316 北京科技大学学报 2004年第3期 但它的合理选取可以节省计算时间，提高计算精 表3高斯G、角积分方案的离散方向4与权重系数W 度，并可避免离散方程间的非真实耦合，减少离 Table 3 Discrete ordinates and weights for the S.angular 散坐标法的射线效应和假散射现象).根据积分 quadrature scheme 方案的不同，离散坐标法又可分为S,F,G, 近似阶数 坐标4 权重系数w Tx,2,以及SRPAN离散坐标法等，但目前常用的 ±0.57735026919 6.283185300 ±0.33998104358 4.097548786 积分方案主要有S,,Fiveland等权值角积分方 G ±0.86113631159 2.185636414 案Fw刃和高斯求积方案G.表13列出了上述角 +0.23861918608 2.939989911 积分方案的各阶离散坐标方向及相关权值. ±0.66120938647 2.266731776 表1S角积分方案的离敞方向4与权重系数w 0.93246951420 1.076463513 Table I Discrete ordinates and weights for the Sy angular ±0.18343464250 2.278809378 quadrature scheme ±0.52553240992 1.971076955 ±0.79666647741 1.397261222 近似阶数 坐标山 权重系数w ±0.96028985650 0.636037639 S(对称) ±0.5773503 6.2831853 ±0.14887433898 1.856833437 S:(不对称) ±0.5000000 6.2831853 ±0.43339539413 1.691852664 ±0.2958759 4.1887902 S G ±0.67940956830 1.376560194 ±0.9082483 2.0943951 ±0.86506336669 0.939030504 ±0.1838670 2.7382012 0.97390652852 0.418908401 S ±0.6950514 2.9011752 ±0.12523340851 1.565437032 ±0.9656013 0.6438068 ±0.36783149899 1.467076853 ±0.1422555 2.1637144 ±0.58731795429 1.276538570 ±0.5773503 2.6406988 ±0.90411725637 1.005801788 ±0.8040087 0.7938272 ±0.90411725637 0.671919590 ±0.9795543 0.6849436 ±0.98156063425 0.296411373 表2F,角积分方案的离散方向“与权重系数W Table 2 Discrete ordinates and weights for the F.angular 2计算结果及讨论 quadrature scheme 以辐射平衡时无限大平板灰介质层一维辐 近似阶数 坐标4 权重系数w F ±0.5000000 6.2831853 射换热问题为例，为与文献结果进行对比研 ±0.21132490 3.1415926 究，假设介质无散射且折射率=1，边界为不透明 F ±0.78867511 3.1415926 的黑表面.定义量纲为1的热流平及其相对误差 ±0.14644626 2.0943951 E分别为： F ±0.49999980 2.0943951 Ψ=Qx/[nT8-T)月，E=(Ψ-平)/平。(5) ±0.85355386 2.0943951 其中，Q为辐射热流密度，在辐射平衡时处处相 ±0.10267238 1.5707963 同，其值为Q=2π4(t,)d;平和平。分别为 ±0.40620470 1.5707963 量纲为1的热流的离散坐标法计算值和文献准 ±0.59379534 1.5707963 ±0.89732742 1.5707963 确解，图1-3分别给出S,F、,Gx角积分方案不同 0.08375152 1.2566370 近似阶数的量纲为1的热流值，图4给出S、积分 ±0.31272730 1.2566370 方案的辐射热流的相对误差，图5给出这三种角 ±0.50000362 1.2566370 积分方案各阶近似的相对误差的比较 0.68726825 1.2566370 由图1-3可以看出，三种积分方案的阶数越 0.91624917 1.2566370 高，辐射热流的计算值越接近准确解，即低阶离 ±0.06687722 1.0471975 散坐标法的不准确性可以通过相应的高阶近似 ±0.36669356 1.0471975 得到改善.