第四章重积分 第四章重积分 二重积的计算习题讨论 讨论题目: 1.计算累次积分 =dx SinXdy+dx Sindy 2y2 2y 2.计算二重积分=-x2-y2d, 其中D={(x,yMax(x)1} 3.求二重积分:=d, 2≤x≤4 其中D={(xy x2+y 2≤2y2≤4 4.求二重积分:1=2x Dvx"+y 其中D=({xy)x2+y2≤R2} 5.求二重积分: I= 6.求三重积分:=(x+y+zv 其中2={(xy 0≤z≤1-y2-z z≤√x2+y2 7.设f:cR3→R,f∈(),且 A=ax((p),vP gradM,证明: 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 第四章 重积分 二重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分 = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin 2. 计算二重积分 = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 3. 求二重积分: = D d x y I 1 , 其中 ( ) + + = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 4. 求二重积分: − + = D d y f x x f y x y I 2 2 1 其中 ( ) 2 2 2 D = x, y x + y R . 5. 求二重积分: + − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I 6. 求三重积分: I (x y z)dv = + + 其中 ( ) + − − = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 7. 设 f R → R 3 : , () 1 f C , 且 A Max( f (P)) P = , P, grad f M ,证明:
第四章重积分 1=Ss(,y ,=kv ≤A+M, 其中,V是域Ω的体积。 8.证明;√Ⅵ-a2≤je-≤√zⅥ-e“,a>0 9.若Wx∈f(x)>0,单调减,设 x(.[是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标; x(2D]是y=f(x)在上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/p1x(2p 10.若Wx∈[]0<m≤f(x)≤M,证明: dxd≤ 4Mm 参考解答: 1.计算累次积分 解:=「d「S 2.计算二重积分=h x - y ao, 其中D={xy)Ma(x)≤ 解:1=41-x2-y2hy D 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 = + , 其中, V 是域 的体积。 8. 证明; 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e − − − − − , a 0 . 9. 若 x0,1, f (x) 0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f x f 10.若 x0,1, 0 m f (x) M , 证明: ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 + . 参 考 解 答: 1. 计算累次积分 = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin 解: = 2 2 2 1 y y dx y x I dy Sin = − 2 1 2 2 2 dy y Cos Cos y = ( ) 2 + 4 2 2. 计算二重积分 = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 解: = − − 1 2 2 4 1 D I x y dxdy y y=2 y=x y=x1/2 0 1 2 4 x
第四章重积分 1=VI-x-y dxdy J 2 dv 12=l-x2-y2drdy dx y-1 18 4133(x p=Sin/2 3.求二重积分:/=「1d, 2 4 D={(x 2≤-y 解: sIne 2|d 2 p Cos0 Sine Cos6 Sin Cos日 In(2ige ) d(g0)=hn22 4.求二重积分:I 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 = − − 1 2 2 1 1 D I x y dxdy = − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0 2 − = x dx ; = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy = − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 = − − + x dx x x = − = − 3 1 3 2 18 1 6 4 I 3. 求二重积分: = D d x y I 1 , ( ) + + = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 解: = D d x y I 1 = = 4 2 1 2 1 4 1 2 2 arctg Sin Sin Cos Sin d d = 4 2 1 2 ln 1 2 arctg d Cos Sin Cos Sin = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 = arctg tg d tg tg 4. 求二重积分: − + = D d y f x x f y x y I 2 2 1 y 1 D2 D1 0 1 x y =Sin/2 =Sin/4 =Cos/2 0 x =Cos/4
