第二章多元函数 第二章多元函数微分学 第二节偏导数与全微分 2-1偏导数定义与计算 2-2多元函数的微分 2-3微分的几何意义 序 班级 助教姓名助教住址助教电话 自21,自22,电机系(7), 计算机科学系(3),医学院(6) 张靖|22-412 13661167656 自23,自24,其他系(15)张李军20-309 62775074 自25,自26,自27 陈明|11-15 62776447 13520608666 第三讲偏导数与全微分 课后作业: 复习阅读:第一章pp.01-21,己在代数中学,请抽时间复习。 阅读:第二章第二节:pp.29-38 预习:第二章第二节:pp.40--49 作业:第二章习题2:pp39--40:1,(2),(5),(6),(7);2,(2)(3),(5); 4,(2);5,(2),(4),(6);6;7. 第三讲多元函数的偏导数与全微分 2-1偏导数定义与计算 以下讨论,不作特别声明,均以二元函数 ∫:DcR2→R,z=f(x,y).为对象 (-)多元函数偏导数定义: )定义:若对P(,),极限面(+Axn)/(n, 存在,则称此极限值为∫在P点关于(对)x的偏导数, (x,12,或f(x0,y) 记成,ax 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 1 第二章 多元函数微分学 第二节 偏导数与全微分 2-1 偏导数定义与计算 2-2 多元函数的微分 2-3 微分的几何意义 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自 21, 自 22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--412 62776299 13661167656 2 自 23, 自 24, 其他系(15) 张李军 20--309 62775074 3 自 25, 自 26, 自 27 陈 明 11--115 62776447 13520608666 第三讲 偏导数与全微分 课后作业： 复习阅读：第一章 pp. 01---21, 己在代数中学，请抽时间复习。 阅读：第二章 第二节 : pp. 29----38 预习：第二章 第二节 : pp. 40---49 作业: 第二章 习题 2: pp.39---40 : 1,(2), (5), (6), (7); 2, (2), (3), (5); 4, (2); 5, (2), (4), (6); 6; 7. 第三讲 多元函数的偏导数与全微分 2-1 偏导数定义与计算 以下讨论，不作特别声明，均以二元函数 f D R → R 2 : , z = f (x, y), 为对象 (-)多元函数偏导数定义： (1) 定义: 若对 ( ) 0 0 0 P x , y , 极限 ( ) x f x x y f x y x + − → , ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限值为 f 在 P0 点关于(对) x 的偏导数, 记成, ( ) x f x y 0 0 , , 或 ( ) 0 0 f x , y x
第二章多元函数 同样可定义:若lm(xn,y+△y)-/(x,) 存在,则称此 极限值为厂在P点关于(对)y的偏导数,记成,(n,),或 flo,yo) D 存在,称之为关于(对)x偏导函数,简称关 于()x偏导数,()存在,称之为关于(对)y偏导函数简称关 o) 于(对)y偏导数 ●计算举例 x ay x ●高阶偏导数 (A)定义 称为对x的二阶偏导数 a2f aaf 称为(对x和y的)二阶混合偏导数 axay ax ay 类似可定义其他高阶混合偏导数 (B)混合偏导数中求导次序的影响: 定理:若二阶混合偏导数连续,则与求导次序无关,即: axon 证明: af(r,y)a(ar(x,,)_in S (+Ax, y)-S'x Ax lim lim f(x+Ax,y+ Ay)-f(xAx, y)-f(x, y+Ay)+f(x,y) 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 2 同样可定义：若 ( ) y f x y y f x y y + − → , ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此 极限值为 f 在 P0 点关于(对) y 的偏导数,记成, ( ) y f x y 0 0 , , 或 ( ) 0 0 f x , y y . D y x , ( ) x f x y , 存在，称之为关于(对) x 偏导函数,简称关 于(对) x 偏导数； ( ) y f x y , 存在，称之为关于(对) y 偏导函数,简称关 于(对) y 偏导数. ⚫ 计算举例 : x y z = y x z 1 = , z x y = , 2 z y z x = − 1 1 2 = − − = z y z z x x x y y z ⚫ 高阶偏导数 (A) 定义： = x f x x f : 2 2 , 称为对 x 的二阶偏导数; = y f x y x f : 2 称为(对 x 和 y 的)二阶混合偏导数; 类似可定义其他高阶混合偏导数. (B) 混合偏导数中求导次序的影响： 定理：若二阶混合偏导数 x y f 2 连续，则与求导次序无关, 即： y x f x y f = 2 2 . 证明： ( ) ( ) = y f x y x y x f x, y , 2 = ( ) ( ) x f x x y f x y y y x + − → , , lim 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) x y f x x y y f x x y f x y y f x y x y + + − + − + + → → , , , , lim lim 0 0
