《数学分析》第十四讲 曲面面积和对曲面的积分（一）

第三章重积分 第三章重积分 2-4曲面面积和对曲面的积分 2-4-1空间曲面的定向与投影 2-4-2空间曲面积分的定义与计算 第十四讲曲面面积和对曲面的积分 课后作业: 阅读:第四章第五节曲面面积和曲面积分pp125-134 预习: 第六节含参变量积分pp135-141 作业:习题5:pp.134-135:2;3;4,(2),(3);5;6 4-4对空间曲面积分 4-4-1空间曲面的定向与投影 空间曲面的定向 双侧曲面和单侧 曲面:在曲面S其上 任一点P,取一法向 量n,让n沿在曲面 上的任何曲线移动, 当回到原处P时,法 向量n不会反向的 曲面叫双侧曲线;否 则称单侧曲面.对 于双侧曲面,我们从直观上可以定义法线指向不变的这 侧为正向;而单侧曲面是无法定向的。以下我们只讨 论双侧曲面 空间曲面的微分: 空间曲面S上P点处的面微分是一个向量,其大小是 该点处曲面切平面的一块微小面积d,而方向平行于该点曲 面的法线n方向,因此,P点处的面微分是d=dsi,n0是 空间曲面S上P点处的单位法线方向.由于 n,=(Cosa CosB Cosy) 其中,α,B,y分别是与坐标轴x,y,z的夹角。这样, ds=ds no=(Cosa ds CosB ds Cosy ds) 第四章曲面面积和对曲面的积分积分

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 1 第三章 重积分 2-4 曲面面积和对曲面的积分 2-4-1 空间曲面的定向与投影 2-4-2 空间曲面积分的定义与计算 第十四讲 曲面面积和对曲面的积分 课后作业： 阅读：第四章 第五节 曲面面积和曲面积分 pp.125---134 预习： 第六节 含参变量积分 pp.135---141 作业: 习题 5: pp. 134--135 : 2; 3; 4,(2), (3) ; 5; 6. 4-4 对空间曲面积分 4-4-1 空间曲面的定向与投影 ⚫ 空间曲面的定向： 双侧曲面和单侧 曲面: 在曲面 S 其上 任一点 P，取一法向 量 n  , 让 n  沿在曲面 上的任何曲线移动， 当回到原处 P 时，法 向量 n  不会反向的 曲面叫双侧曲线；否 则称单侧曲面. 对 于双侧曲面，我们从直观上可以定义法线指向不变的这 一侧为正向；而单侧曲面是无法定向的。以下我们只讨 论双侧曲面。 ⚫ 空间曲面的微分： 空间曲面 S 上 P 点处的面微分是一个向量，其大小是 该点处曲面切平面的一块微小面积 ds ，而方向平行于该点曲 面的法线 n  方向，因此，P 点处的面微分是 ds n0 ds   = , 0 n  是 空间曲面 S 上 P 点处的单位法线方向. 由于 ( ) T n = Cos Cos Cos 0  其中， , , 分别是与坐标轴 x, y,z 的夹角。这样， ( ) T ds = ds n = Cos ds Cos ds Cos ds 0  

第三章重积分 (dydz d=dx dxdy)" 这里,如止= Cosa ds,dhx= CosB ds,dd= Cosy ds 如果曲面用二=f(xy)表示:则 =(C osa af(x D(x, y) ds +1dxdy Cosy ay 如果曲面用F(x,y,=)=0表示:则 no=(Cosa CosB Cosy)= aF(,y, =)aF(x,y, =) aF(x,y, =) ax ax az dxd Cosy X= (3)曲面用{y=y{u)表示 x=ru,vi (a,)y=y):()y=y) 第四章曲面面积和对曲面的积分积分 2

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 2 = ( ) T dydz dzdx dxdy 这里， dydz = Cos ds, dzdx = Cos ds, dxdy = Cos ds . 如果曲面用 z = f (x, y) 表示：则 ( ) T n = Cos Cos Cos 0  = = ( ) ( ) 1 1 , , 2 2 +            +              −     y f x f x f x y x f x y T dxdy y f x f Cos dxdy ds           +            +        = = 1 2 2  如果曲面用 F(x, y,z) = 0 表示：则 ( ) T n = Cos Cos Cos 0  = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , , , , ,         +            +                      z F y F x F z F x y z y F x y z x F x y z T dxdy z F z F y F x F Cos dxdy ds                           +            +        = = 2 2 2  (3) 曲面用 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , , , 表示; ( ) ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v l u v i i i u i , , , , : ; ( ) ( ) ( ) ( )      = = = j j j v j z z u v y y u v x x u v l u v , , , , : z n S dS  y dxdy x D(x,y)