由图2可见，随着光学厚度的增大，F、 ±0.28873171 1.0471975 ±0.71126604 1.0471975 积分方案的各阶近似的辐射热流计算结果的误 ±0.63330871 1.0471975 差增大.相反的，由图3可以看出，光学厚度越 ±0.93312301 1.0471975 大，高斯积分方案G的各阶近似的计算误差越. 3 1 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 4 年 第 3期 表 3 高斯 G 、 角积 分方 案的 离散方 向刀 与权重 系数、 Ta b l e 3 D i s e r e t e o r d in a t e s a n d w e ig h t s fo r t h e 凡 a n g u l a r q u a d r a t u r e s e h e m e 近似 阶 数 坐 标召 一琢切切幼幻 但 它 的合理 选取 可 以节 省计 算 时间 , 提 高计 算精 度 , 并可 避 免 离散方 程 间 的非真 实 藕合 , 减 少离 散坐标 法 的射线 效应 和 假散射 现 象 { 4,5] . 根 据积 分 方 案 的 不 同 , 离 散 坐 标 法 又 可 分 为凡 , 凡 , G、 乙 , 必 以及 S刃从 八 离散坐 标法 等 14] , 但 目前常用 的 积 分 方案 主要 有 凡 1 23] , iF ve l an d 等 权值 角 积分 方 案凡同和 高斯 求积 方案妹 8[] . 表 卜3 列 出 了上述 角 积 分 方案 的各 阶 离散坐 标 方 向及 相 关权 值 . G 2 G ; 以 表 1 凡 角积 分方案 的 离散方 向刀 与权重 系数 w aT b l e 1 D is e er t e o r d i n a t e s a n d w e i g h t s fo r t h e 凡 a n g u l a r q u a d r a t u er s e h e m e G , 近似 阶 数 丛 (对 称 ) 凡 (不对称 ) 坐 标粼 士 0 . 5 7 7 3 5 0 3 万 7 7 3 5 0 2 6 9 19 3 3 9 9 8 1 0 4 3 5 8 8 6 1 13 6 3 1 1 5 9 . 2 3 8 6 19 1 8 6 0 8 . 6 6 1 2 0 9 3 8 6 4 7 9 3 2 4 6 9 5 1 4 2 0 . 18 3 4 3 4 6 4 2 5 0 5 2 5 5 3 2 4 0 9 9 2 刀 9 6 6 6 6 4 7 7 4 1 . 9 6 0 2 8 9 8 5 6 5 0 14 8 8 7 4 3 3 8 9 8 却切均 凡 凡 切均切功印 . 5 0 0 0 0 0 0 . 2 9 5 8 7 5 9 9 0 8 2 4 8 3 . 1 8 3 8 6 7 0 . 6 9 5 0 5 1 4 . 9 6 5 6 0 1 3 . 1 4 2 2 5 5 5 . 5 7 7 3 5 0 3 G 。 4 3 3 3 9 5 3 9 4 13 6 7 9 4 0 9 5 6 8 3 0 8 6 5 0 6 3 3 6 6 6 9 9 7 3 9 0 6 5 2 8 5 2 12 5 2 3 3 4 0 8 5 1 一璐切印 凡 权 重系 数、 6 . 2 8 3 18 5 3 6 . 2 8 3 18 5 3 4 . 1 8 8 7 9 0 2 2 . 0 9 4 3 9 5 1 2 . 7 3 8 2 0 1 2 2 . 9 0 1 17 5 2 0 6 4 3 8 0 6 8 2 . 1 6 3 7 14 4 2 . 6 4 0 6 9 8 8 0 . 7 9 3 8 2 7 2 0 . 6 84 9 4 3 6 G , 2 8 0 4 0 0 8 7 权重 系数 w 6 . 2 8 3 18 5 3 0 0 4 . 0 9 7 5 4 8 7 8 6 2 . 1 8 5 6 3 6 4 14 2 . 9 3 9 9 8 9 9 1 1 2 . 2 6 6 7 3 1 7 7 6 1 . 0 7 6 4 6 3 5 13 2 . 2 7 8 8 0 9 3 7 8 1 . 9 7 1 0 7 6 9 5 5 1 . 3 9 7 2 6 1 2 2 2 0 . 6 3 6 0 3 7 6 3 9 1 . 8 5 6 8 3 3 4 3 7 1 6 9 1 8 5 2 6 6 4 1 . 3 7 6 5 6 0 ] 9 4 0 . 