第二章多元函数 ar(x, )_a(ar(x, 22)= lim 5(x,+Av-/'(x,y) a yax △ mlmf(x+Axy+Ay)-/(xy+Ay)-/(x+Axy)+/(xy) 其中:f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)-f(x,y+4y)+f(x,y) =(;(x+△x,y+14y)-f(x,y+24y)y Gr(x+Ax, y)-/(x, y)+o(Ay f(x+O△x,y)xy+o()△y 做不下去了 稍改动一下:令g(x)=f(x,y+Ay)-f(x,y) f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)-f(x,y+4y)+f(x,y) =g(x+△x)-g(x)=g;(x+61△xx =(/(x+2△xy+Ay)-f(x+1△x,y)Ax =/"(x+Ax,y+024y)Ax G"(x,y)+o(1) =fr(xy)Axy+o()x△y 22多元函数的微分 (一)多元函数全微分的定义 多元函数在P(xn,y0)点的增量 A(xo, yo)=f(xo+Ax, yo +Ay)-f(xo, yo) 多元函数在P(x0,y0)点的(全微分 若∫在U(D)<D有定义,且存在不依赖Ax,4y的A,B使 Af(xo, yo)=AAr+BAy +op) 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 3 ( ) ( ) = x f x y y x y f x, y , 2 = ( ) ( ) y f x y y f x y x x y + − → , , lim 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) y x f x x y y f x y y f x x y f x y x y + + − + − + + → → , , , , lim lim 0 0 其中： f (x + x, y + y)− f (x + x, y)− f (x, y + y)+ f (x, y) = (f (x x y y) f (x y y)) y y + , + 1 − y , + 2 = (f (x x y) f (x y) o ) y y + , − y , + (1) = f (x x y) x y o y yx + , + (1) 做不下去了！ 稍改动一下：令 g(x) = f (x, y + y)− f (x, y) f (x + x, y + y)− f (x + x, y)− f (x, y + y)+ f (x, y) = g(x x) g(x) g (x x) x + − = x +1 = (f (x x y y) f (x x y)) x x +1 , + − x +1 , = f (x x y y) y x x y +1 , + 2 = (f (x y) o ) x y x y , + (1) = f (x y) x y o x y yx , + (1) 2-2 多元函数的微分 (一) 多元函数全微分的定义 ⚫ 多元函数在 ( ) 0 0 0 P x , y 点的增量 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y ⚫ 多元函数在 ( ) 0 0 0 P x , y 点的(全)微分: 若 f 在 U (P0 ) D 有定义，且存在不依赖 x,y 的 A, B ,使 f (x y ) = Ax + By + o() 0 0
第二章多元函数 则称∫在P(x0,y)点可徽,并称线性函数A△x+B△y为在点的全微分,记成 d(xn,)=AAx+By.其中,p=d2(P,P),P(x,y (二)微分的性质: (1)偏导数存在是可微的必要条件:即 *A(, yo)=AAx+ BAy+o()=d(xo, yo)+o(p) →∫在P(xy0)点偏导数存在 =4,9(x →d(x2,)=9(x2 证明:4(x0,y0)=f(x0+△Ax,y+Ay)-f(x0,y) AAx+BAy+o(p) f(xo+ Ax,yo)-f(xo, yo) AAx+o(Ax) Ar f(xo, yo Ay)-s(xo, yo) BAy+o(Ay)A (2)偏导数连续是可微的充分条件:即 若f,厂在P(,y)点连续→∫在P(x,y)点可微 4(x0,y0)=Ax+BAy+o()=d(x0,y)+o() 且9(x)=A.0(xnyl)=B ff(xo 证明 4(x0,y0)=f(x0+△x,yo+4y)-f(x0,y0)= f(x+Ax, yo+ Ay)-f(xo+Ax, yo)+f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) xo+ +b,△v)v+ f(x,y0Ax+o(△x) 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 4 则称 f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微，并称线性函数 Ax + By 为在点的全微分，记成 df (x y ) = Ax + By 0 0 , . 其中， ( ) 2 0 = d P,P , P(x, y) (二) 微分的性质： (1) 偏导数存在是可微的必要条件：即 若 f (x y ) = Ax + By + o() = df (x y )+ o() 0 0 0 0 , , f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点偏导数存在, 且 ( ) A x f x y = 0 0 , , ( ) B y f x y = 0 0 , ( ) ( ) ( ) y y f x y x x f x y df x y + = 0 0 0 0 0 0 , , , . 