《数学分析》第十二讲 二重积的计算（三）

第四章重积分 第四章重积分 4-2二重积分的计算 4-2-1基本思路 4-2-2二重积分在直角坐标系下的计算 4-2-3二重积分在极坐标系下的计算 4-2-4二重积分在一般坐标系下的计算 第十二讲二重积的计算 课后作业: 阅读:第四章第二节:pp.102-107,、第三节:pp109113 预习: 第四节三重积分的计算pp114-123 作业:习题2:pp.108-109:13,(5),(6);2,(2),(3),(4); 3(书上错写成2,(3),(4);4(书上错写成3),(2),(4); 5(书上错写成4);7(书上错写成9);8(书上错写成10) 习题3:pp.113-114:2;3;4;5. 4-2-1基本思路 计算重积分( multiple integral)以定义上看是要求积分和式的 极限,im∑∫(5,n)△σ,显然,这在实际上是不可行的 实际计算重积分的基本思路是:在重积分存在的前提下,利用特 殊的两组曲线,通常是所谓的坐标线,来对积分域作分划,以此化成 做两个相串的定积分,叫做累次积分 而化累次积分的实质是把重极限化成累次极限来计算。因此,同 个重积分,在不同的坐标系中(例如直角坐标系、极坐标系等)可以化 为不同形式的累次积分 4-2-2二重积分在直角坐标系下的计算 现在来考察二重积分化 =(x,y=mn∑/(,4)A 为累次积分的过程。我们首先假设二重积分存在,因而在任何分划和 任何取法下,极限值相同 现在考虑一种特殊的分划:用两簇坐 标线: =x,y=y上=01…,n 来来划分积分域D,而D用联立不等式 b y(x)≤y≤y(x) y ∑/(5k25kA 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 第四章 重积分 4-2 二重积分的计算 4-2-1 基本思路 4-2-2 二重积分在直角坐标系下的计算 4-2-3 二重积分在极坐标系下的计算 4-2-4 二重积分在一般坐标系下的计算 第十二讲 二重积的计算 课后作业： 阅读：第四章 第二节: pp.102---107,、第三节: pp.109---113 预习： 第四节 三重积分的计算 pp.114---123 作业: 习题 2: pp. 108--109 :1,(3), (5), (6); 2, (2), (3), (4); 3(书上错写成 2), (3),(4); 4(书上错写成 3), (2), (4); 5(书上错写成 4); 7(书上错写成 9); 8(书上错写成 10); 习题 3: pp. 113--114 : 2; 3; 4; 5. 4-2-1 基本思路 计算重积分(multiple integral)以定义上看是要求积分和式的 极限,   → = n i i i i T f 1 ( ) 0 lim ( , )   , 显然，这在实际上是不可行的。 实际计算重积分的基本思路是：在重积分存在的前提下，利用特 殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线，来对积分域作分划，以此化成 做两个相串的定积分，叫做累次积分. 而化累次积分的实质是把重极限化成累次极限来计算。因此，同 一个重积分,在不同的坐标系中(例如直角坐标系、极坐标系等)可以化 为不同形式的累次积分. 4-2-2 二重积分在直角坐标系下的计算 现在来考察二重积分化  ( )  = → = =  N k k k k D I f x y d f 1 0 ( , )  lim  ,   为累次积分的过程。我们首先假设二重积分存在，因而在任何分划和 任何取法下，极限值相同。 现在考虑一种特殊的分划： 用两簇坐 标线: x = xi , y = y j i, j = 0,1,  ,n, 来来划分积分域 D , 而 D 用联立不等式        ( ) ( ) : 1 2 y x y y x a x b D  ( ) = → =  N k k k k I f 1 0 lim  ,   yn y2(I) y=y2(x)  yj (I,j ) y=y1(x) y0 y1(I) x0 x1 xi xn

