定理1(等价无穷小量代换定理)设a1(x)~a2(x),B(x)~B2(x),且 存在,则 B2(x) lim lin B2(x) 意义:计算极限m2(比较困难时,可利用等价无穷小量a(x)~a2(x), B1(x) B()~(x),将m4(转化为计算极限皿n2(x),即对函数的因子作等价 B1( x+0 B,(x) 无穷小量替换。但必须注意的是,当计算中出现无穷小量相加减时,不能不加思 考便用等价量直接替换 例2.求极限lim tanx-sin x 错误解法:当x→0时,sinx~x,tanx~x, 所以, lim tanx-sinx=lmx-x=0 sin 2x →0(2x 正确解法:lim anx- x x→0sn32x =lim sIn x(1-cos x)=lim &x cosx 16 x→0(2x)3cosx 事实上,当x→0时,虽然sinx~x,tanx~x,但这省略了关于x的高 阶无穷小量部分后得到的等价关系,所以tanx-sinx并不等于0,而是 tanx-sinx=(x+o(x)-(x+o(x)=o(x),更确切地说由7ayl公式得: 2 ta-si=x+-x+x+ =O(x3) 3!5 所以对于代数和中各无穷小量不能随意代换,但是下列几种情况代数和中各 无穷小量是可以代换的。学生往往很模糊,不易掌握 定理2设lmf(x)=lmo(x)=lmg(x)=im(x)=0. (1)若f(x)~o(x)则m1+f(x)]3()=lim+o(x)x (2)若g(x)~p(x)则m1+f(x)3(x)=im[+f(x)]x)定理 1 (等价无穷小量代换定理) 设 ( ) 1  x ～ ( ) 2  x ， ( ) 1  x ～ ( ) 2  x ,且 ( ) ( ) lim 2 2 () x x x    存在，则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 2 () 1 1 () x x x x x x        . 意义：计算极限 ( ) ( ) lim 1 1 () x x x    比较困难时，可利用等价无穷小量 ( ) 1  x ～ ( ) 2  x ， ( ) 1  x ～ ( ) 2  x ，将 ( ) ( ) lim 1 1 () x x x    转化为计算极限 ( ) ( ) lim 2 2 () x x x    ，即对函数的因子作等价 无穷小量替换。但必须注意的是，当计算中出现无穷小量相加减时，不能不加思 考便用等价量直接替换。 例 2. 求极限 x x x x sin 2 tan sin lim 3 0   错误解法：当 x  0 时， sin x ～ x，tan x ～ x ， 所以， x x x x sin 2 tan sin lim 3 0   3 0 (2 ) lim x x x x     0 正确解法： x x x x sin 2 tan sin lim 3 0   x x x x x (2 ) cos sin (1 cos ) lim 3 0    x x x x x 8 cos 2 1 lim 3 2 0    16 1  事实上，当 x  0 时，虽然 sin x ～ x，tan x ～ x ，但这省略了关于 x 的高 阶无穷小量部分后得到的等价关系，所以 tan x  sin x 并不等于 0 ，而是 tan x  sin x  x  o(x) x  o(x)  o(x) ，更确切地说由 Taylor 公式得： tanx  sinx                        15 3! 5! 2 3 1 3 5 3 5 x x x x x x ( ) 3  o x 所以对于代数和中各无穷小量不能随意代换，但是下列几种情况代数和中各 无穷小量是可以代换的。学生往往很模糊，不易掌握。 定理 2 设 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 () () () ()         f x x g x x x x x x   . (1) 若 f (x) ～(x) 则 ( ) 1 () lim[1 ( )] g x x  f x  ( ) 1 () lim[1 ( )] g x x   x  (2) 若 g(x) ～(x) 则 ( ) 1 () lim[1 ( )] g x x  f x  ( ) 1 () lim[1 ( )] x x f x    