证明： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = Ax + By + o() ; ( ) ( ) ( ) A x A x o x x f x x y f x y ⎯⎯x⎯→ + = 0 + 0 − 0 0 →0 , , ; ( ) ( ) ( ) B y B y o y y f x y y f x y ⎯⎯y⎯→ + = 0 0 + − 0 0 →0 , , (2) 偏导数连续是可微的充分条件：即 若 x y f , f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点连续 f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微 f (x y ) = Ax + By + o() = df (x y )+ o() 0 0 0 0 , , , 且 ( ) A x f x y = 0 0 , , ( ) B y f x y = 0 0 , ( ) ( ) ( ) y y f x y x x f x y df x y + = 0 0 0 0 0 0 , , , 证明： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x + x, y + y − f x + x, y + f x + x, y − f x , y = f (x x y y) y f (x y ) x o( x) y 0 + , 0 +1 + x 0 , 0 +
第二章多元函数 =C(o, yo)+o(0) Ay+f (xo, yo)Ax+o(Ax) =(;(xo,y0)+0)4y+f(x,y)Ax+o(△x) fr(xo, yo )Ax+f(xo,yoAy+o(0Ay+o0Ax A'lxosyoAx+f(o, yo Ay+o(p) 因为0≤ a(△x)+o(0)y|_p(△x)+o)y (△x)+(4y)2 o(lay √ax)+(→y)y△x)2+(△y o(△x)o(0 (三)R"中函数f:DcR"→R,和向量函数F:DcR"→Rm 微分的定义 R"中函数f:DcR"→R微分的定义: 元∈D,若∫的增量可表示成一个线性函数(x)=∑ax-x) 和高阶无穷小之和,即:△=∑aAx+0() 其中p=d2(-5)=A, 则∫称在x点可微 记d=∑aAx,称为∫在点的微分。 容易推证:若f在元点可微,则必有,a=9(6 从而有y=9(△x+) ∫在x点的微分可写成: 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 5 = (f (x y ) o( )) y f (x y ) x o( x) y 0 , 0 + 1 + x 0 , 0 + = (f (x y ) o( )) y f (x y ) x o( x) y 0 , 0 + 1 + x 0 , 0 + = f (x y ) x f (x y ) y o( ) y o( ) x x 0 , 0 + y 0 , 0 + 1 + 1 . = f (x y ) x f (x y ) y o() x 0 , 0 + y 0 , 0 + 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 x y o x o y o x o y + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x y o y x y o x + + + ( ) ( ) 0 1 ⎯⎯⎯0, ⎯0→ + x→ y→ y o y x o x (三) n R 中函数 f D R R : n → , 和向量函数 n m F : D R → R 微分的定义 ⚫ n R 中函数 f D R R : n → 微分的定义: x0 D ,若 f 的增量可表示成一个线性函数 ( ) ( ) = = − n i i i l x a x x 1 和高阶无穷小之和, 即： f a x o() n i = i i + =1 , 其中 d (x x ) x = 2 − 0 = , 则 f 称在 0 x 点可微. 记 = = n i i i df a x 1 ,称为 f 在 0 x 点的微分。 容易推证： 若 f 在 0 x 点可微, 则必有, ( ) i n x f x a i i , 1, , 0 = = , 从而有 ( ) x o() x f x f n i i i + = =1 0 , f 在 0 x 点的微分可写成:
第二章多元函数 af df=2ax Ax= 若记grad∫= V∫,且称为∫的梯度(向量 表x的增量 则:∫在x点的微分又可写成 d(0)=(gdf)·A=Vr·A 关于多元函数∫:DcR”→R可微性的充分条件为,f的一阶偏导 数连续,记成f∈C(D),另外若f的所有k阶偏导数连续,记 ∫∈C‘(D) 向量函数F:DcR”→>R"微分的定义:x∈D, 有两种定义方法 (1)一是用数量函数的微分来定义向量函数的微分,若F 的增量 4)/∑>∽G △x 可表示成 +(p) 其中p=d2(-元)=A,则∫称在点可徽 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 6 = = n i i i x x f d f 1 = n n x x x f x f 1 1 。 若记 f x f x f grad f n = = 1 , 且称为 f 的梯度(向量), = n x x x 1 表 x 的增量。, 则： f 在 0 x 点的微分又可写成 d f (x ) (grad f ) x f x T T 0 = = 关于多元函数 f D R R : n → 可微性的充分条件为, f 的一阶偏导 数连续，记成 f C (D) 1 , 另外, 若 f 的所有 k 阶偏导数连续，记 f C (D) k . ⚫ 向量函数 n m F : D R → R 微分的定义: x0 D , 有两种定义方法： (1) 一是用数量函数的微分来定义向量函数的微分,若 = n f f F 1 的增量 可表示成： ( ) ( ) o() x x f x x x f x f f n i i i n n i i i n + = = = 1 0 1 1 0 1 , 其中 d (x x ) x = 2 − 0 = , 则 f 称在 0 x 点可微