第四章重积分 (,5,x ∑AE/( lm∑Axln|∑/,)y m∑4∫f(,y地jf(xy地 (x) ∫∫(x,yht a y() 若重极限mf(x,y)存在,又有一个累次极限的内层极限,如 imf(x,y)=o()存在, 则累次极限 lm lim f(x,y)=lmo()存在,且与重极限相同。 以上推导证明,归纳起有如下定理 定理设D是R2中的一个有界闭域,函数f(x,y)在D上连续, 且D可用联立不等式D y(x)sy≤y(x) 表示,其中y(x)y2(x)∈C[ab,则有 f(x, yida (3f(x,y)d称为f(x,y)在D上先对y后对x的累次积分 证明由于f(x,y)∈C(D),jf(x,y)da存在,在以上的证明中: 重极限=m∑f(,5kA△ak im∑∑/ 等于累次极限 的条件:v2l(/5.)y)在”成立, 因而定理正确。 *等式m∑/()4=lm∑∑/,5xAy 成立有待证明:因为含积分区域D边界的那些AσA,并不能用 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 =  ( ) → = =   →   n i n j i j i j y x f x y 1 1 0 0 lim  , =   ( ) → = =   →           n i n j i i j j y x x f y 1 1 0 0 lim  , =   ( ) = =  →  →                   n i n j i j j y i x x f y 1 1 0 0 lim lim  , = ( ) ( ) ( )   =  →          n i y y i i x i i x f y dy 1 0 2 1 lim ,    = ( ) ( ) ( )           b a y x y x f x y dy dx 2 1 , = ( ) ( ) ( )   b a y x y x f x y dydx 2 1 , 若重极限 f (x y) y y x x lim , 0 0 → → 存在, 又有一个累次极限的内层极限，如 f (x y) (y) x x = → lim , 0 存在, 则累次极限 f (x y) (y) y y x x y y  0 0 0 lim lim , lim → → → = 存在, 且与重极限相同。 以上推导证明，归纳起有如下定理. 定理 设 D 是 2 R 中的一个有界闭域，函数 f (x, y) 在 D 上连续， 且 D 可用联立不等式        ( ) ( ) : 1 2 y x y y x a x b D 表示，其中 ( ), ( ) [ , ] 1 2 y x y x C a b ，则有  D f (x, y)d   = b a y x y x f x y dy dx ( ) ( ) 2 1 [ ( , ) ] ,   b a y x y x f x y dy dx ( ) ( ) 2 1 [ ( , ) ] 称为 f (x, y) 在 D 上先对 y 后对 x 的累次积分. 证明 由于 f (x, y) C(D) ，  D f (x, y)d 存在，在以上的证明中： 重极限  ( ) = → =  N k k k k I f 1 0 lim  ,   * =  ( ) → = =   →   n i n j i j i j y x f x y 1 1 0 0 lim  , 等于累次极限   ( ) = =  →  →                   n i n j i j j y i x x f y 1 1 0 0 lim lim  , 的条件: “ ( )            =  → n j i j j y i f y 1 0  , lim  , 存在”成立， 因而定理正确。 * 等式  ( ) = →  N k k k k f 1 0 lim  ,   =  ( ) → = =   →   n i n j i j i j y x f x y 1 1 0 0 lim  , 成立有待证明：因为含积分区域 D 边界的那些  k ,并不能用

