《数学分析》第四章习题七

15为什么引用极坐标计算二重积分/=/(x,y)d D:x2+y2=1和x2+y2=4 之间的环域 ′-++付 怎么计算? 必须把D分块儿! D D D 此题用直角系算麻烦 需使用极坐标系!

15.为什么引用极坐标计算二重积分 1 2 D 0 y D1 D2 x D3 D4 D: 之间的环域 + =  和 + =      x y x y     = + + + D1 D2 D3 D4 I . 怎么计算？  = D I f (x, y)dxdy 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿!

16.利用极坐标计算二重积分 将=(x,yd变换到极坐标系/ 用坐标线6=常数;r=常数 6+△61 分割区域D 2(+A)20 A r+(r1+△r;) △rA0 △ =rΔr△AO.(是平均值) ;=Fc0s1,引;=Fsin D Ⅰ=lim∑f6,1 im∑Gc0s0,si,FAA01=』(r,stm)od 极坐标系下的面积元素

 = D 将 I f (x, y)dσ 变换到极坐标系(r,) 0 D 用坐标线  =常数；r =常数 分割区域 D i ri ri+1 i i θ i = r ΔrΔ . . i r Δσi = i i i i i r θ r r r Δ Δ 2 + ( +Δ ) = ( , ) i ηi ξ i i i i i θi ξ = r cosθ , η = r sin i i i n i lim f (ξ ,η )Δσ 1 = i i i i i i i n i lim f (r cosθ ,r sinθ )rΔrΔθ 1 = =  = D f (r cosθ ,rsinθ )rdrdθ . . . θi . . 极坐标系下的面积元素 (ri是平均值) 16. 利用极坐标计算二重积分 i i i +i I = i i i i θ i r r θ r Δ 2 1 ( Δ ) Δ 2 1 2 2 + − r

17怎样利用极坐标计算二重积分)n ∫(x,y)dxdy 极点不在区域D的内部 D:r()≤r≤r2(6) a≤6≤B B r;(6) B I=lf(x, y)dxdy F2() ∫(rcos6, rsing )rdr n(0)

17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 极点不在区域 D 的内部 0 A B F E ( ) r1  ( ) r2     D D: ( ) ( ) r1   r  r2       r f r θ r θ r r r θ r θ ( cos , sin ) d ( ) ( ) 2 1  =  = D I f (x, y)dxdy  = D I f (x, y)dxdy r

17,怎样利用极坐标计算二重积分/=』/(xp)d 极点不在区域D的内部 D:r(6)≤r≤r2(6) a≤6≤B D I=lf(x, y)dxdy F2() ∫(rcos6, rsing )rdr n(0)

17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 0 A B F E ( ) r1  ( ) r2    D f r θ r θ r r r θ r θ ( cos , sin ) d ( ) ( ) 2 1  = D: ( ) ( ) r1   r  r2       .  = D I f (x, y)dxdy  = D I f (x, y)dxdy 极点不在区域 D 的内部 r

17,怎样利用极坐标计算二重积分/=』/(xp)d 极点不在区域D的内部 D:r;(6)sr≤r2( a≤6≤B 步骤: 1从D的图形批出r,、下限; 2化被积函数为极坐标飛式; 3面积元素dxdy化为rdr0 D 8:::::::::.o I=lf(x, y)dxdy=de F2() ∫(rcos6, rsing )rdr n(0)

17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 0 A B F E ( ) r1  ( ) r2    D f r θ r θ r r r θ r θ ( cos , sin ) d ( ) ( ) 2 1  =  β α dθ D: ( ) ( ) r1   r  r2       步骤： . 1 从D的图形找出r, 上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd .  = D I f (x, y)dxdy  = D I f (x, y)dxdy 极点不在区域 D 的内部 r

18怎样利用极坐标计算二重积分2I=(x,dd 极点位于区域D的内部 D:0≤r≤r(6) 0<9≤2兀 6 D r(0) I=‖f(x,y)dxdy ∫(rcos, raine )rdr 0

极点位于区域 D 的内部 0 r( )  D f r θ r θ r r r θ ( cos , sin ) d ( ) 0 = . r D: 0  r  r( ) 0   2  = D I f (x, y)dxdy 18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2)  = D I f (x, y)dxdy r

18怎样利用极坐标计算二重积分)I=「f(x,y)dxdy 极点位于区域D的内部 D:0≤r≤r(6) 0<≤2兀 D r(0) I=‖f(x,y)dxdy ∫(rcos, raine )rdr 0

r( )  D: 0  r  r( ) 0   2 f r θ r θ r r r θ ( cos , sin ) d ( ) 0 = D 0 18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2) .  = D I f (x, y)dxdy  = D I f (x, y)dxdy 极点位于区域 D 的内部 r

18怎样利用极坐标计算二重积分)I=「f(x,y)dxdy 极点位于区域D的内部 D:0≤r≤r(6) 0<<2兀 步骤: 1从D的图形找出r,上、下限; 2化被积函数为极坐标式; 3面积元素dxdy化为rdr0 D 2丌 r() I=‖f(x,y)dxdy del f(coso, sine)rdr

r( )  D: 0  r  r( ) 0   2 f r θ r θ r r r θ ( cos , sin ) d ( ) 0 =    2 0 d . D 0 步骤： 1 从D的图形找出r, 上、下限； 2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd 18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2) .  = D I f (x, y)dxdy  = D I f (x, y)dxdy 极点位于区域 D 的内部 r

19.把=/(x,y)dy变为极坐标形式 D:(x-a)2+y2=a2与y=0所围区域 解 (x-a)2+y2=a 即r=2acos6, I=llf(x, y)dxdy D r=acos e arose 2d6 ∫(rcos0,rsin)rdr 0 2a

0y x 把 =  ( , )d d 变为极坐标形式 D I f x y x y D : ( x − a )  + y  = a  与 y =  所围区域 2 a  r = 2 acos  . .   = 20 2 cos 0 d ( cos , sin ) d π a θ θ f r θ r θ r r ( ) 2 2 2 解 x − a + y = a 即 r =  acos  , 19.  = D I f ( x , y ) dx dy

20计算I=f(x,y)dxyD:x2+y2=1和x2+y2=4 之间的环域 变换到极坐标系 D:p=1和p=2 围成 6:0→)2元 D

此题用直角系算麻烦， 需使用极坐标系！ 1 2 D 0 y x D:     = + + + D1 D2 D3 D4 变换到极坐标系 I  : 0 → 2   = π θ f r θ r θ r r 2 0 2 1 d ( cos , sin ) d . .  之间的环域 + =  和 + =      20. x y x y  = D 计算 I f (x, y)dxdy  = D I f (x, y)dxdy D: =1和  =2 围成