D(2)D(:)x:=x (-1-i+2i:1C08Y+sin2op:Bin2Y)+y:sinp:co:CoBY +z:Bino:sin Y(2i:1-CoBY)+aco8:(1-2i:1 Co8Y), D(:)D(:)y:=x:sin co:n+y:(-1-i+2i:CoBY+co:BinY) I +z:coso:gin Y(2i:1-CoBY)-aginoa(1-2i21CO8Y), D(:)D(2)z:=-sin YCosY(x2sin+y:co:)-za 8in*Y (2.4) 」1 若v(1)是相对速度向量，则不难验证 v)=D()x v()=D(y v2)-D(), X2 即对坐标变量x2、y:、z在S:上的一阶相似微分是相对速度V(12)在S:的三个投影，所以 相对速度是一阶相似徽分的特例。 三、包络面、接触线 现从另一角度讨论曲面族的包络，即将它看作某种极值问题。包络面是两构件相对运动 的产物，当一构件对另一构件相对运动，这构件的曲面称为母面，这样的母面与微分几何中 一般单参数曲面族比较有两个特点：(1)母面只有位置的改变没有形状的改变。(2)为了不 产生干涉，使运动成为实际可能，一构件在接触点附近总是在另一构件的单侧出现，即母面 在包络面单侧，称满足(1)、(2)的包络面为简单包络面。如不声明，本文包络面指简单包 络面。（非简单包络在二次包络中的二次作用面会遇到)。 设∑，是与S:固连的构件(I)的曲面。由于(1)在S,上曲面方程不含运动参数t, 即 D2:f=f(x2,y2,z2)=0 (3.1) 以下设「有连续偏导数，且它们不同时为零，即工2是光滑曲面，没有奇点。不妨设在 所考虑范围内f,2+0,当S2相对S,转动，22称为母面。以下f=0都表示母面方程，f将 不含参数，有时在上角注母面所在坐标系，如∑2方程也记作「()=0。 在S:上，∑：是运动曲面族{∑2}，{工，'}方程是 {∑2'}：A12)f=F(x1,y1,z1,t)=0 (3.2) 由于条件(1)，f不含t,即Df=0,由算符性质(13)知道f、F恒满足 (D(:)f=fx2D(2)x+fy:.D(2)y:+f:2D(2)z2 1D(1)F=0 (3.3) S:上t变动时，母面∑：'扫过的范围是S,的一个三维区域。这样S,在所考虑的那部 分空间将分为两部分，一部分2。上每点至少有一母面通过，另一部分Q,上每一点都没有一 个母面通过。2，和2，分界面称为母面族{二2}的包络面。记作∑，。 设M1是∑：上一定点，过M:作平行z:轴的直线L,∑2'与L交点P,则P,的z:坐 标只是t的函数，因为∑：是2。的边界，故t变动时z:将在∑：上M:点取得极值，由极值 的必要条件可得到通常微分几何的包络面满足的方程 5F(x1y1,21,t)=F=A12)f=0 2{F,(x1y2,)=DF=DA=0 (3.4) 其中DF=0叫包络条件，以下将函数对运动参数求微分或相似微分等于零的条件都称为包络 条件。由极值充分条件可得出母面只出现在包络面单侧的特点(2)的解析条件是： 106D二: ’ D二: ’ X , “ x “ ( 一 ` - : + 2 1 : 一咖 丫 + ia n Z 甲 : 越n Z 丫 ) + y : iB n 甲 : 哪甲: cos Z丫 月 、 几 ` 1 1 . “ ` 2 1 一 l ’ ~ ` . 洲 r 名 一 ` . ` , . J 丢 ~ ` . 丫 名 + z : 苗n 甲: ia n 丫( 2 1 : : 一 哪 丫) + a coa 甲: ( 1 一 2 1 : : 哪 Y ) D二: ’ D蕊: ’ y : = x : ` n 甲 : “ 甲: 成n ’ 丫 + y : ( 一 ` 一 `圣 ; + 2 ` : : “ , + eO8 ’ 甲 : ` n “ , , + z : 咖甲: 苗 n y ( 2 1 : : 一 c。 日 Y ) 一 a ia n 甲: ( 1 一 2 1 : 1 co s y ) , D蕊: ’ D蕊: ” : = 一 ia n y “ Y ` x : is n 甲: + y : O8C 甲 2 ’ 一 ` : ` n ’ Y ( 2 . 