第七章定积分 第七章定积分 (The definite integration 7-1定积分概念与性质 72可积性与可积函数类 63 Newton- Leibniz公式 7-3-1变上限定积分 7-3-2N-L公式 7-4定积分的计算方法 7-4-1变量置换法 7-4-2分部积分法 7-4-3计算举例积分 7-5定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 7-5-2定积分在几何方面的应用 7-5-3定积分在物理方面的应用 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 7-6-3应用 第十八讲 Newton- Leibniz公式与定积分的计算 课后作业 阅读:第七章74:256--262;7.5:pp263--268; 预习:7.6:pp269--285:7.7:pp.288--295 练习pp.262--263:习题74 复习题全部习题1,(1),(2);2,(1);3,单数题号 5(1),(2) pp268-269:习题75 习题1,(1)2),(3)(5),(62,(1),(2)(3)(5)(7); 3,(1)(2); 作业pp.262--263:习题74 习题1,(3),(4);2,(2);3,双数题号;5,(3),(4) pp268--269:习题75 习题1,(4),(7),(8)9)(10);2,(4)(6)(8)(9)(10); 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-3-1 变上限定积分 7-3-2 N－L 公式 7-4 定积分的计算方法 7-4-1 变量置换法 7-4-2 分部积分法 7-4-3 计算举例积分 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 7-5-2 定积分在几何方面的应用 7-5-3 定积分在物理方面的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 7-6-3 应用 第十八讲 Newton－Leibniz 公式与定积分的计算 课后作业： 阅读：第七章 7.4: 256---262; 7.5: pp263---268; 预习：7.6: pp269---285; 7.7: pp.288---295 练习 pp.262---263: 习题 7.4 复习题全部 习题 1,(1), (2); 2,(1); 3, 单数题号 ; 5,(1),(2) pp.268---269: 习题 7.5 习题 1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7); 3,(1),(2); 作业 pp.262---263: 习题 7.4 习题 1,(3), (4); 2,(2); 3, 双数题号 ; 5,(3),(4) pp.268---269: 习题 7.5 习题 1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10);
第七章定积分 4;5;6 6-3牛顿( Newton)莱布尼兹( Leibnitz)公式 7-3-1变上限定积分 变上限积分 设f∈R[a ab],F(x)=f()d是定义在[ab]上 的一个函数,称之为变上限积分 这里有一个十分重要的结果:变上限积分总是连续函数。 定理若f∈ab]→F(x)=f 证明:∫∈R[a,b]→∫在[a,b]上有界,设界为A, la,b], AF(x)=f(dt-If(r)dt AF(x)=J(dr s 进一步,若加强条件,则有另一个重要结论 定理:设∫∈Cab则F(x)=「f(h,(a≤x≤b)可导,且: [a,b],F'(x)=f(x) 这样F(x)=()在区间b上是f(x)的一个原函数 证明:x∈(a,b),有 F'(x=lim F(+Ax)-F(x) △x f(o)dr-5(x)dx] f() 因∫(x)在[x,x+Δx]连续,由积分中值定理,存在ξ∈[x,x+△x],使 ()Ax,5在x和x+△x之间 F(x lm f()=f(x) 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 4; 5; 6 6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式 7-3-1 变上限定积分 一 变上限积分 设 f R[a, b], x [a, b] , = x a F(x) f (t)dt 是定义在 [a, b] 上 的一个函数, 称之为变上限积分. 这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。 定理: 若 f R[a, b] F(x) f (t)dt C[a,b] x a = 。 证明： f R[a, b] f 在 [a,b] 上有界，设界为 A , = − + x a x x a x [a,b], F(x) f (t)dt f (t)dt , ( ) ( ) 0 = = ⎯⎯→⎯0→ + + x x x x x x x F x f t dt A dt A x . 进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。 定理: 设 f C[a, b],则 = x a F(x) f (t)dt , ( a x b )可导，且: x [a,b], F(x) = f (x) ； 这样 = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数. 证明: x (a, b), 有 x F x x F x F x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 = = [ ( ) ( ) ] 1 lim 0 − + → x a x x x a f t dt f x dx x + → = x x x x f t dt x ( ) 1 lim 0 因 f (x) 在 [x, x + x] 连续,由积分中值定理, 存在 [x, x + x] ,使 f t dt f x x x x = + ( ) () , 在 x 和 x + x 之间, F(x) = 0 lim x→ f t dt f x x x x x = + ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 0 f f x x = = →
