空间啮合理论中的包络法

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1980.03.013 北京钢铁学院学报 1980年第3期 空间啮合理论中的包络法 数学教研室容尔谦 摘 要 空间啮合理论主要用以空间啮合定理·V=0为基础的运动学法，一般包络法 很少直接应用，中.】.JIHTBHH在著作“齿轮啮合原管”中，就认为包络法“十分 麻烦”，並认为运动学法“研究弧面蜗杆啮合时，这个方法是唯一的计算工具” 其实一般包络法的某些缺点（如不便在母面上讨论），在ToxMaH法的基础上，适 当作一些改进，是完全可以避免的，並且包络法有几何意义明显的优点，不少情况 下计算由于很少使用向量和直接用直角坐标而显得较简使。 本文试用包络法讨论蜗杆传动的空间啮合问题。对一搬包络法，授据矛盾的特 殊性，作了两点改进：(1)从机构运动的特点出发，限制母面只有位置改变汉有形 状改变，並且母面一般只出现在包络面单侧，对这种简单的包络，利用XI.「oxMa 法可将运动学法某些优点用在包络法中来。(2)针对包络法的买际，引入和使用若 干算符，包括新定义的称为相似做分的算符，利用算符及其性质使推导表达简明使 用方使。 一、坐标系 设两构件转动轴交错，构件I的曲面∑，与构件I的曲面二：分别以角速度01、①，绕两 相错轴转动。两轴最短矩离及方向为a,过ω：、02分别作垂直a的平面(r1)、(2)。两轴正 向夹角为Y(0≤Y<π)。和∑，（∑2）固连的坐标系为S1(Sz),S,(S2)绕z1(z2)轴转动。 坐标变换是〔6)： x1 =x2(-cosop 2 cosop:sino2 sin p1co8Y) +y2 sin o2 coso:coso2 sinp CosY)-z2 sin pi 8in Y a cos y =x 2 coso2 Bin o:sino2 cos CosY) (1.1) +y2(-sin p2 Binp:coB p2co8 p CosY)-z2 cosopi sin Y-a sin: Z:=(-x 2 sinp:-y 2 cos:)8in Y +z2 CosY x 2 =x1(-cosop coBo2 sino Bin 2 CosY) +y Bin coso2 cosopi sin2 CosY)-zI Bin p:BinY +acosp2 y2=x 1 coso sin 2 sin oi coBo:CosY) (1.2) +y(-sinpi sino2 coso1 cosop2 Cosy )-z:coB p 2 Bin Y asin2 Z2=(-x 1 sinoi -y cos sinY zi CosY dopi=ina(di p1、p:是坐标变换参数，d甲1 (=i21)i传动比，也用t表示运动参数，可指定t 103

北 京 钢 铁 学 院 学 报 1 9 8 0年第 s 期 空 间 啮 合 理 论 中 的 包 络 法 数学教研 室 容尔 谦 摘 要 空间 啮合 理 论 主要 用 以空 间啮合 定理 n . v 二 。 为墓 础 的运 动学法 , 一 般包络法 很 少直 接应 用 , 中 . 几 . 几 , BT 川; 在著作 “ 齿轮 啮合 原 管 ” 中 , 就认为包络法 “ 十分 麻 烦 ” , 业认 为运 动学法 “ 研 究弧 面蜗杆啮合 时 , 这 个方法 是唯 一 的计算工 具” 。 其实一 般 包 络法 的 某些 缺 点 ( 如 不便 在 母 面上 讨论 ) , 在 r o x M a H 法的基 础 上 , 适 当作一 些 改进 , 是 完全 可 以进免 的 , 业且 包络法有几 何 意义 明显 的优点 , 不 少情况 下计 算由 于很 少 使用 向量 和 直接用直 角坐 标 而 显得 较简便 。 本文试 用包 络法 讨论 蜗杆传动 的空 间啮合 问题 。 对一 般包络法 , 权 据矛 盾的特 殊 性 , 作 了两 点改进 : ( 1) 从机 构运 动的特点 出发 , 限制母面 只 有位里 改变没 有形 状 改变 , 业 且母 面 一 般 只 出现在包络 面单侧 , 对这 种 简单的包 络 , 利 用X . H . r o x M a H 法可将运 动学法 某 些优 点用在 包 络法 中来 。 ( 2) 针对包络法 的买 际 , 引入和 使用若 干算符 , 包括新 定义的 称 为相似微分 的算符 , 利 用算符及 其性质使推导表达简明使 用 方便 。 一 、 坐 标 系 .叫卜 ~ 争 设 两 构件转 动轴 交错 , 构件 l 的 曲面 E , 与 构件 I 的 曲面 名 : 分 别 以 角速 度。 : 、 。 : 绕两 相错 轴转动 。 两 轴最 短 矩离及方向为了 , 过藏 、 武分别 作垂 爵 的平面 ( 二 : ) 、 ( 二 : ) 。 两轴正 向夹 角为 Y ( o 三 Y < 二 ) 。 和 习 : ( 习 2 ) 固连的坐 标系为 S : ( S : ) , S : ( S : ) 绕 z : ( 2 2 )轴转动 。 坐标 变 换是 ( 6〕 : r x , = x : ( 一 co s 甲 2 e o s 甲 , 一 is n 甲 : is n 甲 , co s 丫 ) { + y Z ( 。 , n 甲 Z e o。 甲 ! 一 。 o 。 甲 Z o i n , ! cos : )一 : 。 i n ; ! 。 , n 丫 + · cos 甲 1 { y , = x Z ( e os 甲: 苗n 甲: 一 ia n 印: e o , 甲: e o s 丫 ) ! + y Z ( 一 。 , n 甲 Z o n 、 二 一 cos , : 。 甲 ! cos 丫 ) 一 : co 。 甲! ` n 丫 一 , n 甲 ! L z : = ( 一 x : s i n 甲: 一 y : cos 甲: )幼 n 丫 + z : e o s 丫 f x : = x : ( 一 e o s 甲 : co s 甲: 一 ia n 甲 : 苗 n 甲 : e o s 丫 ) 1 + y ` ( ` n 甲 , co s 甲 2 一 co s 甲 : 咖甲 : co s y ) 一 Z , s i n 甲 : is n y 十 a eOS 甲: 谧y : = x : ( co s 印 : ia n 甲 : 一 碗n 甲 : cos 甲 : e o s 丫 ) } + y , ( 一 ` n 甲 : 吕i n 甲: 一 c o s 甲 : “ 叨甲 : “ o8 y ) 一 z : “ . 甲: is n y 一 a iB n 甲 2 L 2 2 = ( 一 x : is n 甲 ; 一 y : co s 甲: ) ia n 丫 + z , co s 丫 ( 1 . 1) ( 1 . 2 ) 甲: 、 甲: 是 坐标 变换 参数 , 兜、 ; , : (黔 二 i : , ) i 传 动比 , 也用 u 甲 l u 甲 l 表 示运动 参数 , 可指 定 1 0 3 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1980. 03. 013