9 3 9 0 3 0 5 0 4 0 . 4 1 8 9 0 8 4 0 1 1 . 5 6 5 4 3 7 0 3 2 1 4 6 7 0 7 6 8 5 3 1 . 2 7 6 5 3 8 5 7 0 1 0 0 5 8 0 1 7 8 8 0 . 6 7 1 9 19 5 9 0 0 2 9 6 4 1 1 3 7 3 一琢均切功 土 0 . 9 7 9 5 5 4 3 3 6 7 8 3 1 4 9 8 9 9 万 8 7 3 17 9 5 4 2 9 乡 0 4 1 17 2 5 6 3 7 . 9 0 4 1 17 2 5 6 3 7 9 8 1 5 6 0 6 3 4 2 5 表 2 尸 、 角积 分方 案的 离散方 向尸 与权重 系数 w aT b l e 2 D i s e er t e o r d i o a t e s a n d w e i g b t s fo r t h e 凡 a n g u l a r q u a d r a t u r e s e h e m e 近 似 阶数 坐 标召 凡 士 0 . 5 0 0 0 0 0 0 凡 凡 凡 F lo . 2 1 1 3 2 4 9 0 . 7 8 8 6 7 5 1 1 . 1 4 6 4 4 6 2 6 . 4 9 9 9 9 9 8 0 . 8 5 3 5 5 3 8 6 . 1 0 2 6 7 2 3 8 . 4 0 6 20 4 7 0 5 9 3 7 9 5 3 4 . 8 9 7 3 2 7 4 2 . 0 8 3 7 5 1 5 2 . 3 1 2 7 2 7 3 0 . 5 0 0 0 0 3 6 2 . 6 8 7 2 6 8 2 5 . 9 1 6 2 4 9 1 7 F l2 士 0 . 0 6 6 87 7 2 2 士 0 3 6 6 6 9 3 5 6 士 0 . 2 8 8 7 3 1 7 1 士 0 . 7 1 1 2 6 6 0 4 士 0 . 6 3 3 3 0 8 7 1 士 0 . 9 3 3 12 3 0 1 权重 系数 w 6 , 2 8 3 18 5 3 3 . 14 1 5 9 2 6 3 . 14 1 5 9 2 6 2 0 9 4 3 9 5 1 2 . 0 9 4 3 9 5 1 2 0 9 4 3 9 5 1 1 . 5 7 0 7 9 6 3 1 . 5 7 0 7 9 6 3 1 . 5 7 0 7 9 6 3 1 . 5 70 7 9 6 3 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 2 5 6 6 3 7 0 1 . 04 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 1 0 4 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 1 . 0 4 7 1 9 7 5 2 计 算 结 果 及 讨 论 以辐 射 平 衡 时 无 限 大 平 板 灰介 质 层 一 维 辐 射换 热 问题 为例 , 为与 文献 结 果 1 391 进 行 对 比 研 究 , 假 设介质 无散 射且 折射 率 n 月 , 边 界 为不透 明 的黑 表 面 . 定义 量 纲 为 1 的热 流 少及其 相对 误 差 E 分别 为 : 尹 = Q R / 〔 n 2 a( 此一 君 )〕 , E = (尹一 讯 ) / 吼 ( 5 ) 其 中 , Q R 为辐 射 热 流 密度 , 在 辐 射 平衡 时处 处 相 同 , 其 值 为 Q ! 一 2二 f l。 ( (rI r * )咖 ; 尹和 式 分 别 为 量纲 为 1 的热 流 的离 散 坐标 法 计 算 值和 文 献 准 确解 . 图 l 一 3 分别 给 出凡 , 凡 , 吼 角积 分 方案 不 同 近 似 阶数 的量 纲 为 1 的热 流值 , 图 4 给 出 凡 积 分 方 案 的辐 射热 流 的相 对误 差 , 图 5 给 出这三 种 角 积 分方 案 各 阶近似 的相 对误 差 的 比 较 . 由图 卜3 可 以看 出 , 三种 积 分方 案 的阶 数越 高 , 辐射 热 流 的计 算值 越接 近 准确 解 , 即低 阶 离 散 坐 标 法 的不 准 确性 可 以通 过 相应 的高 阶 近似 得 到 改善 . 由 图 2 可 见 , 随着 光 学 厚度 的增 大 , 凡 积 分 方 案 的各 阶 近似 的辐 射 热 流计 算 结 果 的误 差增 大 . 相反 的 , 由图 3 可 以看 出 , 光 学厚度 越 大 , 高 斯积 分 方 案吼 的 各阶 近 似 的计 算 误 差越 一印幼均印切均功