马威等：液压溢流阀的失稳分析和实验研究 ·139 所示，Lyapunov指数最后收敛到（入1，入2，入，）=（零， 绘制以q作为自由参数的单参数分岔图.其次溢流阀 负，负)形式，根据Lyapunov指数性质可知，此时系统 的预设压力也容易改变，量纲一的预压缩参数δ决定 处于稳定极限环状态 着阀的开启压力，因此通过同时改变q和8来得到双 当g=22时，Lyapunov指数的计算结果如图4(b) 参数分岔图，揭示溢流阀的震荡特性 所示，Lyapunov指数谱最后收敛到（入1，入2，入）=（负，2.1单参数分岔图 负，负)形式，此时系统收敛于稳定平衡点 为了绘制分岔图，以？作为自由参数，对于每一个 9值以一系列不同的初始条件运行仿真，记录瞬变消 2分岔图 失后的点.选择平面2=0作为三维相空间的二维 量纲一的流量q是最容易改变的参数，因此首先 Poincare截面.结果如图5所示. a 15 20 25 30) 5.0m (c) 1=7.29 2.8 4.5 2.6 =7.33 2.4 4.0 2.2 2475 35 4.80 4.854.90 4.95 5.00 7.20 7.25 7.30 7.35 7.40 图5分岔图，K=2.46,B=7.53,8=22.67.(a)总图，(b,c)局部放大图 Fig.5 Bifurcation diagram for =2.46.B=7.53 and =22.67:(a)complete diagram,(b,e)details with enlarged scale 考虑将g从0增大为25. 当11.94<q<12.55时，出现周期2碰撞解.典型 增大9，系统处于混沌状态，直到4.81<9<4.92 的轨迹如图6()所示. 时，出现周期2碰撞解。典型的轨迹如图6(a)所示. 当q=12.55时，擦边分岔出现，随后是一个稳定 当4.92<q<4.98时，出现周期4碰撞解.典型的 极限环，这意味着振动的振幅增大，直到离开碰撞点 轨迹如图6(b)所示. y,=0,此时阀芯的位移为零.在擦边点，只有零速碰 继续增大q,系统处于混沌状态，直到7.29<g< 撞出现，用于决定碰撞后速度的重置映射是恒等映射 7.33时，出现周期4碰撞解.典型的轨迹如图6(c) 本身，即碰撞前后速度都为零稳定极限环的典型轨 所示. 迹如图6(g)所示. 当7.33<g<8.65时，出现周期2碰撞解.典型的 当q=20时，出现了一个超临界Hopf分岔，然后 轨迹如图6(d)所示. 随着分岔参数的增大，振幅迅速减小.这种减小可以 当8.65<q<11.94时，出现碰撞极限环.典型的 用以下事实解释：对于这些g值，最大Lyapunov指数 轨迹如图6(e)所示. 入，为负但是相当接近于0，例如，如图4(b)所示，当马 威等: 液压溢流阀的失稳分析和实验研究 所示，Lyapunov 指数最后收敛到( λ1，λ2，λ3 ) = ( 零， 负，负) 形式，根据 Lyapunov 指数性质可知，此时系统 处于稳定极限环状态． 当 q = 22 时，Lyapunov 指数的计算结果如图 4( b) 所示，Lyapunov 指数谱最后收敛到( λ1，λ2，λ3 ) = ( 负， 负，负) 形式，此时系统收敛于稳定平衡点． 2 分岔图 量纲一的流量 q 是最容易改变的参数，因此首先 绘制以 q 作为自由参数的单参数分岔图． 其次溢流阀 的预设压力也容易改变，量纲一的预压缩参数 δ 决定 着阀的开启压力，因此通过同时改变 q 和 δ 来得到双 参数分岔图，揭示溢流阀的震荡特性． 2. 1 单参数分岔图 为了绘制分岔图，以 q 作为自由参数，对于每一个 q 值以一系列不同的初始条件运行仿真，记录瞬变消 失后的点． 选择平面 y2 = 0 作为三维相空间的二维 Poincare 截面． 结果如图 5 所示． 图 5 分岔图，κ = 2. 46，β = 7. 53，δ = 22. 67． ( a) 总图，( b，c) 局部放大图 Fig． 5 Bifurcation diagram for κ = 2. 46，β = 7. 53 and δ = 22. 67: ( a) complete diagram，( b，c) details with enlarged scale 考虑将 q 从 0 增大为 25． 增大 q，系统处于混沌状态，直到 4. 81 ＜ q ＜ 4. 92 时，出现周期 2 碰撞解． 典型的轨迹如图 6( a) 所示． 当 4. 92 ＜ q ＜ 4. 98 时，出现周期 4 碰撞解． 典型的 轨迹如图 6( b) 所示． 继续增大 q，系统处于混沌状态，直到 7. 29 ＜ q ＜ 7. 33 时，出现周期 4 碰撞解． 典型的轨迹如图 6 ( c) 所示． 当 7. 33 ＜ q ＜ 8. 65 时，出现周期 2 碰撞解． 典型的 轨迹如图 6( d) 所示． 当 8. 65 ＜ q ＜ 11. 94 时，出现碰撞极限环． 典型的 轨迹如图 6( e) 所示． 当 11. 94 ＜ q ＜ 12. 55 时，出现周期 2 碰撞解． 典型 的轨迹如图 6( f) 所示． 当 q = 12. 55 时，擦边分岔出现，随后是一个稳定 极限环，这意味着振动的振幅增大，直到离开碰撞点 y1 = 0，此时阀芯的位移为零． 在擦边点，只有零速碰 撞出现，用于决定碰撞后速度的重置映射是恒等映射 本身，即碰撞前后速度都为零． 稳定极限环的典型轨 迹如图 6( g) 所示． 当 q = 20 时，出现了一个超临界 Hopf 分岔，然后 随着分岔参数的增大，振幅迅速减小． 这种减小可以 用以下事实解释: 对于这些 q 值，最大 Lyapunov 指数 λ1为负但是相当接近于 0，例如，如图 4 ( b) 所示，当 · 931 ·