第十一讲留数定理及其应用(二) 第13页 (2m-2k)2=0 d2 因为 d r2 sin2n Q=2(--()m9 (-)(k)m-22-2=0 因为 由此即可定出 Q2n-2(2)=i 即Q2m-2(2)是2n-3次的奇次多项式,系数为纯虚数.根据留数定理有 12f(x)d2 ()+/(=0 因为 所以 又因为 所以 再因为 lim 所以 R=∞Ca2nQ21-2(2)dz=0 这几部分合并起来就得 . f(z)dWu Chong-shi ➾➚➪➶ ➹➘➴➷➬➮➱✃ (❐) ❒ 13 ❮ Q 00 2n−2 (0) = − nX−1 k=0 (−) k  2n k  (2m − 2k) 2 = 0 ✸❷ d 2 dx 2 sin2n   x=0 = 0 . . . Q (2n−3) 2n−2 (0) = (−) n i nX−1 k=0 (−) k  2n k  (2m − 2k) 2n−3 Q (2n−2) 2n−2 (0) = (−) n+1 nX−1 k=0 (−) k  2n k  (2m − 2k) 2n−2 = 0 ✸❷ d 2n−2 dx 2n−2 sin2n   x=0 = 0 ➝●❘❣❝ê Q2n−2(z) = i nX−2 l=0 (−) l (2l + 1)! " nX−1 k=0 (−) k  2n k  (2n − 2k) 2l+1# z 2l+1 , ❘ Q2n−2(z) ✹ 2n − 3 ➔✶÷➔❃➁✽✺ë✿❷ø❉✿❲✼Ø ✉✿❝✈❼ Z −δ −R 1 x 2n f(x)dx + Z Cδ 1 z 2n f(z)dz + Z R δ 1 x 2n f(x)dx + Z CR 1 z 2n f(z)dz = 0. ✸❷ limz→∞ 1 z 2n = 0, ❿ q lim R→∞ Z CR 1 z 2n e i(2n−2k)z dz = 0; ì ✸❷ limz→∞ z · 1 z 2n = 0, ❿ q lim R→∞ Z CR 1 z 2n dz = 0; ➓✸❷ limz→∞ z · 1 z 2n Q2n−2(z) = 0, ❿ q lim R→∞ Z CR 1 z 2n Q2n−2(z)dz = 0. ❸➩❊◆íîï②➂④➊ lim R→∞ Z CR 1 z 2n f(z)dz = 0