第四章重积分 Ax.△y,表示.但是,如覆盖边界的那些△O之和的极限为零,即 im∑△a4=0, AGk∩DD≠φ 前面等式在∫连续时成立。lm∑△G4=0这个条件可由D边界 aD是由有限段逐段光滑曲线构成的条件保证。 在直角坐标系中,面积元 do=dxdy 这时可写成 f(x, y)dxdy= dx f(r,y)dy 这里的dxdy只能作为一个整体记号来理解,代表直角坐标系下 的面积元 同理若积分域D可用联立不等式 x(y)≤x≤x,(y) 表示时,在可积条件下,二重积分f(x,y) dxdy也可以化为先关于x 后关于y的累次积分,即 f(x, y)dxdy= dyf(x,y)dx x1(y) 对于一般的积分区域D,通过适当增加辅助线的方法,将其分成 些小块D,而每一小块都至少满足上述一种联立不等式,这样一来 利用重积分的对区域可加性就得到了∫∫(x,y)dxd的值 ∫(x,y)bd=∑(x,y)d 例1计算二重积分(x)g(U)d,其中 D=(xy)a≤x≤bc≤y≤d} (x)g()g(炒∫/(x df(x(U=8(∫/(xkh 例2计算二重积分∫y、a2-x2hdhy,其中 (x,y2+y2≤a2a>0 解由于积分域D的联立不等式为 -a≤X≤a 所以 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 i j x y 表示. 但是，如覆盖边界的那些  k 之和的极限为零，即： lim 0 0   =    →     D k k , 前面等式在 f 连续时成立。 lim 0 0   =    →     D k k 这个条件可由 D 边界 D 是由有限段逐段光滑曲线构成的条件保证。 在直角坐标系中，面积元 d = dxdy ， 这时可写成  D f (x, y)dxdy   = b a y x y x dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) 这里的 dxdy 只能作为一个整体记号来理解, 代表直角坐标系下 的面积元。 同理若积分域 D 可用联立不等式        c y d x y x x y D ( ) ( ) : 1 2 表示时，在可积条件下，二重积分  D f (x, y)dxdy 也可以化为先关于 x 后关于 y 的累次积分，即  D f (x, y)dxdy   = d c x y x y dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) 对于一般的积分区域 D ，通过适当增加辅助线的方法，将其分成 一些小块 i D ，而每一小块都至少满足上述一种联立不等式，这样一来 利用重积分的对区域可加性就得到了  D f (x, y)dxdy 的值   = D i Di f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy 例 1 计算二重积分 ( ) ( )   D f x g y dxdy ，其中 D = (x, y) a  x  b,c  y  d 解： ( ) ( )   D f x g y dxdy = ( ) ( )           b a d c f x g y dy dx = ( ) ( )           b a d c f x g y dy dx = ( ) ( )                    b a d c g y dy f x dx . ( ) ( )   b a d c dx f x g y dy = ( ) ( )                    b a d c g y dy f x dx 例 2 计算二重积分  − D y a x dxdy 2 2 2 ，其中 ( , ) , 0 2 2 2 D = x y x + y  a a  解 由于积分域 D 的联立不等式为    − −   − −   2 2 2 2 a x y a x a x a 所以

第四章重积分 a2-x2 ∫ya-xah=h m2--2 (a2-x2)2 显然有: y√a-xd=Ca-x⊥ybh=0 关于奇、偶函数在对称区域内积分的结论 1)若被积函数f(xy)是关于y的奇函数,即有 f(x-y)=-f(x,y). 而积分域D又关于y是对称的,(域或者说,D分为对称于x轴的 两部分:D1,D2),即有 v(x,y)∈D1→(x,-y)∈D2 则有J/(x,y=-/(xy)o,或(xyo=0 (2)则有:若被积函数f(x,y)是关于y的偶函数,即有 f(x-y)=f(x,y) 而积分域D又关于y是对称的(或者说,D分为对称于x轴的两 部分:D1,D),即有 v(x,y)∈D1→(x-y)∈D2 则有(xy=/(x,ya, 或∫(xyk=2/(xy 例3计算二重积分』e”dd,其中积分 域D由直线y=x,y轴及y=2围成 edod=上ed ye'dy 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算  −  − − − − = − a a a x a x D y a x dxdy dx y a x dy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −  − − = − = − a a a a a x a x dx y dy a x dx 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 3 2 2 2 2 5 45 32 = a . 显然有： 0 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 − = − =  −  − − − a a a x a x D y a x dxdy a x dx y dy 关于奇、偶函数在对称区域内积分的结论: (1) 若被积函数 f (x, y) 是关于 y 的奇函数，即有 f (x,−y) = − f (x, y), 而积分域 D 又关于 y 是对称的, (或者说， D 分为对称于 x 轴的 两部分： 1 2 D ,D )，即有 ( ) ( ) 1 2  x, y D  x,−y D . 则有 ( ) ( )   = − 1 2 , , D D f x y d f x y d , 或 ( , ) = 0  D f x y d ; (2) 则有：若被积函数 f (x, y) 是关于 y 的偶函数，即有 f (x,−y) = f (x, y), 而积分域 D 又关于 y 是对称的(或者说， D 分为对称于 x 轴的两 部分： 1 2 D ,D )，即有 ( ) ( ) 1 2  x, y D  x,−y D . 则有 ( ) ( )   = 1 2 , , D D f x y d f x y d , 或 ( ) ( )   = 1 , 2 , D D f x y d f x y d 例 3 计算二重积分  − D y e dxdy 2 ，其中积分 域 D 由直线 y = x ， y 轴及 y = 2 围成. 解    − − = 2 0 0 2 2 y y D y e dxdy e dy dx = ( ) 4 2 0 1 2 − 2 1 − = −  ye dy e y y 2 y = x y x = y 0 2 x