是p1或p2。 有时用一般的任两相对运动坐标系S,和S, x1=a1lx1+a12y+a13z1+d:（x1=a11x1+a21y1+a31z1+c1 yi=azixj+az2yj+a23z)+d2(y=a12xI+a22yi+as2z1+c2 (1.3) zI=a31x1+a32yj+a33z+d3(ZI=a13xi+a23yi+a33z1+Ca 二、算 符 定义和使用以下算符： 微分算行，D,=，D=即通借的微分算将，以下只对参数t用微分算行， 用到的函数都设二阶可微，注脚t一般省略。 转换坐标算符：设S1、S,是任两坐标系，坐标变换(1.3)简记作x1=x,(x1,y:,z1,t)3 y1=y(x1,y1,z1,t);z1=(x1,y1,z1,t),又设f是S!上的函数，定义转换坐标算符 A{11)为 A{1f(x1,y1,z1,t)=f(x1(x1,y1,z1,t),y(x1,y1,z1,t),z1(1,y,z1,t),t) 注脚t代表坐标变换参数，在不误解时省略。 按指定次序进行运算的两算符，称为两算符“相乘”，只有当它们进行运算是有意义时才 能相乘，算符相乘一般不满足交换律。 相似微分算符：对S:、S,两坐标系，定义以下两相似微分算符D(1),D(2),它们是： D(1)=A(12)DA(21) Dt2)=A(21)DA(12) 相似微分算符满足普通微分算符运算法则，例如D(2(f·g)=「D(2)g+gD(2)f。 以下列出算符有用的性质（证明从略），其中f、g、F代表S:或S,上可微函数，C、入、 常量。 (1)A11c=c。 (2)A)(入f+μg)=入A1J)f+μAI1g。 (3)A1(fg)=A11fAIg。 (4)A1)f(x,y1,z)=f(A1I)x,A1)y1,A11)z1。 (5)AIk)A(k1)f=A11f。 (6)A11)A(11)f=A1)f=f。 (7)f=0必要充分条件是A11)f=0。 (8)DA(11)f=A(1)Df+(A(11)fxjDA()x +A1)f1DA1)y,+A1)fz1D1)z1)。 比性质实际上是复合函数微分法。 (9)DA(21g=A(21)D1)g,A12Df=D1)A12f DA12)f=A12)D(2)f,A21)Dg=D2)A(21g 性质(8)可见D与A不满足交换律，(9)说明就S1、S2而言，例如DA(21,文交换次序，D变 成D1)。 但当算符D与A()是对不同参数的运算，这时是可以交换次序的，二次包络会遇到这 104

是 甲 ; 或 印 : 。 有时用 一般的任两相 对运 动坐 标系 S : 和 S , = a 一 : x 一+ a l : y , + a ; 5 2 一+ d : y : = a : l x r + a : : v , + a : 。 z 一 + d : z ` = a 3 l x : + a 。 : y ! + a s 5 2 , + d s ! x ’ { ` , = “ ! l x ` + “ 2 : y ! + a 3 ! z ! + c ! { y ’ “ “ ” x ’ + “ , ’ y ’ + “ , ’ z ’ + c ’ L z 一 = a 一 3 x 一 + a : 3 y : + a a a z : + c a ( 1 . 3 ) 二 、 算 符 定义 和 使用 以下算符 : 微分算符 : D : f = 理红 一 , D , f 二 票 即通 常 的微 分算符 , 以 下只 对参数 t 用 微分 算符 , U L 口 L 用 到的函数都设二阶可微 , 注脚 t 一 般 省略 。 转换坐标算符 : 设 S , 、 s , 是任两坐 标系 , 坐 标变换 ( 1 . 3 ) 简记作 x , = x , ( x , , y : . , z : , t ) ; y , = y , ( x ` , y : , z , , t ) ; z , = ( x , , y : , z : , t ) , 又设 f 是 S : 上的 函数 , 定义 转换坐标算符 A I ” ) 为 A {川 f ( x , , y , , 2 . , t ) = f ( x , ( x , , y , , z , , t ) , y , ( x , , y , , 2 . , t ) , z ! ( 、 l , y . , z : , t ) , t ) 注脚 t 代表坐 标变换参数 , 在不误 解时省略 。 按指定 次序 进 行运算的 两算符 , 称 为两 算符 “ 相乘 ” , 只有当它 们进行 运算是 有意义 l付才 能相 乘 , 算符相 乘 一般不 满 足交换律 。 相 似微 分算符 : 对 S : 、 S : 两坐标系 , 定义 以 下 两相 似微 分算符 D 《 ’ ) 、 D ( “ ) , 它 们是 : D ( ’ ) = A ( 工 2 ) D A ( 2 二 ) D ( 2 ) = A ( “ ` ) D A ( 工 恶 ) 相 似微 分 算符 满足普通 微分 算符运 算法 则 , 例如 D ( ’ ) ( f · g ) = f · D ( “ ) g + g · D ( : ) f 。 以 下列 出算符 有用 的性质 ( 证 明从 略 ) , 其 中 f 、 g 、 F 代 表 S : 或 S , 上可微 函数 , C 、 入 、 卜 常量 。 ( 1 ) A ( . , ) e = e 。 ( 2 ) A ( 川 ( 入f + 林g ) = 入 A ( ’ I ) f + 林 A ( 川 g 。 ( 3 ) A ( 曰 ) ( f g ) = A (川 f A ( ” ) g 。 ( 4 ) A 川 ) f ( x , , y j , z 一 ) = f ( A ( 川 x J , A ( 川 y j , A ( 川 z j 、 。 ( 5 ) A ( I “ ) A ( “ , ) f = A ( , j ) f 。 ( 6 ) A ( 五 , ) A ( 川 f = A ( I ` ) f = f 。 ( 7 ) f “ 0 必要充 分条件 是 A ( ” ) f 二 o 。 ( s ) D A ( 川 f = A ( 川 D f + ( A ( 川 f , i · D A ( ” ) x , + A ( 川 f ; 一 D A ( 川 y j + A ( 川 f z , · D ( 川 z 一 ) 。 比性质实际上 是复 合 函数微分法 。 ( 9 ) D A ( 2 ` ) g = A ( 2 ’ ) D ( ` ) g , A ( ’ “ ) D f = D ( ’ ) A “ 2 ) f D A ( ’ 2 ) f = A ( ’ “ ) D ( 2 ) f , A ( 么 ` ) D g = D ( 2 ) A ( “ ’ 、 g 性质 ( 8) 可 见 D 与 A 不 满 足交换 律 , ( 9) 说 明就 S ; 、 S : 而言 , 例如 D A ( “ ` ) 交 换次 序 , D 变 成 D ( ’ ) 。 但 当算符 D 与 A ( ` ’ )是 对不 同 参数的运 算 , 这时是可 以交 换次序的 , 二次 包 络会 遇到 这 1 0 4

