《数学分析》第四章习题八

10.曲面的面积 引理平面z1与x2的夹角为y,兀1上的区域4在r2上的投影为σ, 则面积A cosy 证当4是矩形,且一边与平行 则a也是矩形,且 σ=ab|cosy|=A|c0s? 引理成立 般情况,将4分割成 若干个上述类型的小短形 对每一个用引理, 然后迭加 再取极限即可。 证毕 注:这里y即两平面法矢量的夹角

引理   1  2 A  平面 与 的夹角为  ,   γ σ A cos = . 一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 对每一个用引理， 然后迭加 再取极限即可。 当A是矩形, l 证 且一边与l平行 则 也是矩形, 且 b σ = ab | cosγ | 引理成立 . a  注：这里  即 两平面法矢量的夹角 证毕 10. 曲面的面积 = A | cosγ | , π1上的区域A在π2上的投影为 σ 则面积

z↑ 10.曲面的面积 zf(x,y) △S.≈△A △A; A;(由引理) osr +fx(x1,y)+∫(x,y)△G 元=士!(x,f(x,)-1有 : S=1+6 2(,y)+/ 2(x,y)drdy (x;,y D

10. 曲面的面积 x z y 0    =  +  +  D x y S f (x, y) f (x, y)dxdy i i Ai    =  cos 1 z =f (x,y) D  i Si  Ai ni  x i i y i i i = 1+ f  (x , y ) + f  (x , y ) 2 2 . Si (xi , yi ) i  Ai （由引理） ( =  ( , ), ( , ),−1) i x i i y i i n f x y f x y   Pi . .

z↑Yi 10.曲面的面积 zf(x,y) △S;≈△ 4A A x,y、ox,y dxdy vA +B+C Cosy A=Ou au b=-ou u au a1 oy az :::::::::: A Ov av △Gi/ A +b+c D

10. 曲面的面积 x z y 0 ( ) ( ) v x,y u x,y ΔA l l i u v      =  =   z =f (x,y) D  i Si  Ai ni  . (xi , yi ) i  Ai Pi . . . u l  v l  dudv C A B C Cos dxdy ds         + + = = 2 2 2  v z v y u z u y A         = v z v x u z u x B         = − v y v x u y u x C         = ( )  + + = D u v dudv C A B C S , 2 2 2