第四章重积分 其中D={xy)x2+y2≤R2 解:考虑极坐标系x=pCo do=pdpde. D=(x,y)x2+y2sR2 ,)(2 af a(p, 0)(y pa(x, y-x/ pa(e, e)a(x)) pae 为:(nO) 因 (x,y)(-x((p,0)(-x Cose -p sine(y PCos p Sine y Sin6Cos日人-x 1(0 0 (-p af -j420m0=-j00,-0.9)=0 5.求二重积分: 解:如图,切点42 D, 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 其中 ( ) 2 2 2 D = x, y x + y R . 解:考虑极坐标系 = = y Sin x Cos , d = d d . ( ) 2 2 2 D = x, y x + y R ( ) − = − + x y x y f y f x x f y x y , 1 1 2 2 = = ( ) ( ) ( ) ( ) − = − x y x y f x y x y f , , , 1 , 1 = − 1 f 因为: ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − x x y y x y x y 1 , , , , = = − − − x y Sin Cos Cos Sin 1 = − − x y Sin Cos Cos Sin 1 . = − = − 1 1 0 0 − + = D d y f x x f y x y I 2 2 1 = − R d d f 1 = − 2 0 0 d f d R = ( ( ) ( )) − − = R f f d 0 0, 0, 0 5. 求二重积分: + − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I 解:如图,切点 2 2 , 2 2 A , y A O1 D1 O x D2
第四章重积分 √2 小园园心O|, 1=Is(x, ,)do=Ido+[irldo D∪D2 21(y)d-J/(xy)=1-l2 1=2/( √2 √2 d-2 3-24l0=16 y do =1-l 6.求三重积分 ∫(xy+h,其中 0≤z≤√1- (x,y,) 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 小园园心 4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 , − − f x y = − x − y ; ( ) = = + 1 2 1 2 , D D D D I f x y d f d f d = ( ) ( ) − 1 1 2 2 , , D D D f x y d f x y d = 1 2 I − I ; ( ) = 1 2 , 1 D I f x y d = = + − − − 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D d x y d = + − + 4 1 2 2 2 2 2 8 u v u v dudv = 16 2 8 2 1 3 − = d d ; x y d x y I x y + − − + = 1 2 2 2 2 2 2 = (x y )d x y + − + 1 2 2 2 2 = = 2 1 3 − = − d d ; 16 9 I = I 1 − I 2 = 6. 求三重积分: I (x y z)dv = + + , 其中 ( ) + − − = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z
第中章重积分 解:由函数与域的对称性 I=lll(x+y+=]v==dv 球坐标系:1==a= jdo ae cOser"Sin?b= 柱坐标系:=0=x; 8 直角坐标系:I=「「d cdeT 先对xy积分 1=jb==m+=-=)k=R 7.设∫:ΩcR3→R,f∈C" Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Ma(P)P∈S),vP∈|gd川≤M 证明:=顶/(x y,hv≤A 其中,;V是域Ω的体积,P∈Ω,彐∈S。 证:f(x,y,z)=f(P) o/(P) a 2) (xy:kh=(+、 x,] 4+grad ≤A+M(R-) x2+y2+-2≤R2 ≤A⊥MR兀 MR 即:V/力(x=≤A+M 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 解:由函数与域的对称性; I (x y z)dv = + + = z dv 球坐标系: = = = 1 0 2 2 0 4 0 8 I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系: − = = 2 2 2 1 0 2 0 8 I d d zdz ; 直角坐标系: − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz 先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0 = = + − = D z I dz dxdy z z dz z z dz 7. 设 R → R+ f 3 : , () 1 f C , 是半径为 R ,球心在原点的球面 S 所围成之域, 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f M , 证明: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 = + , 其中,; V 是域 的体积, P , P0 S 。 证: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P = + ; ( ) ( ) ( ) ( ) = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0 ( ) A+ grad f r dv PP0 ( ) + + + − 2 2 2 2 x y z R A V M R r dv + = + 3 4 4 M R V A MR AV ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 = +