种情况，即Ag)Df=DpAg11)f。 (10)设S2上：f=f(x2,y2,z2,t,S:上：F=F(x1,y1,z1,t) 则 D(2f=fx2D(2)x:+fvD(2y2+f:2D(2)z:+Df, D(i)F=Fx:D()x:+FyD(i)y:+F:D()z+DF (11)若F=A12)f则 Df+fx:D(2)x,+fy:.D(2)y,+f.D(:)zz =A21)(D)F-(Fx1D)x1+Fy1D1)y:+Fz1D1)z1)。 (12) D1)x1=-A12)(a1:D2)x2+a1zD21y2+a1D2)z2), 'D1)y1=-A12(a2D2)x2+a22D2)y2+a2,D2)z2, D1)z1=-A12)(a1D2)x2+ag2D2)y2+a3D2)z2)。 D2)x2=-A(21(a1D1)x1+a2iD1)y1+agD1)z1), D2)y2=-A21(a1aD1)x1+a2D1)y1+a32D1)z1), D(2)z2=-A(21(a13D1)x1+a2aD1)y1+a3aD1)z1)。 其中a,是(1.3)的系数。 (13)设「不含参数t,並且F=A12)f,则 D(2)f=fx2D()x:+fy2D()y:+f:2D()z: D1)F=0 反之，这两等式之一成立，则f不含参数t。 (14)设f与不含参数t,並且F=A(1)f,则 DF=-(FxD()x1+Fy:D()y+F:D(Dz) 应用包络法常遇到D1)x1、D1)y1、D)z1,D)x2、D)y:、D)z2,以及 D1)D1)x1、D)D1)y1、D1D1)z1,D2D(2)x2、D)D()y2、D2)D2)z:, 这些量完全由坐标变换决定，和讨论的曲面无关，因此可对坐标变换(1.1)(1.2)将它们华 出算出，不必每个问题去算，这样用起来就方便了。 D()x=y (i-cosY)-zicos:siny-asin coBY 平2 D'y,=-x(i1a-co8y）+2i8in:sinY-a0o8p,co8Y (2.1) D(1)z1=sin Y(x i coso:-yi sini -a) 92 D(2)x 2=y2(i21-cosY)-z:cosp:sin Y-asino2 CoSY D(2)y2=-x(i:-coBY)+z:sin p:sinY acosoa Co8Y (2.2) D(2)z2=sinY(x 2 coB2-y 2 Bin2-a) D(1 )D()x=x (-1-i2+2icoY+sin2iBinY)+yi sinicos:BinY P 2 +zi sin p sin Y(2i1 2-cosY)acos(1-2i1 :COBY), )()D(y xisini cosoisin2Y+y(-1-i+2i12 co8Y+cos2pisin2Y) 2 zi cospi sin Y(2i :2 cosY)asin (1-2i1 2C08Y), D()D():=-sinY CosY(x sin+yi cos:)-zisinYo (2.3) 2 105

种情况 , ( 10 ) 则 即 A 么” ’ D , f = D , A 二” ’ f 。 设 S : 上 : D ( 2 ) f D ( ` ) F f = = f x : f ( x : , y : , z : , t ) , S : 上 : F = F ( x : , y : , z , , t ) · D ( 2 ) 、 2 + f · y : · D ( : ) y : + f : : · D ( 2 ) z : + D f , = F : l · D ( ’ ) x x + F , : · D ( ’ ) y ; + F : 一 D 川 z 一 + D F 。 ( 1 1 ) 若 F = A ( ’ : ) f 则 ( 1 2 ) D f + f 、 2 · D ( ’ ) x Z + f y : · D ( 2 ) y : + f · D ( 2 ) z : = A ( “ ’ ) 〔o 川 F 一 ( F : : · D 川 x , + F , : · D 川 y : + F : : · D川 z , )〕 。 D ( ` ) x : = 一 A ( ’ ` ) ( a 一 : D ( 么 ) x : + a : : D ( “ ) y : + a x s D ( 2 ) z : ) , ’ n ( ` ) y ; = 一 A ( ` ’ ) ( a : 一 D ( ` ) x : + a : : D 川 y : + a : 3 D ( 盆 ) z : ) , D川 z , = 一 A ( ’ “ ) ( a 。 : o ( “ ) x : + a 3 Z D ( ’ ) y : + a : 。 D ( 名 ) ` : ) 。 f o ( ’ ) x Z = 一 A ( ’ ` ) ( a , , D ( ’ ) x : + a : : D ( ` ) y : + a : : D 川 z : ) , < D ` “ ’ y : = 一 A ` “ ’ ) ( a , : D 川 x , + a : : D ( ` ) y ; + a 。 : D ( ’ ) z : ) , ( D ` “ ) z : = 一 A ( “ ) ( a : 。 D ( ’ ) x : + a : 3 D ( ` ) y : + a 。 3 D ( ’ ) z : ) 。 其中 a : , 是 ( 1 . 3 ) 的系数 。 ( 13 ) 设 f 不 含参数 t , 业 且 F = A 《 ’ “ f) , 则 D ( ’ ) f = f : : · D ( 2 ) x : + f , : · D ( 2 ) y Z + f : 2 · D ( 名 ) z : 。 D ( ` ) F = 0 反之 , 这两 等式之 一成立 , 则 f 不 含参数 t 。 ( 1 4) 设 f 与不 含参数 t , 业且 F = A ( ’ “ f) , 则 D F = 一 ( F : l · D ( ’ ) x ; + F , l · D 川 y l + F z 一 D ( ’ ) z : ) 应 用 包 络法常 遇 ylJ D ( ` ) x , 、 D ( ’ ) y , 、 D ( ’ ) z , , D ( “ ) x : 、 D ` : ) y : 、 D ( 名 , z : , 以 及 l〕 ( ` ) D ( ` ) x , 、 D ( ` ) D ( ’ ) y ; 、 D ( ’ ) D ( ’ ) z , , D ( “ ) D ( 2 ) x : 、 D ( 2 ) D ( . ) y : 、 D ( 2 ) D ( : ) 2 1 , 这 些量 完全 由坐标变 换决定 , 和讨 论的 曲面 无关 , 因此 可 对坐标变换 ( 1 . 1 ) 、 ( 1 . 2) 将它们事 出算出 , 不 必每个问 题去算 , 这样用 起 来就 方便 了 。 : D李; ’ x , = D耗 ’ y l = 叱 ’ z , = y , ( i ; : 一 e o 吕 Y ) 一 2 1 e os 甲一 is n 丫 一 a 颐n 甲 a cos y 一 x z ( i : : 一 e o s 丫 ) + z , s i n 甲 : s i n 丫 一 a 咖甲 一 co s y is n y ( x , e o s pr : 一 y 1 s i n pr : 一 a ) ( 2 . 1) D 《 “ ) x : 二 { 。 下; 、 _ 长 口二 . 一 乙 : 二 岁 l - y : ( i : , 一 co s y ) 一 z : e o s 印: s i n y 一 a 苗n 甲 2 c o s y 一 x : ( i : , 一 co s 丫 ) + z : 公 n 甲 : ia n 丫 一 a cos 甲 : cos 丫 瓦n y ( x : e os 甲: 一 y : s i n 甲: 一 a ) ( 2 . 2 ) 〔 D 川 D 端 ` 川 x , } 甲 2 甲 盆 = x , ( 一 1 一 2 + 2 1 : : e os 丫 + s i n Z甲 , 颐n Z丫 ) + y : ia n 甲: 哪甲: 画n 名 丫 `’李; ’ D尝; ’ y l D ( , ) D 川 z : 甲 , 甲 , + z : ia n 甲 : is n y ( 2 1 , : 一 e o s y ) + a e os 甲 , ( l 一 2 1 : : c O . Y ) , = x , ia n 印 : co s 甲 ; , i n Z丫 + y , ( 一 1 一 i圣 : + 2 1 : : e os 丫 + 。 s “ 甲 : ia n “ 丫 ) + z 、 co s 甲 、 颐n y ( 2 1 , : 一 c o s 丫 ) 一 a 吕i n 甲 , ( 1 一 2 1 、 : e 。 吕 Y ) , = 一 is n Y co s 丫 ( x , 苗n 甲 , + y , e o s pr , ) 一 z , s i n Z Y 。 ( 2 . 3 ) ! . l l .、.esl 10 5