第四章重积分 例4. 1=小=+小于 (1,D 解:I= dendy 101-23-8 x-e-) 0.5 例5.半径为a的两个 圆柱的轴线垂直相交 试求公共部分的体积 解将两个圆柱的轴线 分别取作oy轴和 轴,交点取作坐标原点 由对称性可知,所求体 积V是两圆柱公共部分 在第一卦限中的部分Ω2 的体积的八倍,而Ω正是一个底为 D=kx,y)x2+y2≤a2,x≥0,y 顶为z=√a2-x2的曲顶柱体,因此Ω的体积是 dxd d x=-a 整个公共部分的体积为=16a3 4-2-3二重积分在极坐标系下 的计算 极坐标系下的面积元素 do=pdpde ∫x= PCos p=peQ∠0=a I=f(, do= 』(cos.,Sm)o D(p,0) 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 例 4.     = + 1 2 1 2 1 4 1 2 1 y y x y y x y I dy e dx dy e dx 解 :   = 1 2 1 2 x x x y I dx e dy = ( )  − 1 2 1 x x e dx x = 8 2 3 e e − 例 5. 半径为 a 的两个 圆柱的轴线垂直相交， 试求公共部分 的体积 V . 解 将两个圆柱的轴线 分别取作 oy 轴和 oz 轴，交点取作坐标原点. 由对称性可知，所求体 积 V 是两圆柱公共部分 在第一卦限中的部分  的体积的八倍，而  正是一个底为 ( , ) , 0, 0 2 2 2 D = x y x + y  a x  y  ， 顶为 2 2 z = a − x 的曲顶柱体，因此  的体积是    − − = − a a x D a x dxdy dx a x dy 0 0 2 2 2 2 2 2 = ( ) 3 0 2 2 2 3 2 a x dx a a − =  整个公共部分的体积为 3 3 16 V = a 4-2-3 二重积分在极坐标系下 的计算 极坐标系下的面积元素: d =  d d    = =     y Sin x Cos ( )  = D I f x, y d = = ( ) ( )           , , D f Cos Sin d d y 1 (1, 1) y = x 0. 5 y= x 2 0.25 0 0.5 1 x z 2 2 z = a − x 0 a y a x = =2()   D  =1() =  x 0

第四章重积分 fecos0, p Sinop de 例6.计算:I y2-4o 其中: D={x)x2+y2≤16 解: ∫dl(4-p)p [de[(e2-40dp=80T 例7.计第:=∫…la,其:D=xx2+y2sr2 解1=』e4-japh pdp=r( 4-2-4二重积分在一般曲线坐标系 下的计算 vFw+4v 用两簇曲线 u=u+Au =vGx,y =1 曲线坐标线l=l1在xOy坐标系下 相应的曲线方程:F(v)= yu, v) 它在dσ中相应边向量: 7=d()=(hyh 类似,曲线坐标线v=v,在xoy ui ur+Au 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 = ( ) ( ) ( )               f  Cos  Sin d d 2 1 , = ( ) ( ) ( )               2 1 d f Cos , Sin d 例 6. 计算： I x y d D  = + − 4 2 2 , 其中： ( , ) 16 2 2 D = x y x + y  . 解： I ( x y )d D  = − − 1 2 2 4 + + (x y )d D  + − 2 4 2 2 =  (  )   d d   − 2 0 2 0 2 4 + +  ( )   d d   − 2 0 4 2 2 4 = 80 例 7. 计算： ( ) I e d D x y  − + = 2 2 , 其中： ( )  2 2 2 D = x, y x + y  r 解： ( ) I e d D x y  − + = 2 2 =      d e d r   − 2 0 0 2 =                    − r d e d 0 2 0 2      = ( ) 2 1 r e −  − 4-2-4 二重积分在一般曲线坐标系 下的计算 用两簇曲线 ( ) ( )    = = = = j i v v x y v u u x y u , , 曲线坐标线 u = ui 在 xoy 坐标系下  相应的曲线方程： ( ) ( ) ( )         = y u v x u v r v i i u ,  , , 它在 d 中相应边向量： ( ) T u dv v y dv v x l d r v           = =   1 ; 类似，曲线坐标线 i v = v , 在 xoy y D2 -4 -2 D1 2 4 0 x y l1 d l2 v= vj+v u= ui v= vj u = ui+u x v v1 du dv v1+v u1 u1+u u

