + t − t + + t t = ln ( 1 ) 2( 2 ln (1 2)) 2 1 1 2 4 1 0 2 2 = − + + t − t + + t t = 2( 2 − ln (1+ 2)) ⚫ + = + 1 0 1 0 1 2 1 2 du u u du u u , 令 1 1 2 2 2 − = + = t t u u u t , ( ) 2 2 1 2 − − = t t dt du , ( ) ( ) − + − − + = − − = + 0 2 2 2 0 2 2 2 1 0 1 1 1 4 1 2 2 1 2 dv t t t t dt du u u 6-4-2 分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只 是可随式的推导及时代入积分限即可: = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例 7 计算 − 1 0 2 1 2 xe dx x 解: 先求 2 2 1 x xe − 的原函数.令 2 2 1 u = − x ,则 xdx = −du ,于是 xe dx e du e c e c x u u x = − = − + = − + − − 2 2 2 1 2 1
5六章定积分 于是 例8计算 e" sin xdx cos xdx costae e cos x0-25 e" sin xdx sin xdx e sin xdr=l+ear a2+1 例9:计算n=sm”xar 解:n=-」 sin"- cosx sin".cosx+(n-Dsin"-x. xdx dr-(n-1)sin 1=1,I 可证:In=sn"xax=cos"xat=fxdh 0y1-x J,=tg"xdx=[tg?- (sec2x-lkdx ∫4g2nod(g)-Jgax=n Jo n 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 于是 − 1 0 2 1 2 xe dx x e e x 1 1 1 0 2 1 2 = − = − − 例 8 计算 = − 0 0 0 cos 1 sin 1 sin e xdx a e x a e xdx ax ax ax = = − = − − 0 2 0 2 0 2 sin 1 cos 1 cos 1 e xdx a e x a xde a ax ax ax = ( ) − − − − 0 2 2 sin 1 1 1 e xdx a e a a ax 1 1 sin 2 0 + + = a e e xdx a ax 例 9: 计算 = 2 0 sin I xdx n n 解: − = − 2 0 1 sin cos I xd x n n = − + − − − 2 0 2 2 2 0 1 cos ( 1) sin cos sin x x n x xdx n n = − − − − 2 0 2 0 2 ( 1) sin ( 1) sin n xdx n xdx n n . , 1 2 I 0 = I 1 = , 2 1 − − n = n I n n I ,. 可证: − = = = 1 0 2 2 0 2 0 1 sin cos x x dx I xdx xdx n n n n . ( ) = = − − 4 0 2 2 2 4 0 2 sec 1 J tg xdx tg x dx n n n = ( ) − − − 4 0 2 2 4 0 2 2 tg d tgx tg dx n n = 1 2 1 1 − − − n J n 4 0 J = , 1 2 1 1 − − − n = n J n J , − − − − = −2 2 3 1 2 1 1 n n J n n J =
5六章定积分 (1r/A+(Jr 例10,台劳公式的积分形式 /(x)-f(a)=/(dt=-fr(d(-) :-f'(o(x- s+(x-1)/"(dt f(a(x-a)+rod(x-1) f(a(x-a)+u(x-a)+a(x-1"()dt (x-a)+「(x-rm( 若连续则有 (x-)"fm+)( (x-t)'at l ro- ()(x-a==ftom ((-alro 远正是台劳公式的 Lagrange佘项 例1l.计算定积分:[xh(1+e)dx 解法 积分区间对称,能否利用奇、偶函数积分性质? 令∫(x)=xln(1+e3) =f(x=-xIn(1+e)=-xhn(1+e)+x 故f(-x)≠-f(x),即f(x)非奇非偶。 但f(-x)=-/f(x)+x2→f(x)=-f(-x)+x g(x)=f(x) 2=1()-(x 2 是奇函数 0=,g(x)dx=,{(x)--}dx 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 = ( ) ( ) − − − += n k k n 1 2k 1 1 4 1 例 10, 台劳公式的积分形式: ( ) − = = − − x a x a f (x) f (a) f (t)dt f (t)d x t = ( ) ( ) − − + − = = x a t x t a f (t) x t x t f (t)dt = ( ) ( ) − − − + x a f a x a f t d x t 2 ( ) 2! 