6.1点估计 3 解：由于 EX =a,D(X)=o2 所以a,g2的一个矩估计量为 a=,2=m2= X-X)2 i=1 我们知道ES2=2,因此，σ2的另一个矩估计量为2=S2.口 6.1.2极大似然估计方法(MLE) 这种方法是基于如下的看法： 定义6.1.1.设样本X(不一定是简单样本)有概率函数f(x,0),这里参数0∈日，而当固 定x时把f(x,)看成为0的函数，称为似然函数。 当固定参数时，f(x,)可以看成是得到样本观察值x的可能性，这样，当把参数0 看成变动时，也就得到了”在不同的值下能观察到x的可能性大小”：由于我们已经观 察到了x,所以我们要寻求在哪一个0的值下，使得能观察到x的可能性最大。这个的 值我们称为极大似然估计值。即 定义6.1.2.设X1,·,Xn为从具有概率函数f的总体中抽取的样本，x=(c1,…,工n)为 样本的观察值。若0=(X1,·,Xn)为一个统计量，满足 f(,0)=sup f(x,0) 0e日 则称0为参数0的极大似然估计量(MLE。若待估参数为0的函数g(0),则g()的极大似 然估计量为g(0)。 求极大似然估计量相当于求似然函数的极大值。我们称 L(0)=f(x1,…,xn;0) 为似然函数。在简单样本的情况下， L(0) Πf(,0) i-1 而把似然函数的对数称为对数似然函数：（在一些情况下，处理对数似然函数更方便） 1(0)=logL(0) 当似然函数为非单调函数时，我们可以求其聚点： d(0) do =0(或者L(@ 二06.1 :O 3 ): du EX = a, D(X) = σ 2 §±a, σ2òá›O˛è aˆ = X, ¯ σˆ 2 = m2 = 1 n Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ·ÇES2 = σ 2ßœdßσ 2,òá›O˛èσˆ 2 = S 2 . 6.1.2 4åq,Oê{(MLE) ˘´ê{¥ƒuXew{: ½¬ 6.1.1. X(ÿò½¥{¸)kV«ºÍf(x, θ)ߢpÎÍθ ∈ Θß  ½xûrf(x, θ)w§èθºÍß°èq,ºÍ" ½ÎÍθûßf(x, θ)å±w§¥* äxåU5ߢßrÎÍθ w§Cƒûßè“ ”3ÿ”θäeU* xåU5唶du·ÇƲ*  xߧ±·Ç᜶3=òáθäe߶U* xåU5Åå"˘áθ ä·Ç°è4åq,Oä"= ½¬ 6.1.2. X1, · · · , Xnèl‰kV«ºÍfoN•ƒßx = (x1, · · · , xn)è * ä"eˆθ = ˆθ(X1, · · · , Xn)èòá⁄O˛ß˜v f(x, ˆθ) = sup θ∈Θ f(x, θ) K°ˆθèÎÍθ4åq,O˛(MLE)"eñÎÍèθºÍg(θ)ßKg(θ) 4åq ,O˛èg( ˆθ)" ¶4åq,O˛Éu¶q,ºÍ4åä"·Ç° L(θ) = f(x1, · · · , xn; θ) èq,ºÍ"3{¸ú¹e, L(θ) = Yn i=1 f(xi , θ) rq,ºÍÈÍ°èÈÍq,ºÍ:(3ò ú¹eß?nÈÍq,ºÍçêB) l(θ) = logL(θ) q,ºÍèö¸NºÍûß·Ç屶Ÿ‡:: dl(θ) dθ = 0 (½ˆ dL(θ) dθ = 0)