D(2)D(:)x:=x (-1-i+2i:1C08Y+sin2op:Bin2Y)+y:sinp:co:CoBY +z:Bino:sin Y(2i:1-CoBY)+aco8:(1-2i:1 Co8Y), D(:)D(:)y:=x:sin co:n+y:(-1-i+2i:CoBY+co:BinY) I +z:coso:gin Y(2i:1-CoBY)-aginoa(1-2i21CO8Y), D(:)D(2)z:=-sin YCosY(x2sin+y:co:)-za 8in*Y (2.4) 」1 若v(1)是相对速度向量，则不难验证 v)=D()x v()=D(y v2)-D(), X2 即对坐标变量x2、y:、z在S:上的一阶相似微分是相对速度V(12)在S:的三个投影，所以 相对速度是一阶相似徽分的特例。 三、包络面、接触线 现从另一角度讨论曲面族的包络，即将它看作某种极值问题。包络面是两构件相对运动 的产物，当一构件对另一构件相对运动，这构件的曲面称为母面，这样的母面与微分几何中 一般单参数曲面族比较有两个特点：(1)母面只有位置的改变没有形状的改变。(2)为了不 产生干涉，使运动成为实际可能，一构件在接触点附近总是在另一构件的单侧出现，即母面 在包络面单侧，称满足(1)、(2)的包络面为简单包络面。如不声明，本文包络面指简单包 络面。（非简单包络在二次包络中的二次作用面会遇到)。 设∑，是与S:固连的构件(I)的曲面。由于(1)在S,上曲面方程不含运动参数t, 即 D2:f=f(x2,y2,z2)=0 (3.1) 以下设「有连续偏导数，且它们不同时为零，即工2是光滑曲面，没有奇点。不妨设在 所考虑范围内f,2+0,当S2相对S,转动，22称为母面。以下f=0都表示母面方程，f将 不含参数，有时在上角注母面所在坐标系，如∑2方程也记作「()=0。 在S:上，∑：是运动曲面族{∑2}，{工，'}方程是 {∑2'}：A12)f=F(x1,y1,z1,t)=0 (3.2) 由于条件(1)，f不含t,即Df=0,由算符性质(13)知道f、F恒满足 (D(:)f=fx2D(2)x+fy:.D(2)y:+f:2D(2)z2 1D(1)F=0 (3.3) S:上t变动时，母面∑：'扫过的范围是S,的一个三维区域。这样S,在所考虑的那部 分空间将分为两部分，一部分2。上每点至少有一母面通过，另一部分Q,上每一点都没有一 个母面通过。2，和2，分界面称为母面族{二2}的包络面。记作∑，。 设M1是∑：上一定点，过M:作平行z:轴的直线L,∑2'与L交点P,则P,的z:坐 标只是t的函数，因为∑：是2。的边界，故t变动时z:将在∑：上M:点取得极值，由极值 的必要条件可得到通常微分几何的包络面满足的方程 5F(x1y1,21,t)=F=A12)f=0 2{F,(x1y2,)=DF=DA=0 (3.4) 其中DF=0叫包络条件，以下将函数对运动参数求微分或相似微分等于零的条件都称为包络 条件。由极值充分条件可得出母面只出现在包络面单侧的特点(2)的解析条件是： 106

D二: ’ D二: ’ X , “ x “ ( 一 ` - : + 2 1 : 一咖 丫 + ia n Z 甲 : 越n Z 丫 ) + y : iB n 甲 : 哪甲: cos Z丫 月 、 几 ` 1 1 . “ ` 2 1 一 l ’ ~ ` . 洲 r 名 一 ` . ` , . J 丢 ~ ` . 丫 名 + z : 苗n 甲: ia n 丫( 2 1 : : 一 哪 丫) + a coa 甲: ( 1 一 2 1 : : 哪 Y ) D二: ’ D蕊: ’ y : = x : ` n 甲 : “ 甲: 成n ’ 丫 + y : ( 一 ` 一 `圣 ; + 2 ` : : “ , + eO8 ’ 甲 : ` n “ , , + z : 咖甲: 苗 n y ( 2 1 : : 一 c。 日 Y ) 一 a ia n 甲: ( 1 一 2 1 : 1 co s y ) , D蕊: ’ D蕊: ” : = 一 ia n y “ Y ` x : is n 甲: + y : O8C 甲 2 ’ 一 ` : ` n ’ Y ( 2 . 4 ) ! ! , !l 产 1 1 . . e J 若 v( ’ 名 ,是相对速度向量 , 则不难验证 v 二; ” = D ` “ ’ X : , v 二; ” = D ` “ ’ , 2 , v 二; ” = D ` ” , 即对坐标变里 x : 、 y : 、 z : 在 S : 上 的一阶相似 微分 是相对速 度 V ( ` 恶 )在 S : 的三个投影 , 所 以 相对速度是一阶相似微分的特例 。 三 、 包络面 、 接触线 现从 另一 角度讨 论曲面 族的包络 , 即将它 看作 某种极 值 问题 。 包 络面是 两构件相对 运动 的产物 , 当一 构件对 另一构件相对运 动 , 这构件的 曲面 称为母 面 , 这样的母 面与微 分 几何中 一般 单参数 曲面族 比较有两个特 点 : ( l) 母面 只有位置 的改 变没有形状的改变 。 ( 幻 为 了不 产生干 涉 , 使运 动成 为实际 可能 , 一构件在 接触 点 附近 总是在 另一构件的单侧 出现 , 即母面 在 包 络面 单侧 . 称 满足 ( 1 ) 、 ( 2) 的 包 络面为 简单 包络面 。 如不声 明 , 本 文 包络面 指 简单包 络 面 。 ( 非 简单包 络在 二次 包 络中的二次 作用面 会遇 到 ) 。 设 云 : 是 与 5 : 固 连的构件 ( I ) 的 曲面 。 由于 ( l) 在 S : 上曲面方程不 含运 动 参数 t, 即 名 : : f = f ( x : , y : , 2 2 ) = 0 ( 3 . 1 ) 以 下设 f 有连 续偏 导数 , 且它们不 同时为零 , 即 乙 : 是光 滑 曲面 , 没有奇点 。 不妨设 在 所考虑 范围内 f : : 钾 0, 当 S : 相对 S : 转动 , 习 2 称为母 面 。 以下 f = o 都表示母面 方程 , f 将 不含参数 , 有时在 上角注母 面所 在坐标系 , 如 乙 : 方程 也记作 f ( : ) = o 。 在 S : 上 , 习 : 是 运动 曲面 族 { 名 : ` } , { 万: ’ } 方程 是 { 公 : ’ } : A ( ` 名 ) f = F ( x : , y , , z , , t ) = o ( 3 . 2 ) 由于 条件 ( 1) , f 不含 t , 即 D f 二 O , 由算符 性质 ( 1 3 ) 知 道 f 、 F 恒 满 足 D ( 2 ) f = f : : · D ( 2 ) x : + f , 2 · D ( 2 ) y Z + f : : · D 川 z : D ( 且 ) F = 0 ( 3 . 3 ) S : 上 t 变 动时 , 母面 乙 : ` 扫过 的范围是 S : 的 一个三维 区 域 。 这样 S : 在所 考虑 的那部 分 空间将分为两 部 分 , 一部分 9 。 上每点至 少有一母 面通过 , 另一部分 9 , 上 每一点都没 有一 个母面通 过 。 Q 。 和 Q , 分界面 称 为母面 族 攫乙 : ’ } 的 包络面 。 记 作习 , 。 设 M : 是 名 : 上一 定点 , 过 M : 作平 行 z , 轴的直线 L , 名 : ’ 与 L 交点 P : , 则 P : 的 z : 坐 标只是 t 的 函数 , 因为 艺 : 是 Q : 的边 界 , 故 t 变 动 时 z ; 将 在 乙 : 上 M : 点 取得 极值 , 由极值 的必 要条件可得 到通 常 微分 几何的包 络面 满足 的方 程 E I : F ( x : , y ; , z : , t ) = F = A ( ` 2 ) f = o F : ( x , , y , , 2 1 , t ) = D F = D A ( , 幻 f = o ( 3 4 ) 其中D F = 0 叫包络 条 件 , 以 下 将 函数 对 运动 参数 求微 分 或相似 微分等于零的条件都 称为 包络 条 件 。 由极值充分 条件可 得 出母面 只 出现 在包 络面 单侧 的特点 ( 2) 的解 析 条件是: 1 0 6

