《数学分析》第十二章习题一.doc_大学文库

1．曲线    + − = + + = 4 6 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 在点（2，1，1）处的法平面之单位法矢量是__________ {1, 2,0} 5 1  − 2．已知 y z z x = ln 确定函数 z = z(x, y) ,求 2 2 x z   . [解] x z z x z + =   , 3 2 2 2 (x z) z x z + − =   ( x + z  0 ) 3．考查 ( , ) (5 2 ) 2 f x y e x y x y = − + − 的局部极值. [解]      = − − =  = − + − = − − ( , ) (2 4) 0 ( , ) (10 4 2 2) 0 2 2 2 f x y e x y f x y e x x xy x y y x y x ,解得驻点 (1, − 2) (20 8 4 12 2 10) 2 3 2 2  = − + − + + − f e x x x y x y x y x x , ( 2 3) 2  = − + + − f e x y x y yy , (4 2 8 2) 2 2  = − − + − f e x xy x x y xy 3 A f (1, 2) 2e = xx  − = − , 3 B f (1, 2) 2e = xy  − = , 3 C f (1, 2) e = yy  − = − 2 0 2 6 AC − B = − e  ,  驻点(1, − 2) 非极值点 5．设 ( ) ( , ( , )) 2 2 g x = f x  x x ，其中函数 f 与  的二阶偏导数连续，求 2 2 ( ) dx d g x 。解： f f ( ) x dx dg x 2 ( ) 1 2 1  2 =  +   +  ，  ( )  ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 1 1 2 2 2 )。 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 4 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2                       =  +   +  +   +  +   +  +   +  +  +   +  +   +  +  +  +   +   +  = +   +  =  +   +  f xf x f f x f f x f x f f x f f x f f x dx d dx d g(x) 在曲线 2 3 3 1 x = t, y = t ,z = t 的所有切线中，与平面 x + 2y + z = 4 平行的切线[ B ] (A)只有一条。 (B)只有两条。 (C)只有三条。 (D)不存在。 6．二元函数      =  = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在点 (0,0) 处[ C ] (A) 连续且偏导数存在。 (B)连续但偏导数不存在。 (C) 不连续但偏导数存在。 (D) 不连续且偏导数不存在

=       − − − T r z z r y y r x x0 0 0 P0 T z F y F x F               0 0 0 p p r n   =  ，所以 0 r  与 S 正交。（8 分）方法二： 0 (3) 0 (2) 0 ( 1) 0 0 0 =   − − =   −   =   =   − − =   −   =   =   − − =   −   =   z F r z z z F z r z L k y F r y y y F y r y L j x F r x x x F x r x L i          ，左边三式相加，得 − n = 0 r r    ，即 r n   0 =  . 12．设 {( , ) , , 0, 0} 2 D = x y  R x  a y  b a  b  , f (x, y) 在 D 上连续，在 D 内可微，且满足方程 = ( , ),(  0)   +   kf x y k y f x f 常数，若在 D 的边界上 f (x, y) = 0 ，试证 f (x, y) 在 D 上恒为零。 [证] 设 f (x, y) 在 D 上不恒为零。因为函数 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续，所以 f (x, y) 在上存在最大值 M 和最小值 m ，且最大值 M 和最小值 m 不能同时为零。不妨设最小值 m  0 ，因为在 D 的边界上 f (x, y) = 0 ，于是必有 D 内的点 ( , ) 0 0 x y 使得 f (x0 y0 ) = m  0 ，由 f (x, y) 在 D 内可微，点 ( , ) 0 0 x y 必为极值点（驻点）。所以 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 =   =   y f x y x f x y ，这与 0 0 0 0 0 0 0 =    +   ( , ) ( , ) ( , ) kf x y y f x y x f x y ，矛盾！因此 f (x, y) 在 D 上恒为零。 13. 求函数 f (x, y,z) = ln x + ln y + 3ln z 在球面 2 2 2 2 x + y + z = 5r （ x  0， y  0 ， z  0 ）上的最大值，并证明对任何正数 a ，b ，c 成立不等式 3 5 ) 5 27( a b c abc + +  . 14. 设 u = u( x, y,z ) 在单连域 3  R 内可微，且满足 gradu  0 ，试证明 u = u( x, y,z ) 在  内无封闭等值面。 15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1 =18− 2Q1，P2 =12 −Q2 ，其中 P1 和 P2 分别表示该产品在两个市场的销售（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5 ，其中 Q = Q1 +Q2 。 (1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获最大利润； (2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场