对于E<e,8≥e,月o≥e和e≥e,Ag<0等情况，均有6A=g6e (3-7a) 由Lévy-Mises方程(3-2)得 8A=S16e:1=o,18e,1 (3-7b) 考虑非塑性区和卸载问题的广义变分原理为：在所有V1,ε；1中，真实解使泛函（2- 23)取得驻值。 其不完全广义变分原理为：在所有满足协调方程(2-2)速度场V中，真实解使泛函 -∬-rr,s-.-as+∬在3ar (3-8) 取得驻值 上述二变分原理对塑性区、非塑性区以及卸载区都是适用的。 3.3刚塑性有限元公式 现在以平面应变问题为例，推导有限元公式。将连续体V分为具有N个节点的M个单元。 第m个单元的节点速度矢量为{w}m。其泛函为 -∬ar-7rwa.as+cccBa.dr+cw(a.- u)m)ds 其中，Vm为第m个单元体积，{T}为表面力矢量，〔C]=110们；[W]=[N]r[N],{u为给 定速度。 整个变形体的泛函为 中=∑=，…ga,…iL,L,…L） (3-9) w”1 对上述泛函取驻值，由于6u:,81!和8L1的任意性，必有 M dom dui =0,i=1,2,…2N 9=1 ∑8晚=0，=1,2，…M ∂1： (3-10) 1 三001,2， 上式为非线性方程组。用Newton-Raphson迭代法求解 {u}n={u}n-1+{u}m (3-11) 对(3-8)式进行变分 ar-(-∬ct1-r+∬o a-fmaas- dS (3-12) ·145,对于丁 。 。 ， 万 。 。 ， 刁 。 。 。 和 。 “ 。 ， 了 。 等情 况 ， 均有 占才 由 己 了一 方程 一 得 二 ‘ ， 占￡ 口 、 』占召 考虑非塑性 区租卸载 问题的广义变分 原理 为 在所 有 犷 ，， 。 ，，中 ， 艺 取得 驻值 。 二 口 己 一 一 真实解使 泛 函 其不完全广义变分 原理 为 在所有满 足协调 方程 一 ， 二 汀 厂 一 价 、 犷 ‘ “ “ 一 仆 一 么 、 “ 拼瓜 厂 夕 ， 夕犷 速度场 厂 ，中 ， 了丁山 ， 了 真实解使 泛 函 一 取 得驻值 上述 二变分 原理对 塑性 区 、 非 塑性 区以及 卸载 区都是适用 的 。 刚塑 性有限 元公 式 现 在 以平面 应变 问题为例 ， 推导 有 限元 公式 。 将 连续体 犷 分为具 有 个节 点的 个单元 。 第 个单元 的节 点速度 矢量为 峙 。 。 其泛 函为 ， ， 汀 ，、 二 一 · 、 · · 、 ， 二 〔 〕 〔 〕 · 二 不 · ‘ ， · 〔研〕 ‘ · ，一 口 了 盯 加 二 ‘夕 其 中 ， 厂。 为 第 个单元 体积 ， 为 表面 力 矢 量 ， 〔 〕 二 〔 〕 〔研〕 〔 〕 〔 〕 ， 万下为给 定速度 。 整 个变形体 的泛 函为 。 人 ， ，， … 万 ， 元 ，， 兄 … 只对 ， ， … ， 一 对上述 泛 函取驻值 ， 由于 ‘ ， 幻 和咨 ，的任意性 ， 必有 ，‘ ， 功 。 夕 产 王 一二 ， 抽 曰 砚 落 ， ， … ， … 一 ， … 上 式为非线性 方程 组 。 用 一 刀人 。 迭代 法求解 ， 。 ， ， 对 一 式进 行变分 一 。 ， 。 。 ，、 厂 一 · 〕 。 · 叫 · ， 。 「 〕「 〕 ‘“ · ，一 厂 占， 二 〕 〔 〕 · 一 厂 · 〔研〕 · 〔一 ‘可 一 · 牙〕 。 · · ， 一