第四章重积分 坐标系下相应的曲线方程:元() 它在do中相应边向量: 2=d()= du 在曲线坐标系 u=u(x,y) v=vlx,) 反函数为 ∫x=x(y) y=y么)下,面积元素d d du dv dh v 因此 =J(xy=∫f(an)yt dud D(a,) 极坐标系就是一种曲线坐标: g y 反函数: 「x= PCos Cx a du dy P,9 ay Ovlldpde dpdo=pdp do do= pdpds I=lfx, ylo= 』( pCos, pSinoaeplco do I flpCoso, pSinpp dp dp D(,g) 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 坐标系下相应的曲线方程： ( ) ( ) ( )        = j j v y u v x u v r u ,  , , 它在 d 中相应边向量： ( ) T v du u y du u x l d r u           = =   2 , 在曲线坐标系： ( )  ( )   = = v v x y u u x y , , , 反函数为 ( )  ( )   = = y y u v x x u v , , 下，面积元素 d : ( ) ( ) du dv u v x y dv v y du u y dv v x du u x d l l , , 1 2   =         =  =    因此， ( )  = D I f x, y d = ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) dudv u v x y f x u v v u v D u v    , , , , , , 极坐标系就是一种曲线坐标：      = = + x y arctg x y   2 2 , 反函数：    = =     y Sin x Cos ( ) ( )          d d y y x x du dv x y d         =   = , , =            d d d d Sin Cos Cos Sin = − d =  d d . ( )  = D I f x, y d = = ( ) ( ) ( ) ( )           d d x y f Cos Sin D    , , , , = ( ) ( )          f Cos Sin d d D  ,

第四章重积分 例8.计算:J=f3x do,其中:D由四条曲线 xy=1xy=3,y2=x,y2=3x围成 解:做变换 (x,y)_(a( d(u, v)a(x,y) dudy=a(, v-I dud dudu dudu nl=xy /x xy du In 2 + 例8.计算:1=/(ax+by)g(ax+o,其中 D由四条曲线 ax+by=e,ax+by=e2围成 lcx+dy=h,, cx+dy=h2 解:令 u=ax+by a(r,y) (x, =「/()g )M(0)8)-1 dud 其中,日1<e2,h1<h2 第二节重积分的计算

第四章 重积分 第二节 重积分的计算 例 8. 计算： d y xy x I D  + = 2 3 3 , 其中： D 由四条曲线： xy 1, xy 3; y x, y 3x 2 2 = = = = 围成 解： 做变换      = = x y v u xy 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , −           =   x y u v u v x y = 1 2 2 2 −           − x y x y y x ( ) ( ) ( ) ( ) dudv u v x y dudv u v x y d 1 1 , , , , − −   =            = = dudv x v y 3 3 1 1 2 =         − d y xy x I D  + = 2 3 3 = ( ) ( )  + D u v v u dudv , 2 1 = ( ) ln 2 3 2 1 1 1 3 1 3 1 2 = +   du u dv v 例 8. 计算： I f (ax by) g(cx dy)d D = +  +  , 其中： D 由四条曲线：    + = + = + = + = 1 2 1 2 , , cx dy h cx dy h ax by e ax by e 围成 解：令    = + = + v cx dy u ax by , ( ) ( ) ( ) ( ) c d ad bc a b x y u v u v x y − = =           =   − − 1 , , , , 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) dudv u v x y I f u g v Du v    =  , , = ( ) ( ) dudv ad bc f u g v Du v  −  1 = ( ) ( )    − 2 1 2 1 1 h h e e f u du g v dv ad bc , 其中， 1 2 1 2 e  e , h  h . y v y 2=3x y 2 = x u = xy 3 x y=3 v y x 2 = 1 x y=1 x 1 3 u