F,=05F,+0 (3.5) 假设(3.5)在考虑范围内成立。 从(3.4)消去t就得到∑：的直角坐标方程，因F:卡0，由F,（x1,y1,z1,t)=0可 确定t=t(x1,y1,z1)即 0r22》》w0-0 (3.6) 1在咳合点的法向量是{)，「)，}则有 J 1 f)=Fxf()=Fvf()=Fm (3.7) XI 21 即啮合点处母面和包络面有重合的法向量。 (3.4)中t=to得到接触线C。:°与2，沿C,。相切。当t变动时C,分别在S1、 S2两坐标系形成两接触线族，在S:上，全部接触线组成整个包络面∑：，S:上C,。的方程 是 {A12)f=F=0t=t。 CDA(12)=DF=0 (3.8) 在S2上，由算符性质(9)交换算符次序 DA12)f=A(12)D(2)f=0 再由算符性质(7)、(13)得到在S2上包络条件是： D()f=fx2D(2)x2+fy2D(2)y2+fz2D(2)z2=0 (3.9) S:上C,。的方程是 c,0《径幸行) (母面方程) (3.10) 和(3.8)比较，C:。在S,和S,上方程形式相似只是包络条件在S:上改为相似微分D(2)。 S2上当t变动，一般说{C,}只复盖∑2的一部分区域、∑2由接触线组成的区城称为 工作区，记作工2”。工：不含接触线的区域称为非工作区，记作工2'。Σ2和∑，t分界线记 作「，显然：=三：“+「2+∑2‘。 t变动时，(3.10)给出S2“的表达式。 应用上有时只要母面上的接触线，现在不必象一般包络法那样，先将母面方程转到S:, 求出F,而直接用(3.10)，其中D(2)f=fx2D2)x2+f2D(2)y:+fz2D(2)2:中的 D()xz、D(2)y2、D2)z2在(2.2)已给出，不必再算。包络条件(3.9)实际上就是ΓOXM8H 法得出的啮合条件。 四、接触线在包络面上的包络线，一类界点 (1)曲面上曲线族的包络线设任一坐标系0-xy2上给定无奇点的光滑曲面艺， Σ：Φ(x,y,z)=0 其中中x、Φ，、中：连续並且不同时为零，不妨设考虑范围内Φ，牛0。Σ上有单参数曲线族 {L:}方程是 L:{(x,y,z)=0 (4.1) 1G(x,y,z,t)=0 107

F : = o , F t : 斗 0 ( 3 . 5 ) 假设 ( 3 . 5) 在考虑范围内成 立 。 从 ( 3 . 4 ) 消去 t 就 得 到 习 : 的直 角 坐标方 程 , 因 F : 。 斗 。 , 由 F : ( x : , y : , z : , t ) = 0 可 确定 t = t ( x , , y : , z , ) 即 乙 :l F ( x : , y l , z , , t ( x , , y , , z ; ) ) 二 f ( ’ ) ( x : , y : , z : ) 二 0 其 中 F : ( x ; , y , , z : , t ( x : , y , , z , ) ) , 0 ( 3 . 6 ) 乙 在 啮 合点的 法 向量是 f{ 立: ’ , `段 ’ , 伙 ’ } 则 有 叱 ’ = F ` : , f 即啮 合点 处母面和 包 络面有重 合的法向量 兮 ( 3 . 4 ) 中 t = t 。 得到接触线 C , 。 。 习 : 二{ ’ = F 丫 、 , `二: ’ = F ( 3 . 7 ) 与 习 ` 沿 C , 。 相切 。 当 t 变动 时 C , 分别 在 S : 、 S : 两坐 标系形成 两接触线族 , 在 S , 上 , 全 部接触线 组成 整个包络 面 名 : , S : 上 C . 。 的 方程 是 C : 。 A ( J Z ) f 二 F 二 o t = t 。 D A ( ’ 2 ) f = D F = 0 ( 3 . 8 ) 在 S : 上 , 再由算符 性质 由算符性质 (9 ) 交 换 算符次序 D A ( ` 艺 ) f 二 A ( ` “ ) D ( “ ) f = 0 (7 ) 、 ( 1 3 ) 得到在 S : 上 包络 条件是 : D ( “ ) f = f 笼 : 一 D ( 2 ) x Z + f y : · D ( 2 ) y Z + f z : · D ( : ) z : 二 o 的方程是 ( 3 9 ) S : 上C f 二 0 D ( 2 ) f = 0 ( 母面方 程 ) ( 包络 条 件 ) ( 3 . 1 0 ) 哎了. 、 0 C 和 (3 . 8) 比较 , C . 。 在 S : 和 S : 上方 程形 式 相似只 是包 络条件在 S : 上改 为相似微 分 D 《 ’ )o 5 2 上 当 t 变 动 , 一般 说 王C : } 只复 盖 习 : 的一 部分 区域 、 习 : 由接 触线 组成 的区域 称 为 工作区 , 记作 兄 : “ 。 习 : 不含接 触线 的区域 称为非 工作区 , 记 作 名 : r 。 艺 : “ 和 芝: r 分 界线记 作 r : , 显然 习: = 艺: “ + r : + 艺: ` 。 t 变动时 , (3 . 10 ) 给 出 艺 2 琴 的表 达式 。 应 用上 有时只 要母面 上的 接触 线 , 现在不 必象一 般 包络 法那样 , 先将母 面方 程转到 S : , 山求出 F , 而直 接用 ( 3 . 1 0 ) , 其 中 D ( “ ) f = f 二 : · D ( z ) x : + f , : · D ( 2 ) y : + f z : · D ( , ) : : 中的 D ( ’ ) x : 、 D ( ’ ) y : 、 D ( ’ ) 2 2在 ( 2 . 2 ) 已 给 出 , 不必再算 。 包 络条 件 ( 5 . 9 ) 实际上 就是 F o x , a H 法得出的啮合 条件 。 四 、 接 触线在包络 面 上 的包络线 , 一 类界 点 ( 1) 曲面上曲线族 的包络线 设任一坐 标 系 O 一 x y z 上给定无奇点的光滑曲面称 艺 : 中 ( x , y , z ) 二 0 其 中 中 : 、 小 , 、 巾 : 连续 业且不 同时 为零 , 不妨设考虑 范围 内中 : 今 。 。 艺 上 有单参数曲线 族 I L , } 方程 是 中 ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z , t ) = 0 ( 4 . 1 ) 了J ` 、几 、十 矛 L 嘴` ` 1 0 7

