复习§2:平行截面面 4.一重积分的计算(D是矩形区域 z=f(x,y) 积为已知的立体的体积 y=J fr(x,y)dxdy zf(x,y) D是矩形区域{ab;c,团 Q(y)=」,∫(x,y)dx Ⅰ=「Q)y e(y D 问题:Q(y)是什么图形?是曲边梯形
4.二重积分的计算 (D是矩形区域) 复习§2：平行截面面 积为已知的立体的体积 y 0 x z y a b c d D D是矩形区域 [a,b ; c,d] z=f (x,y) b a f (x, y)dx = d c Q( y)dy Q( y) = = y y z f (x, y) 问题：Q( y)是什么图形？ Q( y ) = I 是曲边梯形。 = D I f (x, y)dxdy
4.二重积分的计算(D是矩形区域) I=llf(r, y)dxdy zf(x,y) D是矩形区域{ab;c,团 Q(y)=」,∫(x,y)dx Ⅰ=g()y f∫(x,y)dx 同理,也可以先对积分Ⅰ=」dx。∫(x,y)ry
4. 二重积分的计算 (D是矩形区域) 0 x z y y a b c d D = d c b a dy f (x, y)dx . b a Q( y ) = f (x, y)dx = d c I Q( y)dy 同理，也可以先对y 积分 = b a d c I dx f (x, y)dy . . = D I f (x, y)dxdy z=f (x,y) D是矩形区域 [a,b ; c,d]
5.二重积分的计算(D是曲线梯形区域) z=f(x,y) y=J =』(x,ydxd zf(x,y) D:g()≤xs(y) c≤y≤d y(y) Q(y) f(x, y)dx P(y) I=∫Q()dy x=l) e() x=yv) ▲ 间题:Q(y)是什么图形?也是曲边梯形!
0 x z y c d D z=f (x,y) ( ) ( ) ( , )d ψ y φ y f x y x x=(y) x=(y) Q( y) . y 问题：Q( y)是什么图形？ Q( y ) = D: (y) x (y) c y d = = y y z f (x, y) 也是曲边梯形 ! 5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） = D I f (x, y)dxdy . d c I = Q( y)dy
5.二重积分的计算(D是曲线梯形区域) I=llf(r, y)dxdy A zf(x,y) D:g()≤xs(y) c≤y≤d y(y) Q(y) f(x, y)dx P(y) e()dy d Tdy[f(x,y)dx x=yv)
0 x z y x=(y) c y d D = d c ψ y φ y y f x y x ( ) ) d ( , )d ( . D: (y) x (y) c y d 5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） . = D I f (x, y)dxdy ( ) ( ) ( , )d ψ y φ y f x y x d c Q( y)dy Q( y ) = I = z=f (x,y) x=(y)
6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) c≤y≤d ●●● x10) D x2(y) f(, y)dx (y)
D: x1 (y) x x2 (y) c y d I = ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x 0 y x x1 (y) x2(y) D c d y = D I f (x, y)dxdy 6. 二重积分计算的两种积分顺序
6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) c≤y≤d x10y) D x2(y) f(, y)dx (y)
0 y x c d y D x1 (y) x2(y) I = 6. 二重积分计算的两种积分顺序 . = D I f (x, y)dxdy ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x D: x1 (y) x x2 (y) c y d
6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) D:y1(x)sy≤y2(x) c≤y≤d a<xsb y2(x) D D y(r) x b f(, ydx I f(x, y)dy x1(y) y1(x)
0 y x c d y d c dy D D: y1 (x) y y2 (x) a x b 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y 6. 二重积分计算的两种积分顺序 . = D I f (x, y)dxdy ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x D: x1 (y) x x2 (y) c y d
6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) D:y1(x)sy≤y2(x) c≤y≤d a<xsb y2(x) 0y) D D V(x): x b f(, ydx I f(x, y)dy (y) y1(x)
0 y x c d y D 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x 6. 二重积分计算的两种积分顺序 . = D I f (x, y)dxdy ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x d c dy D: x1 (y) x x2 (y) c y d D: y1 (x) y y2 (x) a x b
6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) D:y1(x)sy≤y2(x) c≤y≤d a<xsb y2(x) y 0y) D D y(r) x b b f(, y)dx I= dx. f(x, y)dy (y) y1(x)
0 y x c d y D 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x b a dx 6. 二重积分计算的两种积分顺序 . = D I f (x, y)dxdy ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x d c dy D: x1 (y) x x2 (y) c y d D: y1 (x) y y2 (x) a x b
2 24.将积分换序I 2ax f(x, y)d 2 解D 2ar-x2≤p≤√2ac 0≤x≤2a ∴I 十 2a DI D3 2 dylya f(x, y)dx 2ax 2 +ldy f(a, y)de +|d ∫(x,y)dx x=-va x=a+a 2a 还有别的方法吗?
0 y 2a x 2a 24. 将积分换序 d ( , )d − = a ax ax x I x f x y y a D: ax − x y ax 解 0 x 2a D1 D2 D3 y = ax . x = a + a − y . x = a − a − y . = + + D D D I d ( , )d = a a a a y y f x y x d ( , )d − − + a a a y a y y f x y x d ( , )d + − + a a a a y y f x y x . 还有别的方法吗？