4 ) ! ! , !l 产 1 1 . . e J 若 v( ’ 名 ,是相对速度向量 , 则不难验证 v 二; ” = D ` “ ’ X : , v 二; ” = D ` “ ’ , 2 , v 二; ” = D ` ” , 即对坐标变里 x : 、 y : 、 z : 在 S : 上 的一阶相似 微分 是相对速 度 V ( ` 恶 )在 S : 的三个投影 , 所 以 相对速度是一阶相似微分的特例 。 三 、 包络面 、 接触线 现从 另一 角度讨 论曲面 族的包络 , 即将它 看作 某种极 值 问题 。 包 络面是 两构件相对 运动 的产物 , 当一 构件对 另一构件相对运 动 , 这构件的 曲面 称为母 面 , 这样的母 面与微 分 几何中 一般 单参数 曲面族 比较有两个特 点 : ( l) 母面 只有位置 的改 变没有形状的改变 。 ( 幻 为 了不 产生干 涉 , 使运 动成 为实际 可能 , 一构件在 接触 点 附近 总是在 另一构件的单侧 出现 , 即母面 在 包 络面 单侧 . 称 满足 ( 1 ) 、 ( 2) 的 包 络面为 简单 包络面 。 如不声 明 , 本 文 包络面 指 简单包 络 面 。 ( 非 简单包 络在 二次 包 络中的二次 作用面 会遇 到 ) 。 设 云 : 是 与 5 : 固 连的构件 ( I ) 的 曲面 。 由于 ( l) 在 S : 上曲面方程不 含运 动 参数 t, 即 名 : : f = f ( x : , y : , 2 2 ) = 0 ( 3 . 1 ) 以 下设 f 有连 续偏 导数 , 且它们不 同时为零 , 即 乙 : 是光 滑 曲面 , 没有奇点 。 不妨设 在 所考虑 范围内 f : : 钾 0, 当 S : 相对 S : 转动 , 习 2 称为母 面 。 以下 f = o 都表示母面 方程 , f 将 不含参数 , 有时在 上角注母 面所 在坐标系 , 如 乙 : 方程 也记作 f ( : ) = o 。 在 S : 上 , 习 : 是 运动 曲面 族 { 名 : ` } , { 万: ’ } 方程 是 { 公 : ’ } : A ( ` 名 ) f = F ( x : , y , , z , , t ) = o ( 3 . 2 ) 由于 条件 ( 1) , f 不含 t , 即 D f 二 O , 由算符 性质 ( 1 3 ) 知 道 f 、 F 恒 满 足 D ( 2 ) f = f : : · D ( 2 ) x : + f , 2 · D ( 2 ) y Z + f : : · D 川 z : D ( 且 ) F = 0 ( 3 . 3 ) S : 上 t 变 动时 , 母面 乙 : ` 扫过 的范围是 S : 的 一个三维 区 域 。 这样 S : 在所 考虑 的那部 分 空间将分为两 部 分 , 一部分 9 。 上每点至 少有一母 面通过 , 另一部分 9 , 上 每一点都没 有一 个母面通 过 。 Q 。 和 Q , 分界面 称 为母面 族 攫乙 : ’ } 的 包络面 。 记 作习 , 。 设 M : 是 名 : 上一 定点 , 过 M : 作平 行 z , 轴的直线 L , 名 : ’ 与 L 交点 P : , 则 P : 的 z : 坐 标只是 t 的 函数 , 因为 艺 : 是 Q : 的边 界 , 故 t 变 动 时 z ; 将 在 乙 : 上 M : 点 取得 极值 , 由极值 的必 要条件可得 到通 常 微分 几何的包 络面 满足 的方 程 E I : F ( x : , y ; , z : , t ) = F = A ( ` 2 ) f = o F : ( x , , y , , 2 1 , t ) = D F = D A ( , 幻 f = o ( 3 4 ) 其中D F = 0 叫包络 条 件 , 以 下 将 函数 对 运动 参数 求微 分 或相似 微分等于零的条件都 称为 包络 条 件 。 由极值充分 条件可 得 出母面 只 出现 在包 络面 单侧 的特点 ( 2) 的解 析 条件是: 1 0 6