第七章定积分 当x为a,b时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明 显然地,有以下结果:若f∈CIa,b],x∈[a,b] f(dt=f(x) f(odt =f(x)d on)=-(.d10)=-(x)h /(dr)=f( ) u(). d(o' r(od =5(du(e) (x)f(ndt v(x) f(t)=f()(x)-f()y(x) tdt 例1:求极限lin 解:由洛比塔法则 lin x→0 1 (o tdn)21业 In x.coSx 3x0(x2)6 COS x =lim ∫rcoy1 cos(sin x 7-3-2N-L公式 定理:(牛顿一莱布尼茨公式)设∫∈Ca,b,G(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则有 f(x)dx=G(b)-G(a 证明:因f∈C[ab],则变上限积分F(x)=「f()在区间[ab 上是f(x)的一个原函数,并且按照F(x)的定义有 f(xdx= F(b)-Fla) 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 当 x 为 a, b 时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。 显然地，有以下结果：若 f C[a, b], x [a,b], ⚫ f (t)dt f (x) x a = , d f t dt f x dx x a ( ) = ( ) ⚫ f (t)dt f (x) b x = − , d f t dt f x dx b x ( ) = − ( ) ⚫ f t dt f u u (x) u x a = ( ) ( ) ( ) , d f t dt f u du(x) u x a ( ) ( ) ( ) = ⚫ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x a a v x u x v x f t dt f t dt f t dt = − ( ) ( ) ( ) ( ) u x a v x a f t dt f t dt = f (u)u (x)− f (v)v (x) 例 1: 求极限 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x → 解:由洛比塔法则, 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x → = ( ) → 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x 6 sin cos 1 6 1 ( ) ( ) lim 3 1 3 lim 2 0 sin 0 2 0 sin 0 = = = = → → x x x x tdt x tdt x x x x x x x tdtdy x x x x x cos(sin ) lim 6 1 ( ) ( cos ) lim 3 cos lim 0 2 0 sin →0 →0 → = = 7-3-2 N－L 公式 定理 : ( 牛顿—莱布尼茨公式) 设 f C[a,b], G(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数, 则有 f (x)dx G(b) G(a) b a = − . 证明：因 f C[a, b], 则变上限积分 = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数, 并且按照 F(x) 的定义有 f (x)dx F(b) F(a) b a = −
第七章定积分 今G(x)是f(x)在[a,6上另一个原函数,则存在常数c,使得 F(x)≡G(x)+c 再利用条件F(a)=「f(t=0,确定常数c F(a=G(a)+c=0=c=-G(a 于是,F(x)=G(x)-G(a) SS()dx= F()-F(a)=G(b)-G(a 写成 f(x)dx=G(b)-G(a)=G(x) 这就是 Newton-- Leibniz公式,又称微积分基本公式 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 「dF(x)=F(b)-F(a) 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿一莱布 尼茨公式.这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的 问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。G(b)-G(a)=F(b)-F(a),因此对于∫(x) 在[a,b]上的任何一个原函数都有 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 ∫dF(x)=F(b)-F(a) 例2:计算定积分 解:因为√1+x2在区间[,是被积函数 一个原函数,根 据牛顿一莱布尼茨公式得到 dx=√l+x2=√ l+0 最好与不定积分求原函数结合起来 x 02√1+x 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 今 G(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上另一个原函数, 则存在常数 c ,使得 F(x) G(x) + c。 再利用条件 ( ) = ( ) = 0 a a F a f t dt , 确定常数 c : F(a) = G(a) + c = 0 c = −G(a), 于是, F(x) G(x) − G(a), f (x)dx F(b) F(a) G(b) G(a) b a = − = − 写成： b a b a f (x)dx = G(b) − G(a) = G(x) 这就是 Newton---Leibniz 公式，又称微积分基本公式。 