类似3，可以得出{L,}的包络线「上的点满足必要条件G,=0,充分条件是：G,=0, G,+0,即T的方程是 Φ(x,y,z)=0 (曲线族) T:G(x,y,z,t)=0 (4.2) G(x,y,z,t)=0(包络条件) 在L,和「公共点处它们有公切线。 (2)接触线在包络面上的包络线 在S:上，三：消去t的方程是 f1)(x1,y1,z1）=0 即C,是 4ca8 由(4.2)可得{C,}在Σ上的包络线Γ：（即脊线）方程是 A(12)[=F(x1,y1,z1,t)=0 下，：DAf=F,(x1y,2,)=0曲线族) (4.3) (D2A12)f=F:,（x1,y1,z1,t)=0(包络条件) t变动时，下1上点P在每一瞬时重合于母面Σ，'上某一点P',转到S2上，P的轨迹在 母面形成曲线「1，广：是「：在啮合运动中对应在母面上的曲线，称为「！的共轭曲线。共轭 曲线的实际计算是有意义的，例如母面Σ：在啮合过程中，实际工作区是由母面上的工作区 与非工作区的分界线「：，和接触线在三：的包络线「，在母面上的共轭曲线Γ：所围成的。 由算符性质可得到Γ，的方程是 ,f=0 D()f=0 D2)D2)f=fxx2(D2)x2)2+fy2y2(D(2y2)2 f +fz222(D(z2)2+2f✉2Y2D(2)xzD2)y: (4.4) +2fy222D(2)y:D(2z2+2fz2*2D(2)z2D)x2 +fxD()D(2)x2+fy:D()D()y: +fz2D2)D(2)22=0 特别指出应用上很重要的情形，即母面是平面的特例（如SG-71型蜗轮付的蜗杆，渐开线蜗 杆等母面都是平面)，在此得出两点 (I)母面平面时，f是x,、y、22的一次式，故二阶偏导数都是零。设a(12)表示相 对加速度，n表示法向量，(4.4)第三式可写成 D()D(2f=a.a1)=0 因此得到：下：上的点不但相对速度落在切平面上，而且相对加速度也落在切平面上。 (I)母面是平面时，∑1是可展曲面，Σ2是Σ：的切平面也是「1的密切平面，特别提 出的是在Γ：附近，母面Σ：除和Σ！相切外，还和∑：相交。这现象，当用母面（砂轮平面） 加工蜗杆时将导至蜗杆根切，由台劳展开可以得出「：在Σ2上投影曲线L:及Σ：和Σ：的交 线L,可进一步讨论蜗杆曲面Σ，的根切〔5)，还得到Γ：在任一点P处，L:与L2的曲率之 比是与P点位置无关的常数4/3。 (3)一类界点 包络面三！的方程 108

类似 3 . 可 以得 出 { L . 卜的 包络线 r 上的 点满足必 要条件 G . = o , 充 分 条件是 : G : 二 。 , G : t 今。 , 即 r 的 方程是 中 ( x , y , z ) “ 0 x , y , z , t ) 二 0 X , y , z , t ) = 0 } `曲线 族 ’ ( 4 . 2 ) ( 包 络条件 ) G 产./,/ ` 1 、1 P 在 L : 即 C 和 r 公共点处它们有公切 线 。 ( 2 ) 接触线 在 包络 面 上的包 络线 在 S : 上 , 万 ; 消去 t 的方程 是 f ( , ) ( x 一 , y l , z 一 ) = 0 是 `C ! ’ : { f ( ` ) ( x ; , y : , z : ) = 0 F t ( x 一 , y : , z ; , t ) = 0 由 ( 4 . 2 ) 可得 { C . } 在艺 : 上 的包 络线 F : ( 即脊线 ) 方程 是 ` A ( ’ : ) f = F ( x 一 , y 一 , z : , t ) = 0 r ; * D A ( ` 2 ) f = F : ( x : ` 犷: , z : , t ) = o } ` 曲线 族’ ( 4 . 3 ) 、 D ’ A ( ` “ ) f = F : : ( x ; , y : , z : , t ) 二 o ( 包络条件 ) t 变动 时 , r : 上点 P 在 每一瞬 时重 合于母面 艺 : ’ 上某一 点 P 产 , 转 到 S : 上 , P 尹 的 轨 迹在 母面形 成曲线 r : , r : 是 r : 在啮 合运 动中对应 在母面 上的 曲线 , 称 为r : 的共辘曲线 。 共辆 曲线 的实际 计算是有 意义的 , 例 如母面 艺 2 在 啮 合过 程 中 , 实际工作区是 由母面 上的 工 作区 与非工 作区的分 界线 r : , 和 接触线在 E : 的包络线 F : , 在 母面 上的共拢 曲线 r : 所 围 成 的 。 由算符性质可得到r : 的方程是 式 , f = O ! D ( 名 ) f = 0 ) D `产 ’ D ` ” ` ” {一 ’ ` P ` ” ` · ” + ` y Z 一 ’ ` D ` ” y Z ’ ` 、 l + i二 2 一 ’ `梦 ` “ , z : ” + “ `一 ’ D ` ” x Z D ` “ , y : ! + 于 , y : : 2 ` 少 ` ” ’ : D ` ” 2 2 + 2`一 D ` ” ` Z D ` ” x · ( + ’ · : ’ D , ` ’ D ` 2 ’ x : ` f , 2 · D ` 2 ’ D ` ” ; : + f , , 一 D ( 忽 ) D ( 2 ) 2 . = n 特别指 出应用 上很 重要的情形 , 即母 面是平面 的特例 杆等母面 都是平面 ) , 在此 得出两点 ( I ) 母面 平面 时 , f 是 x : 、 y : 、 z : 的一 次式 , 对加 速度 , 寻表示 法 向量 , (4 . 4) 第三 式可写 成 (如 S G 一 71 型蜗 轮付的蜗杆 , 渐 开 线蜗 故二 阶偏 导数都是零 。 设 a 归 , , 表 示相 - 卜 一卜 D ( 艺 ) D ( 幻 f = n 一 a ( ’ : ) = 0 因此 得到 : r : 上 的点不但相对速 度落在切 平面 上 , 而且相对加速 度也落在切 平面 上 。 ( I ) 母面是平面时 , 艺: 是可展 曲面 , 艺: 是艺 : 的切 平 面 也是r : 的密切 平面 , 特别提 出的是在 r : 附 近 , 母面 艺: 除和 艺: 相切外 , 还和 艺 : 相 交 。 这 现象 , 当用 母面 ( 砂轮 平 面 ) 加工 蜗杆时将导 至 蜗杆根切 , 由台劳展开 可 以得 出 r : 在 艺: 上投影 曲线 I J : 及艺 : 和 艺 : 的交 线 L : , 可进 一步讨论蜗 杆曲面 艺: 的根 切 ( 5〕 , 还得 到 F : 在 任一 点 P 处 , L : 与 L : 的 曲 率之 比是与 P 点位置 无 关的 常数 4 3/ 。 ( 3) 一 类界点 包络 面万: 的方 程 1 0 8