第三章重积分 aaa t j k dS=a×dl ay az duds=(Ai+Bj+Ck kud 其中,A=ana au a ax a av av A2+B2+ dudy 4-4-2空间曲而积分的定义与计算 (一)定义:f:ScR3→R ∫y(x,yd=n∑f(P (二)计算: (1)曲面用z=(x,y)表示 D(x,y) ∫y(x,y)d S f(x,y,=(x,y dxdy (x,y) ∫y(xy=(x,y) +1|ad D(x,y) X= (2)曲面用{y=y{u)表示 第四章曲面面积和对曲面的积分积分

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 3                    =             = du u z u y u x dl dv v z v y v x dl v u   , v u dS dl dl    =  = dudv (Ai Bj Ck )dudv v z v y v x u z u y u x i j k       = + +                             , 其中， v z v y u z u y A         = , v z v x u z u x B         = − , v y v x u y u x C         = . dudv C A B C Cos dxdy ds         + + = = 2 2 2  4-4-2 空间曲面积分的定义与计算 (一) 定义： f S  R → R 3 : ( )  S f x, y,z ds =  ( ) = →  n i i i f P s 1 0 lim  (二) 计算： (1) 曲面用 z = z(x, y) 表示 ( )  S f x, y,z ds = ( ( )) ( ) ( )  D x y Cos x y dxdy f x y z x y , , , , ,  = ( ( )) ( )            +            +        D x y dxdy y z x z f x y z x y , 2 2 , , , 1 (2) 曲面用 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , , , 表示 z n S dS  y dx dy x D(x,y)

第三章重积分 Js(x, y,=)c f (u, v),yu, vl=(u, v)VA+ B+C- dudh 其中,A aaa B C aaa 举例 例一:求柱面 被上半球面: z≥0 所截取部分的面积 解;S 合)+( I dydz D() D 3d S1和S2的交线在坐标 面上之投影 x=0 求曲面对坐标面的矩及重心, ax I Idvd 36-6 dz 6∫√6√yd=144 第四章曲面面积和对曲面的积分积分

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 4 ( )  S f x, y,z ds = ( ( ) ( ) ( )) ( )  + + D u v dudv C A B C f x u v y u v z u v , 2 2 2 , , , , , 其中， v z v y u z u y A         = , v z v x u z u x B         = − , v y v x u y u x C         = . 举例 例一：求柱面: S : x y 6y 2 2 2 + = 被上半球面:     + + = 0 36 : 2 2 2 1 z x y z S 所截取部分的面积。 解： S =  S ds = ( )             +        +           + D y z dydz z x y x , 2 2 1 1 =   − − y dz y y dy 36 6 0 2 6 0 6 3 2 = 72 6 6 6 0 =  dy y 求曲面对坐标面的矩及重心， Sxoz =  S yds = ( )             +        +           + D y z dydz z x y x y , 2 2 1 1 =   − − y dz y y ydy 36 6 0 2 6 0 6 3 2 = 6 6 144 6 0 =  y dy z 6 y 6 x z 6 z 2 = 36 -6 y D(y,z) 6 y S1 和 S2 的交线在坐标 面上之投影 :    = = − 0 36 6 2 x z y

第三章重积分 cds D(,) ay)(az 2 dy dz=2 dy=54丌 6y-y 14454x1=(0,2 曲面重心:(07272 例二,设S是上半球面:x2+y 在锥面x2+y3 中所围的区域。计算 ∫yx+yad.设 2 Sin cose y=2 Sing Sine 二=2COSq 则:ds=22 Sing da(o Sin sIno de do =42 3 例三,证明液体浮力定理。 证:设在微分曲面ds上的压力为: 力是向量,只有同方向才有可加性: d:=(h-zosyds h-=)(s) F:=Jch-= osy ds=(h-=)cosy ds+[(h-a)Cosy ds 第四章曲面面积和对曲面的积分积分

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 5 Sxoy =  S zds = ( )             +        +           + D y z dydz z x y x z , 2 2 1 1 =   − − y dz y y z dy 36 6 0 2 6 0 6 3 2 = ( ) ( ) 54 6 9 6 2 6 0 = − −  dy y y y 曲面重心：        =      4 3 0, 2, 72 54 , 72 144 0,   例二，设 S 是上半球面: 4 2 2 2 x + y + z = 在锥面 2 2 2 3 1 x + y = z 中所围的区域。计算  = + S I x y ds 2 2 . 设：      = = =      z Cos y Sin Sin x Sin Cos 2 2 2 则： ds Sin dd 2 = 2  = + S I x y ds 2 2 = = ( )        , 2 4 4 S Sin Sin d d =         − 2 3 3 4   例三，证明液体浮力定理。 证：设在微分曲面 ds 上的压力为： dF (h z)n ds 0  = − 力是向量，只有同方向才有可加性： dF (h z)Cos ds z = −  ( )( ) z x y dF h z dS 0  = − ( )  = − S Fz h z Cos ds = ( ) ( )   − + − S 1 S 2 h z Cos ds h z Cos ds z h z1 (x,y) n  z2 (x,y) n y D(x,y) x