第四章重积分 8.证明;a>0 √z-a2≤je-hs√zⅥ-e 证明: Aa()≤a -x2-2do≤le do 由r2=(2a)2,得r 由此得 e-- do s「le-do≤e-yd r(l-e")sjj 即 9.若vx∈[]f(x)>0,单调减,设 x(0是y=f(x)在[]上曲边梯形的重心x坐标; x(2D]是y=f2(x)在1]上曲边梯形的重心x坐标; 证明:x(/D≥x(2.ol) xf( dx x'( 证明:x(x(2D]e flx)adx f() 欢(x/(x2x=(x/(x 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 8. 证明; a 0 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e − − − − − , 证明: ( ) = Max x y a y x D : , + = 2 2 2 : x y a y x Da + = 2 2 2 : x y r y x Dr − − − − − − − − = a Dr x y D x y a a x D x y e d e e d e d 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) 2 2 r = 2a ,得 a r 2 = 由此得 − − − − − − a Dr x y D x y D x y e d e d e d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − − − ; 即: 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e − − − − − 9. 若 x0,1, f (x) 0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f x f 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f x f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 f x dx xf x dx f x dx xf x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 xf x dx f x dx xf x dx f x dx y a r
第四章重积分 ∫y(x)/()2y()/(x →jy(x)f()-y2()/()≥0 of(x)/2()-yo)(x)] 20 ∫()2(x)-xf(x/() x(D≥x(2e j()2()-yf(o)/()+y()y()-xf(()ohy20 因:xf(x)2()-yf2(v)(x)=f(x)/(0)xy(U)-y/(x) 则,x/(x)f2()-yf2()/(x)+y/()f2(x)-xf2(x)/() f(x)()x-yf(x)-f()≥0 10.若x∈[]0<m≤/(x)≤M,证明: M+m)2 l≤ 4Mm 0≤x≤ Syst 证明: dxdy dxd 0≤ys1 首先有:2「(b dxdy d(/()f(x) 0≤ys1 (需 +2ad≥2 dxdy=1 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 xf(x)f (y)dxdy yf (y)f (x)dxdy 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 − xf x f y yf y f x dxdy ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 − xf x f y yf y f x dxdy ( ( ) ( )− ( ) ( )) = xf x f y yf y f x dxdy 1 0 1 0 2 2 (yf (y)f (x) xf (x)f (y))dxdy − 1 0 1 0 2 2 ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f x f ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 2 2 − + − x f x f y yf y f x yf y f x x f x f y dxdy 因: x f(x)f (y)− yf (y)f (x) = f (x)f (y)(x f(y)− yf (x)) 2 2 则, x f(x)f (y) yf (y)f (x) yf (y)f (x) x f (x)f (y) 2 2 2 2 − + − = f (x)f (y)(x − y)(f (x)− f (y)) 0 10.若 x0,1, 0 m f (x) M , 证明: ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 + . 证明: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 dx f x dx f x dxdy f x f y dxdy f y f x y x y x 首先有: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 0 1 0 1 0 1 0 1 2 y x y x dxdy f x f y f y f x dxdy f y f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 = + − y x y x dxdy dxdy f x f y f y f x ;
第四章重积分 再者:有:(M-f(x) 0 f(x) (M+m)≥ M →(M+m)2Mm m +f(xbox 令u=(x=d 0 f() Mmws u+Mm(M+m)-2vmMuv →2Mmux(M+ →l≤ 即 4Mm 0≤x1 dy≤-4M 综合在一起有:15()s+m f() 4Mm susi 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为4),即{Mx(xy) SL.x+y≤A,x,y≥0 当x=y=时,xy取最大值,即xy≤ 重积分习题讨论
第四章 重积分 重积分习题讨论 再者:有: ( ( )) ( ) − 1− 0 f x m M f x ( ) ( ) f (x) f x M m M + m + ( ) ( ) ( ) + + 1 0 1 0 f x dx f y dy M m Mm 令 = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) , dy f y u f x dx v , ( ) 2 2 2 2 2 2 u Mmv M m mM uv Mm uv + − + ( ) 2 2 2 M m Mm uv + ( ) Mm M m uv 4 2 + . 即 ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 2 0 1 0 1 + 综合在一起有: ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 + 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2 A , 即 ( ) s. t. x + y A; x, y 0 Max x y 当 2 A x = y = 时, xy 取最大值,即 2 2 A xy