,∫F(x1,y1,z1,t)=0 31F,(X1,y124t)=0 … ,*0时，可记作 x!=x1(z1,t) Σ1ty1=y(zt) 7:=21 记向径r={x1,y1,z1},则∑·r=r（z1,t),采用南开大学〔3)的定义，将∑1上满足条件 → rz1Xr=0 的奇点称为！上的一类界点。我们在〔5)中证明了三！上的点是一类界点的必要充分条件 是 F,=0 这条件就是C:在Σ：上包络线「，的点满足的包络条件，所以广：的点都是一类界点，也是 Σ：的奇点。一类界点的轨陈称为一界曲线。母面S:上和三！的一类界点（一界曲线）共轭 的点（曲线）称为Σ：的一类界点（一界曲线）。「：是Σ：上的一界曲线，下：是∑：上的一界 曲线，母面上的一类界点一般不是奇点。 五、接触线在母面上的包络线、二类界点 在S2上，C,是S2上的单参数曲线族，如果存在包络线下，则由(4.2)，「2满足方程 /f=0 a·D1:DX:+iDy:+aDa24=0}(接触线族) (5.1) DD(2)f=fx2DD2)x2+fy2DD2)y:+f,2DD(2)z2=0(包络条件) (5.1)中的DD2)x2、DD2)y2、DD2)z2由(2.2)对t微分得到。 若「：存在，三2将分为工作区S:”和非工作区S2「两部分，「：是它们的分界线。 t变动时，「2上点P每一瞬时重合于包络面三1上某点P',转到S:上，P在∑：形成 下，的共轭曲线下：。利用算符性质，厂，的方程是 F=0 DF=0 D(DDF=A()fxDD()x:+A(12)fy:DD()y: （5.2) +A(2)f22DD(2)z2=0 下，与「1都在3：上，如将下2的方程(5.2)与「，的方程(4.3)比较，前两方程相同， 第三方程分别是D(1)DF=0和DDF=0,由于D与A(12)不能交换次序，所以2和「：一 般不会重合。 一般说两构件在啮合运动中： 母面82上有两曲线「2和「！，「2是接触线在母面上的包络线，它是母面工作区和非工 作区的分界线，下：是接触线C,在包络面∑：上的包络线在母面上的共轭曲线。「，和广：围 成2的实际工作区。 包络面：上有两曲线「：和下，下，是接触线在包络面上的包络线。广，的点都是三，的 109

F ( x l , y , , z a , t ) = 0 F : ( x , , y ; . 2 2 , t ) = 0 ` . 、几 勺白 、声 , 「 ) 1 , , 当群黔 : 寺 0 时 , 可 记作 y Z l 1 = x l ( 2 1 , t ) 一 = y ; ( z ; , t ) 夕 1 . `1`.L 艺 记 向径 r = 笼x , , y , , z ; } , 则 艺: : r = r ( z ; , t ) , 采 用南开大 学 ( ’ 3〕的 定义 , 将 艺 : 上 满足条件 叫卜 - ) r : 一 x r , = 0 的奇点称 为 艺: 士 的一 类界点 。 我们在 〔5 〕 中证 明了 芝: 上 的点是一 类界点的 必要充分 条件 是 F : : = 0 这 条件就是 C t 在 艺 : 上 包 络线 r , 的 点满 足的 包 络条 件 , 所 以 r : 的点 都是一 类界点 , 也是 艺 : 的奇点 。 一 类 界点的轨肺 称 为一 界曲 线 。 母 面 万 2 上 和 万 : 的一 类 界点 ( 一 界曲线 ) 共辘 的点 ( 曲 线 ) 称为艺: 的一 类界点 ( 一 界曲线 ) 。 F , 是艺 : 上 的一界 曲线 , r : 是艺: 上的 一 界 曲 线 , 母 面 _ ! 几的 一 类界点 一般不 是奇点 。 在 S : 上 , C : f 二 0 五 、 接 触线在 母 面 上 的包络线 、 二 类界点 是 E : 上 的单 参数 曲线 族 , 如 果存在 包络 线 F : , 则 由( 4 . 2 ) , r : 满 足方程 r Z : I D ( ’ ) f = f · : · D ( ’ ) x : + f , 2 · D ( ’ ) y Z + f Z : · D ( 2 ) z : = 0 } `接 触 线族 ’ ( 5 . 1 ) ’ D D ( 2 ) f = f : : · D D ( 2 ) x : + f , 2 · D D ( 2 ) y Z + f Z : · D D ( “ ) z : = o ( 包络 条件 ) ( 5 . 1 ) 中frJ D D ( 2 ) x Z 、 D D ( 2 ) y Z 、 D D ( 2 ) 2 2 由 ( 2 . 2 ) 对 t 微分得 到 。 若 r : 存在 , 万 : 将 分 为工 作 区芝 : ” 和 非工 作 区 卫 Z r 两 部分 , r : 是它 们 的分 界线 。 t 变 动时 , r : 上点 P 每一瞬时 重合 于包络 面 艺 , 上某点 P 尹 , 转到 S : 上 , P 产 在 艺: 形 成 F : 的共辘 曲线 r : 。 利用 算符性质 , 厂 : 的 方程是 F = 0 D F = O D ( I ) D F = A ( , ` ) f : : ` D D ( 2 ) x : + A ( 1 2 ) f , : · D D ( ` ’ ) y : + A ( 1 2 ) f : 2 · D D ( 2 ) 2 2 = o ( 5 . 2 ) 一几 r : 与 r : 都在 艺 : 上 , 如 将F Z 的方 程 ( 5 . 2 ) 与 F , 的 方程 ( 4 . 3) 比较 , 前两方 程 相同 , 第三方程 分别 是 (D ` , D F = 0 和 D D F = 0 , 由于 D 与 A ` , , , 不 能交换 次 序 , 所 沂 2 和 r : 一 般不会重合 。 一般说 两 构件在 啮 合运 动 中 : 母面 习 : 上有两 曲线 F : 和 F , , r : 是 接 触线 在母面上 的包 络线 , 它是母 面工作 区和 非工 作 区 的 分 界线 , r , 是接 触线 C : 在 包 络而 艺 , 上 的包 络线在 母面 上的共辘 曲线 。 r : 和 r : 围 成艺 : 的实际 工作 区 。 包络 面 艺 : 上有两 曲线 F : 和 r : , r : 是接触 线在 包络 面 上的包 络线 。 r : 的点都 是 艺 , 的 1 0 9