第二章多元函数 )/ Go) OGo) 称dF= F n(G6。) n(0) x an 称为向量函数F在x点的微分。 a1(x)o(元) 称mxn矩阵:OF(f ax m()m(元0) 为向量函数F的 Jacob矩阵,则∫在x点的微分可写成 dF==△x △x。 x 特别注意: grad f f 0∩)(f f (2)第二种是仿照数量函数微分定义来定义向量函数的微分 x∈D,若∫的增量可表示成一个线性映射L:R"→R L(Gx)=A(x-元0),(A是m×n矩阵) 和高阶无穷小之和,即:AF=AA+列(p) 其中p=d2(x-元)=|_计 则F称在元点可徽 dF=AA,称为∫在元点的微分 容易推证:若F在x点可微,则必有, (x) dj"ar,=1…,m,j=1…,n, 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 7 称 ( ) ( ) ( ) ( ) x x F x x x f x x f x x f x x f x df df dF n n m m n m = = = 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 , 称为向量函数 F 在 0 x 点的微分。 称 mn 矩阵: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n n m m n n m x f x x f x x f x x f x x x f f x F = = 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 , 为向量函数 F 的Jacobi矩阵, 则 f 在 0 x 点的微分可写成: x x F d F = = ( ) ( ) x x x f f n m 1 1 。 特别注意： T T n n x f x f x f x f x f grad f = = = 1 1 (2) 第二种是仿照数量函数微分定义来定义向量函数的微分 x0 D ,若 f 的增量可表示成一个线性映射 n m L : R → R , ( ) ( ) 0 L x A x x = − ,( A 是 mn 矩阵) 和高阶无穷小之和, 即： F A x o() = + , 其中 d (x x ) x = 2 − 0 = , 则 F 称在 0 x 点可微. 记 dF A x = ,称为 f 在 0 x 点的微分。 容易推证： 若 F 在 0 x 点可微, 则必有, ( ) i m j n x f x a j i i j , 1, , ; 1, , 0 = = =
第二章多元函数 a1(50)af1( 从而有△F(0)= A+o() 可n(x).n() a(0)a1(0) F在点的微分dF(x) afm o) af Go) G)=0E2=(s alx 关于向量函数F:DcRn→Rm可微性的充分条件则为,F的各分量函 数厂的一阶偏导数连续,记成F∈C(D) 2-3微分的几何意义: ∫在P(x,y)点可微, →4(x0,y)=f(x0+△x,yo+4y)-f(xa,yo) =A△x+BAy+o() y=fro, yo)+A(x-xo)+Bl-yo)+o( 上式中z=f(x0,y)+4(x-x0)+B(y-y)正是线性函数 其几何上是过点M(xn,y3n,f(xn,y0)的平面 =八(x,y)是过是过点M(x,ynf(xn,)的曲面 因此,∫在P(x0,y0)点可微, 在函数逼近意义下是,在P(xy)某邻域内,函数z=f(x,y) 与线性函数z=f(x0,y0)+4(x-x)+B(y-y) 之差是ρ的高阶无穷小 在几何意义下是,在P(xy),曲面z=f(x,y)与平面 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 8 从而有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x o() x f x x f x x f x x f x F x n m m n + = 0 1 0 1 0 1 1 0 0 , F 在 0 x 点的微分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x f x x f x x f x dF x n m m n = 0 1 0 1 0 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x f f x x F dF x n m = = 1 1 0 关于向量函数 n m F : D R → R 可微性的充分条件则为, F 的各分量函 数 i f 的一阶偏导数连续，记成 F C (D) 1 . 2-3 微分的几何意义： f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = Ax + By + o() f (x y) = f (x y )+ A(x − x )+ B(y − y )+ o() 0 0 0 0 , , 上式中 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 z = f x , y + A x − x + B y − y 正是线性函数, 其几何上是过点 ( ( )) 0 0 0 0 0 M x , y , f x , y 的平面; z = f (x, y) 是过是过点 ( ( )) 0 0 0 0 0 M x , y , f x , y 的曲面. 因此， f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微， ⚫ 在函数逼近意义下是，在 ( ) 0 0 0 P x , y 某邻域内，函数 z = f (x, y) 与线性函数 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 z = f x , y + A x − x + B y − y 之差是 的高阶无穷小； ⚫ 在几何意义下是，在 ( ) 0 0 0 P x , y ，曲面 z = f (x, y) 与平面
第二章多元函数 =f(o, yo)+A(x-xo)+ B(y-yo 是相切的(较严格的切平面定义以后给出)。 第二章多元函数
第二章 多元函数 第二章 多元函数 9 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 z = f x , y + A x − x + B y − y 是相切的(较严格的切平面定义以后给出)