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a = − 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的, 所以称之为牛顿—莱布 尼茨公式. 这个公式把计算定积分与求原函数, 这两个看来不太有关的 问题联系在一起, 从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。 G(b) −G(a) = F(b) − F(a),因此对于 f (x) 在 [a, b] 上的任何一个原函数都有 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a = − . 例 2:计算定积分 + 1 0 2 1 dx x x 解: 因为 2 1+ x 在区间 [0,1] 是被积函数 2 1 x x + 一个原函数，根 据牛顿—莱布尼茨公式得到 + 1 0 2 1 dx x x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = − . 最好与不定积分求原函数结合起来： + 1 0 2 1 dx x x = ( ) = + + 1 0 2 2 2 1 1 x d x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = −
第七章定积分 例2:计算定积分「1- cosxdx 0≤x 解:1-cosx=2sm2x <0 1- cos xdx=-√2「snax+ 2√2cos cOs =4(√2-1 例3计算[ cos x sin x d cos'xsin xdx=kcos'xd(cos x)= OS x coS 例4:计算「 dx= I+xdx= 11+ actg 1+ dx actg t arcing ((2)m(m2 √2(2 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 例 2:计算定积分 − − 2 2 1 cos xdx 解: − − − = = 0 2 , 2 2 sin 2 , 0 2 2 sin 2 1 cos 2sin 2 x x x x x x − − 2 2 1 cos xdx = − + = − 2 0 0 2 2 2 sin 2 2 sin dx x dx x = 4( 2 1) 2 2 2 cos 2 2 2 cos 2 0 0 2 − = − − x x 例 3: 计算 2 0 5 cos sin x x dx 解: = ( ) = 2 0 2 5 0 5 cos sin cos cos x xdx x d x 6 1 cos 0 2 cos 6 1 cos 6 1 6 6 2 0 6 = = − = − − x . 例 4: 计算 − + 1 + 1 4 2 1 1 dx x x . 解: ( ) ( ) − − − − − − − − + − = + + = + + 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 4 2 2 1 1 1 x x d x x dx x x x dx x x = 0 2 2 1 1 1 1 = − − − x x arctg ; + + + + + = + + − − 1 0 4 2 0 1 4 2 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1 dx x x dx x x dx x x = = − + − − − − 1 0 1 0 1 1 2 2 2 1 x x arctg x x arctg = = − − − − → − → − + 2 lim 2 lim 2 1 1 0 1 0 x x arctg x x arctg x x (? ) = 2 2 2 2 1 = +
第七章定积分 可以验证: 2√2x(1 1+x arcing 1+x arct 2√2x(1-x2) 1+x x4-4x2+1 x4-4x2+1=0有根 ±√2-√3=±0517638和±√2+√3=±193185 其中x0=√2-√3=0517638∈[01 即函数G(x)=-=arcg 2√2x(1-x2) 在[0,1内不连续,有间断 4x+1 √3=0517638∈[0,1],因而发生了问题 例4:计算f(x)=p-xdt 解1:分三种情形 )x0.,则f(x)=(-xMs、1x 2)x1,则f(x)=--xMb1,x 3)0≤x≤1,则 f(x)=1(-x)dt-4(t-x)hx2x,1 323 f(x)=4-x 0≤x≤1 323 <x 解2:这样做行吗?: f()=[1=d=1(-8)S-xA= sgn(t 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 可以验证： ( ) 4 2 4 2 2 1 1 4 1 2 2 (1 ) 2 2 1 x x x x x x arctg + + = − + − , 0 4 1 2 2 (1 ) 2 2 1 1 1 1 0 4 2 1 2 0 4 2 = − + − = + + = = x x x x x x dx arctg x x , 4 1 4 2 x − x + =0 有根 : 2 − 3 = 0.517638 和 2 + 3 = 1.93185 , 其中 2 3 0.517638 [0,1] x0 = − = , 即函数 ( 4 1) 2 2 (1 ) 2 2 1 ( ) 4 2 − + − = x x x x G x arctg 在 [0,1] 内不连续，有间断 点 2 3 0.517638 [0,1] x0 = − = , 因而发生了问题。 例 4: 计算 = − 1 0 f (x) t t x dt . 解 1：分三种情形： 1) x1, 则 = − − = − + 1 0 3 2 1 ( ) ( ) x f x t t x dt 3) 0 x 1, 则 3 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 0 = − − − = − + x x f x t t x dt t t x dt x x − + − + − = − = x x x x x x x f x t t x dt 1 3 2 1 , 0 1 3 1 3 2 , 0 3 2 1 ( ) 1 3 0 解 2：这样做行吗？： = − 1 0 f (x) t t x dt = ( ) ( ) − − 1 0 t t x Sgn t x dt = = ( ) Sgn( x) x x Sgn t x t t t t − − = − − = = 1 3 2 1 3 2 1 0 3 2
