《当代高教理论研究》2007年第6期 无穷小量若干问题的探讨 复旦大学数学学院金融数学与控制科学系朱慧敏 摘要:通过对无穷小量的进一步探讨,澄清一些模糊认识、常见错误,给 出相应的理论分析及推广,对学生掌握等价无穷小量替代方法求极限有着重要意 义 关键词:无穷小量,等价无穷小量,反向等价无穷小量,极限 无穷小量是以零为极限的变量,而不是一个很小的数。 1.无穷小量运算性质中易混滑的是 在同一变化过程中,有限多个无穷小量的代数和是无穷小量;有限多个无穷 小量的乘积是无穷小量 注意:上述性质中的有限多个,不能改为可列个或无穷多个。即可列个、无 穷多个无穷小量的代数和、乘积未必是无穷小量。但是,学生常常犯这样的错误, 以为可列个、无穷多个无穷小量的代数和、乘积是无穷小量。不妨举反例说明: 可列个、无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量 例1.证明函数当x→∞时,不是无穷小量。 证明:当x→∞时,[]→∞,函数为无穷小量,若将上述无穷小量的性 质随意推广,就会得出极限为0,即函数回当x→∞时,为无穷小量的错误结 论。事实上, 对x∈R,x≠0,有[]x< 当x>0时, <≤=1而lm 」+1 所以m回=1即函数当x→>+时,不是无穷小量。 当x<0时,1=四≤ 而lim x]+ x[x]+1 所以Im团=1即函数当x→-时,不是无穷小量。 综上所述,函数国当x→∞时,不是无穷小量。 2.等价无穷小量替代方法求极限易混滑的是《当代高教理论研究》2007 年第 6 期 无穷小量若干问题的探讨 复旦大学数学学院金融数学与控制科学系 朱慧敏 摘 要：通过对无穷小量的进一步探讨，澄清一些模糊认识、常见错误，给 出相应的理论分析及推广，对学生掌握等价无穷小量替代方法求极限有着重要意 义。 关键词：无穷小量，等价无穷小量，反向等价无穷小量，极限 无穷小量是以零为极限的变量，而不是一个很小的数。 1．无穷小量运算性质中易混淆的是 在同一变化过程中，有限多个无穷小量的代数和是无穷小量；有限多个无穷 小量的乘积是无穷小量。 注意：上述性质中的有限多个，不能改为可列个或无穷多个。即可列个、无 穷多个无穷小量的代数和、乘积未必是无穷小量。但是，学生常常犯这样的错误， 以为可列个、无穷多个无穷小量的代数和、乘积是无穷小量。不妨举反例说明： 可列个、无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量 例 1. 证明函数   x x 当 x  时，不是无穷小量。 证明：当 x  时， x  ，函数 x 1 为无穷小量，若将上述无穷小量的性 质随意推广，就会得出极限为 0 ，即函数   x x 当 x  时，为无穷小量的错误结 论。事实上， 对 x R, x  0，有 x  x  x1， 当 x  0 时，           1 1     x x x x x x 而     1 1 lim   x  x x 所以   lim  1  x x x 即函数   x x 当 x  时，不是无穷小量。 当 x  0 时，           1 1     x x x x x x 而     1 1 lim   x  x x 所以   lim  1  x x x 即函数   x x 当 x  时，不是无穷小量。 综上所述，函数   x x 当 x  时，不是无穷小量。 2．等价无穷小量替代方法求极限易混淆的是