1 ( ) = ( ) ( ) ( ) − + − − + x a x a x t f t dt f a f a x a ( ) 2! 1 2! ( ) ( ) 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) + = − + − x a n n n k n n x t f t dt n x a n f a ( ) ! 1 ! ( ) 1 1 若连续则有： ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + + x a n x n a n n x t dt n f x t f t dt n ! ( ) ( ) ! 1 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1! ( ) ! 1 ( ) + + + + − + = + − n n n n x a n f n x a n f . 远正是台劳公式的 Lagrange 佘项 例 11．计算定积分： − + 2 2 x ln(1 e )dx x [解法一] 积分区间对称，能否利用奇、偶函数积分性质？ 令 ( ) ln(1 ) x f x = x + e 2 f ( x) xln(1 e ) xln(1 e ) x x x − = − + = − + + − ( ) 2 f (−x) = − f x + x 故 f (−x) − f (x) ， 即 f (x) 非奇非偶。 但 ( ) 2 f (−x) = − f x + x ( ) 2 f (x) = − f − x + x ( ) ( ) − = − = − − − 2 2 ( ) ( ) 2 2 x f x x g x f x 是奇函数 − − = = − 2 2 2 2 2 } 2 0 ( ) { ( ) dx x g x dx f x
5六章定积分 则2x1+e)d=2x=jxh=8 解法二|h1+e)=h(1+e) 2ex+2ex+1) [x+ln(e+2+e-) 因为l(ex+2+e)是偶函数 所以xl(ex+2+e-x)是奇函数。 于是有[,xh(1+e) 22xx+e+2+c 2 解法三用换元法:令x=-t xh(1+e2)dx=l,则有 =tlh(1+e-)d=[[t2-tl(1+e)dt ∫xh(1+e2) t2dr=「t2dh 例12.设/(x)在[b上连续,且满足∫(x)d=0,J。(x)a=0 证明:35,n∈(a,b):f(5)=f(7)=0 [证]证法一:反证法 证法二:罗尔定理:令今F(x)=「f(xx 则F(a)=F()=0→3∈(a,b)F()=f()=0 0=xf(x)x= xdF(x)=xF()a-F(yx 0=F(x→3∈ab)F()=0 F()=F()=F()=0 35152∈(anb)F()=f(5)=0,i=12 第六章定积分
第六章 定积分 第六章 定积分 则 3 8 2 ln(1 ) 2 0 2 2 2 2 2 2 + = = = − − dx x dx x x e dx x [解法二] 2 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) x x + e = + e = ln( 2 1) 2 1 2 + + x x e e = [ ln( 2 )] 2 1 x x x e e − + + + 因为 ln( 2 ) x x e e − + + 是偶函数， 所以 ln( 2 ) x x x e e − + + 是奇函数。 于是有 − + 2 2 x ln(1 e ) dx x = 3 8 2 1 [ ln( 2 )] 2 1 2 2 2 2 2 + + + = = − − − x x e e dx x dx x x [解法三] 用换元法:令 x = −t ， 记： x e dx I x + = − 2 2 ln(1 ) ，则有 − − = + 2 2 I t ln(1 e ) dt t = t t e dt t dt I t − + = − − − 2 2 2 2 2 2 [ ln(1 )] 3 8 2 1 ln(1 ) 2 0 2 2 2 2 2 2 = + = = = − − I x e dx t dt t dt x 例 12．设 f (x) 在 [a,b] 上连续，且满足 ( ) = 0 b a f x dx , ( ) = 0 b a xf x dx 证明: , (a,b) : f ( ) = f () = 0 . [证] 证法一：反证法. 证法二：罗尔定理：令 ( ) ( ) = x a F x f x dx . 则 F(a) = F(b) = 0 (a,b),F() = f () = 0 ; ( ) ( ) ( ) = = = − b a b a b a b a 0 xf(x) dx xdF x x F x F x dx 0 = ( ) ( , ), ( ) = 0 F x dx a b F b a F(a) = F(b) = F( ) = 0 ; 1 , 2 (a,b),F( i ) = f ( i ) = 0, i =1,2
