第一学期第二次课 §2一元高次代数方程的基础知识 121高等代数基本定理及其等价命题 1.高等代数基本定理 设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果 f(x)=ax"+a1x"+…+an∈Kx(a0≠0),则称n为f(x)的次数,记为 deg f(x) 定理(高等代数基本定理)C[x]的任一元素在C中必有零点 命题设∫(x)=a0x”+a1x”+……+an、(a0≠0,n≥1)是C上一个n次多项式,a 是一个复数。则存在C上首项系数为a0的n-1次多项式q(x),使得 f(x)=q(x(x-a)+f(a) 证明对n作数学归纳法。 推论x0为f(x)的零点,当且仅当(x-x0)为f(x)的因式(其中degf(x)≥1)。 命题(高等代数基本定理的等价命题)设f(x)=a0x+a1x2 (a0≠0,n≥1)为C上的n次多项式,则它可以分解成为一次因式的乘积,即存在n个复 数a1,a2…,an,使 f(x)=a0(x-a1)(x-a2).(x-an) 证明利用高等代数基本定理和命题1.3,对n作数学归纳法 2.高等代数基本定理的另一种表述方式 定义设K是一个数域,x是一个未知量,则等式 ax+ax+ (其中ao0,a1…:an∈K,a0≠0)称为数域K上的一个n次代数方程:如果以x=a∈K 带入(1)式后使它变成等式,则称a为方程(1)在K中的一个根 定理(高等代数基本定理的另一种表述形式)数域K上的n(≥1)次代数方程在复数域 C内必有一个根 命题n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根(可以重复)。 命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定C上两个n次、m次多项式 f(x)=a0+a1x+…+anx"(an≠0), 8(x)=b+b1x+……+bnx"(bn≠0) 如果存在整整数1,l≥m,1≥n,及l+1个不同的复数B,B2…,B,B1,使得 f(B,)=g(B1)(i=1,2,…l+1),第一学期第二次课 §2 一元高次代数方程的基础知识 1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题 1. 高等代数基本定理 设 K 为数域。以 K[x] 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体。如果 ( ) ...... [ ],( 0) 0 1 = 0 + 1 + +   − f x a x a x an K x a n n ，则称 n 为 f (x) 的次数 ，记为 deg f (x) 。 定理（高等代数基本定理） C [x] 的任一元素在 C 中必有零点。 命题 设 ( ) ...... ,( 0 1) 0 1 = 0 + 1 + +   − f x a x a x an a n n n ， 是 C 上一个 n 次多项式， a 是一个复数。则存在 C 上首项系数为 0 a 的 n −1 次多项式 q(x) ，使得 f (x) = q(x)(x − a) + f (a) 证明 对 n 作数学归纳法。 推论 0 x 为 f (x) 的零点，当且仅当 ( ) 0 x − x 为 f (x) 的因式（其中 deg f (x) 1 ）。 命 题 （高等代数基本定理的等价命题） 设 n n n f x = a x + a x + + a − ( ) ...... 1 0 1 ( 0 1) a0  ，n  为 C 上的 n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复 数 a a an , ,......, 1 2 ，使 ( ) ( )( )......( ) 0 1 2 n f x = a x − x − x − 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式 ...... 1 0 1 0 + 1 + + − + = − n n n n a x a x a x a （1） （其中 a0 , a1 ,......, an K, a0  0 ）称为数域 K 上的一个 n 次代数方程；如果以 x = K 带入（1）式后使它变成等式，则称  为方程（1）在 K 中的一个根。 定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域 K 上的 n (1) 次代数方程在复数域 C 内必有一个根。 命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根（可以重复）。 命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式 ( ) ...... ( 0) = 0 + 1 + + n  n f x a a x an x a ， ( ) ...... ( 0) = 0 + 1 + + m  m g x b b x bm x b ， 如果存在整整数 l , l  m, l  n ,及 l +1 个不同的复数 1 2 1 , ,......, ,    l  l+ ，使得 f ( ) = g( ) (i =1,2,......,l +1)  i  i