阅读材料:积分 -dx,n=1,2,……的计算 根据 Euler公式,有 2i ke(2n-2)+(-)”(n)k=n i(2n-2k) ++( {2 cos(2n-2k)x+(-) k=0 因此,考虑复变积分 e地 积分路径C如右图,而 f(a) (-)2/2n Q2n-2(z), k=0 Q2n-2(x)是不超过2n-2次的多项式,使z=0为被积函数f(2)/2n的一阶极点,即z=0为f(2) 的2n-1阶零点, Q2n-2(0)=0, ∑(-/(2)(2n-2 于是 因为sinWu Chong-shi æçèé ❒ 12 ❮ ❰ÏÐÑÒÓÔ Z ∞ −∞ sin2n x x 2n dx, n = 1, 2, · · · ÕÖ× ✼Ø Euler Ù✽✺❼ sin2n x =  e ix − e −ix 2i 2n = (−) n 2 2n X 2n k=0  2n k  ￾ e ix
2n−k￾ − e −ix
k = (−) n 2 2n X 2n k=0 (−) k  2n k  e i(2n−2k)x = (−) n 2 2n (nX−1 k=0 (−) k  2n k  e i(2n−2k)x + (−) n  2n n  + X 2n k=n+1 (−) k  2n k  e i(2n−2k)x ) = (−) n 2 2n (nX−1 k=0 (−) k  2n k  h e i(2n−2k)x + e−i(2n−2k)x i + (−) n  2n n ) = (−) n 2 2n ( 2 nX−1 k=0 (−) k  2n k  cos(2n − 2k)x + (−) n  2n n ) ✸●✺⑧⑨⑩❶▼◆ I C 1 z 2n f(z)dz, ▼◆ÚÛ C ❞ÜÝ✺Þ f(z) = nX−1 k=0 (−) k  2n k  e i(2n−2k)z + (−) n 2  2n n  − Q2n−2(z), Q2n−2(z) ✹❀ßs 2n − 2 ➔✶❃➁✽✺à z = 0 ❷á▼✾✿ f(z)/z2n ✶❛âãä✺❘ z = 0 ❷ f(z) ✶ 2n − 1 âåä✺ nX−1 k=0 (−) k  2n k  + (−) n 2  2n n  − Q2n−2(0) = 0, nX−1 k=0 (−) k  2n k  i(2n − 2k) l − Q l 2n−2 (0) = 0, l = 1, 2, · · · , 2n − 2. ❜✹ Q2n−2(0) = nX−1 k=0 (−) k  2n k  + (−) n 2  2n n  = 0 ✸❷ sin2n   x=0 = 0 Q 0 2n−2 (0) = i nX−1 k=0 (−) k  2n k  (2m − 2k)