(3)若f(x)~(x)且g(x)~(x)则lim[1+f(x)](x)=lm[1+o(x)] x→0 意义:使求满足定理2条件的幂指函数的极限得以简化。 例3.求极限lm(cos2x)mt 解:m02)-:5=ia-(-c02x)2=lm|(-2x)x 定理3设limf(x)=lo(x)=limg(x)=lm(x)=0且f(x)~p(x), g(x)o(x) (1)φ(x)与φ(x)同阶无穷小量,不是等价无穷小量,则f(x)-8(x)~(x)-p(x) (2)q(x)与如(x)同阶无穷小量,不是反向等价无穷小量,则 f(x)+g(x)~(x)+p(x) 证明:(1)由已知,设mnx=k(≠0k≠1)则(x)~kx) x→0p(x) 因为lmf(x)-8(x)=1mf(x)-g()=lmf(x) g(x) x0q(x)-p(x)x0(k-1)(x)x-0(k-1)(x)x0(k-1)p(x) f(x) 221 +0(x)(k 所以f(x)-g(x)~g(x)-(x).同理可证(2) 意义:计算极限lm[f(x)-g(x)比较困难时,只要满足定理3的条件,即可 将mf(x)-g(x)转化为计算极限lm[o(x)-p(x)。上述结论可推广到: im[f(x)±g(x)Jh(x) imn[f(x)±g(x)]x) lim h(x)xtg(-x) im[f(x)±g(x)](x(u(x)与v(x)也须满足定理3的条件)。 例4.求极限imx(Vx3+x-Vx3-x) 解(3) 若 f (x) ～(x) 且 g(x) ～(x) 则 ( ) 1 () lim[1 ( )] g x x  f x  ( ) 1 () lim[1 ( )] x x x     意义：使求满足定理 2 条件的幂指函数的极限得以简化。 例 3. 求极限 ln(1 ) 1 0 2 lim(cos2 ) x x x   解： ln(1 ) 1 0 2 lim(cos2 ) x x x   2 1 0 lim[1 (1 cos 2 )] x x    x    2 2 1 2 0 2 lim 1 2            x x x 2  e 定理 3 设 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 () () () ()         f x x g x x x x x x   且 f (x) ～ (x) ， g(x) ～(x) ， (1) (x) 与 (x) 同阶无穷小量，不是等价无穷小量, 则 f (x)  g(x)～(x) (x) (2) (x) 与 (x) 同阶无穷小量，不是反向等价无穷小量, 则 f (x)  g(x)～(x) (x) 证明：(1)由已知，设 ( 0, 1) ( ) ( ) lim ()     k k k x x x   则 (x) ～k(x) 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) lim () x x f x g x x     ( 1) ( ) ( ) ( ) lim () k x f x g x x      ( 1) ( ) ( ) lim ( 1) ( ) ( ) lim () () k x g x k x f x x  x        1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ()       k x k x x f x x    1 1 1 1      k k k 所以 f (x)  g(x)～(x) (x) .同理可证(2). 意义：计算极限 lim[ ( ) ( )] () f x g x x   比较困难时，只要满足定理 3 的条件，即可 将 lim[ ( ) ( )] () f x g x x   转化为计算极限 lim[ ( ) ( )] () x x x    。上述结论可推广到： lim[ ( ) ( )] ( ) () f x g x h x x   ， ( ) () lim[ ( ) ( )]h x x f x  g x  ， [ ( ) ( )] () lim ( ) f x g x x h x   ， [ ( ) ( )] () lim[ ( ) ( )] u x v x x f x g x    （ u(x) 与 v(x) 也须满足定理 3 的条件）。 例 4．求极限 lim ( ) 3 3 3 3 x x x x x x     解： lim ( ) 3 3 3 3 x x x x x x    