第三章重积分 ∫yh-=1(xy)←-1kd+(-=2(xy)h j(1(xy)-=(,y)= 例四,设r=(x,y,z),r为r的模,设S1:r=1外侧为正 S2:r=外侧为正。r为S1,S2外侧法矢量, 若 cos(r, n) dS=l,则 cos(r, n) dS=(C) (A)I (C)2 (D)0 解:对球心在原点的球面,其法线向量及面微分向量: nds=ds f∞g")△=乐G Ri 2乐G=爬2手 ldS=4丌 cos(r, n) 饣月的。4 R2 例五、曲面积分r=1 d s 的取值范围是(C) 丌 +y2+x21+x+y4+z (A)0≤I≤1;(B)1≤I≤2;(C)2≤1≤3;()3≤1≤4 Max. min 1+x2+y4+ 解:解条件极值问题: f(x,y, L(xy)=(+x+y2+=+)-(x2 (3=22x2-2)=0 2x=1 or x=0 =2中y2-)=0=2y2=2my=0=驻点有三类 1 or ==0 OL 2=(2=2-x)=0 第四章曲面面积和对曲面的积分积分 6

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 6 = ( ( ))( ) ( ( ))   − − + − D D h z x, y 1 dxdy h z x, y dxdy 1 2 1 = (z (x y) z (x y))dxdy V D − =  , , 1 2 例四, 设 T r = (x, y,z) → ， r 为 → r 的模，设 S1 :r =1 外侧为正， 2 1 : S2 r = 外侧为正。 → r 为 S1, S2 外侧法矢量， 若 dS I r r n S =  → → 1 2 cos( , ) , 则 =  → → 2 3 cos( , ) S dS r r n ( C ) (A) I ； (B) I 2 1 ； (C) 2I ； (D) 0 . 解 ： 对 球 心 在 原 点 的 球 面 ， 其 法 线 向 量 及 面 微 分 向 量 ： n dS dS r r n r      0 = 0 = , 0 = ( )   = =  → → 1 1 2 0 0 1 2 cos( , ) 1 S S r n dS R dS r r n I   ( ) 1 4 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 =  = =   dS R r r dS R S S   2 3 2 3 cos( , ) 1 4 2 2 R dS R dS r r n S S  = =   → → 例五. 曲面积分  + + = + + + = 1 4 4 4 2 2 2 1 1 x y z x y z d S I  的取值范围是 ( C ). (A) 0  I 1 ; (B) 1  I  2 ; (C) 2  I  3 ; (D) 3  I  4 ; 解：解条件极值问题： ( ) , . . 1 1 , , 1 , 2 2 2 4 4 4      + + = = + + + s t x y z x y z f x y z Max Min ( , , , ) (1 ) ( 1) 4 4 4 2 2 2 L x y z  = + x + y + z −  x + y + z − ( ) ( ) ( )      = = = = = =           = − =   = − =   = − =   2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 z or z y or y x or x z z x L y y x L x x x L        驻点有三类：

第三章重积分 第一类 :函数值= 第二类 0 0 2=y2=,x=0:函数值= 2 第二类 0 ,y=x=0 函数值=2。 Max /(x,y, = f(x,y,=) 2 dS 2丌 ds 第四章曲面面积和对曲面的积分积分

第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 7 第一类： 3 2 2 2 1 x = y = z = ：函数值 3 1 4 = f 第二类： , 0 2 2 2 1 x = y = z = , , 0 2 2 2 1 x = z = y = , , 0 2 2 2 1 z = y = x = : 函数值 2 1 3 = f 第二类： 1, 0 2 x = y = z = , 1, 0 2 y = x = z = , 1, 0 2 z = y = x = : 函数值 2 1 = f 。  ( ) ( ) 4 3 1 3 1 9 1 , , 1 2 2 2 = + = + + = Max f x y z x y z ; ( ) 2 1 , , 1 2 2 2 = + +  Min f x y z x y z .   + + = = 1 2 2 2 2 1 2 x y z dS   + + = + + +  1 4 4 4 2 2 2 1 1 x y z x y z d S  3 4 3 1 2 2 2  =  x + y +z = dS 