第七章定积分 7-4定积分的计算方法 7-4-1变量置换法 定理:设∫∈C[A,B](连续,如果函数x=l(1)满足下列条件 (1)u(1)在a,B上连续可导,且u(a,){ab]<[AB]; (2)u(a)=a,以(B)=b 则|f(x)dx=f(u()a()dt 由于保证了两边被积函数的连续性,因而直接利用N-L公式即可证 明 定理:设∫∈R[a,b](可积,如果函数x=u(1)满足下列条件 (1)u(1)在[a,B]上连续可导,且单调 (2)l(a)=a,u(B)=b 则f(x)ax=f(u()n(t)dt 这个证稍麻烦,要把两边化成积分和,对Δx1=l(1)-(1-)用有限增量 公式来证明,有兴趣者可尝试之 例4,证明:若∈CD01,则∫x/(smx=万/(smx 证:令x=π-t,d=-dt x(mx=∫(/(m(-dn)= rfn)d-「t/(snl)t 2∫x/(nx)dk=」r/(sm)m 求: xsIn x -dx sIn x d(cosx 1+cos2x 2J1+cos2 x dx 2J1+cos x arct(cos x) T 例2:若∫∈C[A,B,[a,b]c[A,B]求极限 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 7-4 定积分的计算方法 7-4-1 变量置换法 定理：设 f C[A, B] (连续), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且 u([,]) [a,b] [A,B] ; (2) u() = a, u() = b ; 则 = f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用 N--L 公式即可证 明。 定理：设 f R[a,b] (可积), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且单调 ; (2) u() = a, u() = b ; 则 = f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 这个证稍麻烦，要把两边化成积分和, 对 ( ) ( ) i = i − i−1 x u t u t 用有限增量 公式来证明，有兴趣者可尝试之。 例 4, 证明 : 若 f C[0,1], 则 ( ) ( ) = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx . 证：令 x = − t , dx = −dt , ( ) ( ) ( )( ) = − − 0 0 xf sin x dx t f sin t dt = = ( ) ( ) − 0 0 f sin t dt t f sin t dt ( ) ( ) = 0 0 2 x f sin x dx f sin t dt . 求: ( ) + = − + = + 0 2 0 2 0 2 1 cos cos 1 cos 2 sin 1 cos 2 sin x d x dx x x dx x x x = ( ) 4 cos 2 2 0 = − = = x x arctg x 例 2: 若 f C[A, B], [a,b] [A, B] 求极限
第七章定积分 ∫(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x) ((x+h)-f(x) 解:lim h (h IU(+h)-f(x))dx h→,0\Ja h→0\Ja+h lim(b+h)-f(a+h)=f(b)-f(a 7-4-2分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处,只 是可随式的推导及时代入积分限即可 u(x)v() -v(x)duc 对于分部积分的计算同样有三种情形:化简型;循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例4:计算 解:先求xe2的原函数令u=-x2,则xdx=-dh,于是 dx=-∫edh 于是 例4计算 e"sin brd、snbb cos bxdx= 第七章定积分
第七章 定积分 第七章 定积分 + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 . 解： + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 = ( ) ( ) h h b a h h f x h f x dx + − → ( ) ( ) lim 0 = ( ) + − → h b h a lim f (x h) f (x) dx 0 = ( ) + → + h b h h a h lim f (t) dt 0 = lim ( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 f b h f a h f b f a h + − + = − → 7-4-2 分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只 是可随式的推导及时代入积分限即可: = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例 4: 计算 − 1 0 2 1 2 xe dx x 解: 先求 2 2 1 x xe − 的原函数.令 2 2 1 u = − x ,则 xdx = −du ,于是 xe dx e du e c e c x u u x = − = − + = − + − − 2 2 2 1 2 1 于是 − 1 0 2 1 2 xe dx x e e x 1 1 1 0 2 1 2 = − = − − 例 4: 计算 = − 0 0 0 sin cos 1 sin e bxdx a b e bx a e bxdx ax ax ax =