奇点，下，则是接触线C,在母面，上包络线在2：上的共轭曲线，下，和下：围成∑，的实际 工作区。 「1和厂（「，和下2）每个t值都有一个公共点，在该点「和下2（下，和下2）是相交而不是 相切的，但对任一t值都有一条接触线C,既和「：相切又和「z相切。 母面上满足条件 D(2)f=0;DD2)f=0 (5.3) 的点，在应用上有重要意义，参照南开大学(3)的名称，称为母面上“二类界点”，二类界点 的轨陈称为二界曲线。包络面！上和母面二类界点（二界曲线）共轭的点（曲线）称为三：的二 类界点（二界曲线）。 二次包络蜗轮付的出现，重新引起对二次接触的注意，日本洒井高男、牧野在〔)中首 先深入研究了这方面问题。二类界点和二次接触有密切连系。 设母面Σ：上T2存在並且不退化成点，则Γ2分三2为∑，和三，'，C,总在「：单侧，可 以证明（在4.1）假定的：G,=D(2)D()f牛0条件下，C,和附近接触线是相交的，即C。上 任一点M既在C1。上，又在另一C,1上。这样在S,上，M将在t,t,两不同时刻对应三！上 两不同的共轭点M',M”。即M与包络面先后接触两次。下面证明二次接触的存在。 S2上母面2，的接触线C,上任给一定点M,将C:方程(3.10)中的D()x2、D(2)y2、 D()z2的表达式(2.2)代入，整理得到 Pcos2 +Qsin 2=R (5.4) 其中P、Q、R不含p2。是 (P=(xaf:2-z:fx)siny-fyaacosY Q=(zafv:-y:f::)siny-fx:acosY (5.5) R=(xfv:-yafx:)(i:1-coBY)+fz:asiny (1)当P2+QR2时(5.4)恒有两不等实数解p2、p1: R P p:=are in（Vp+Qr)-arein（p:+Q） R P (5.6) -are sin()-arc sin ( 这时M是2，“的点，並对应两不同的p:使M既在C2又在C:上，即M点出现二次接触。 (3)当P2+Q2=R时也只当这时(5.4)有唯一解 P :2-arc sin (P:Q:) (5.7) 其中士号取与R同号 不难验证母面上二类界点满足关系式 P名+Q2=R2 (5.8) 这是因为二类界点的条件(5.3)可写为 D(2)f PcoB2 +.Qsino:-R=0, DD(2)f Qcosop2-Psin2=0, 110

奇点 , r : 则是接 触线 C : 在母面 艺: 上包 络线在 艺 ; 上的共扼曲线 , r : 和 r : 围成 艺 , 的实际 工 作区 。 r : 和 r : ( r : 和 F : )每个 t 值都有一 个公共点 , 在 该点r : :和 r : ( r Z 和 F : ) 是 相交而 不是 相切 的 , 但 对任一 t 值 都有一条接触线 C : 既和 r : 相切 又和 F Z 相 切 。 母而 上满足 条件 D ( 2 ) f = 0 , D D ( “ ) f 二 0 ( 5 . 3 ) 的点 , 在应用 上有 重要意义 , 参照 南开大学〔3〕 的 名称 , 称 为母面 上 “ 二 类界点 ” , 二 类界点 的轨肺称 为二界曲线 。 包络面艺: 上和 母面 二 类界点 ( 二界 曲线 )共辘 的点( 曲线 ) 称为艺 , 的二 类界点 ( 二界曲线 ) 。 二次包 络蜗 轮付的 出现 , 重新 引起对二 次接 触的注 意 , 日本酒井高男 、 牧野在 〔4 〕 中首 先深入 研究了这 方面 问题 。 二类界点和二次 接触有密切 连系 。 设母面 艺: 上 r : 存在业 且不退化成点 , 则 r : 分艺: 为艺 : ` 和 艺 : r , C , 总在 r : 单侧 , 可 以证明 ( 在 4 . 1 )假定的 : G : : = (D : ) (D 忿 》 f 寺 0 条件下 , C : 和 附近 接触 线是相交 的 , 即 C : 。 上 任一 点M 既在 C : 。 上 , 又在另一C : : 一 上 。 这 样在 S : 上 , M 将在 t . 、 t : 两不 同时刻 对应 艺, 上 两不 同的共辘点 M 尹 、 M ` , 。 即 M 与 包络面 先后 接触两 次 。 下面证 明二次接触 的存在 。 S : 上 母面 艺 2 的 接触线 C : 上 任给 一定点 M , 将 C , 方程 ( 3 . 1 0 ) 中的 D ( 2 ) x Z 、 D ( 2 ) y Z 、 D ( 名 ) z : 的表达 式 ( 2 . 2) 代入 , 整 理得 到 P 胡 甲 : + Q颐 n 甲 : = R ( 5 . 4 ) 其 中 P 、 Q 、 R 不含 甲 : 。 是 { p = ( x : f : : 一 : : f : : ) ia t 丫 一 f , : · a e始 丫 { Q = ( z : f , : 一 y : f : : ) 滋n 丫 一 f : : · a e o 。 丫 } R = ( 、 , f , 一 y : f : , ) ( 、 : : 一 , 丫 ) + f : : · a , n 丫 ( 5 . 5 ) ( l ) 当 p , + Q , R : 时 ( 5 . 4 ) 恒有两不 等实数解甲 2 、 甲飞 : 丁 甲: 二 一 ia · 哈爵布 )一 ` · ( { “ 二 一 acr ia(n 讶下资丽 二 ) 一 P 丫 P “ + Q 么 ( 5 . 6 ) 这 时 M 是艺: “ 的点 , 业对应 两不 同的 甲: 使 M 既在 C , : 又在 C , 食上 , 即 M 点出现 二 次接触 。 ( 3 ) 当 P : + Q Z = R Z 时 也只 当这时 ( 5 . 4 ) 有唯一解 , 2 = 武 = 士 李 一 ar “ ian P ( 讶了不 小 ( 5 . 7 ) 其中土 号取 与 R同号 不难 验证母面 上二类界点满足关系式 P . + Q : = R Z 这是因为二类界点的条 件 ( 5 . 3) 可写 为 D ( 1 ) f = P coe 甲 : + . Q ia n 甲: 一 R = 0 , D D ( ’ ) f = Q cos 甲: 一 P 吕i n 甲 : = o , ( 5 . 8 ) 1 1 0

平方相加得到P2+Q2=R2。所以母面上二类界点处只出现一次接触。二类界点条件(5.3) 和不含参数甲z的条件P2+Q2=R2是等价的。山由此得出：母面上接触线的包络线「：总是 可以消去参数仰2得到它的直角坐标方程是 00 (5.9) 特别提出的是，当母面是平面时，P2+Q2=R2是x2、y:、2:的二次方程，因此得出： 母面是平面的啮合运动，「2如果存在一定是母面上的二次曲线。 例如在.SG-71型蜗轮付中，由于参数选择不同，「2可能出现椭园、双曲线和抛物线。 六、二次包络 以上讨论，如果将包络面三：作为新母面，在相同的啮合条件下（典型传动），考虑它的 包络面及其他有关问题，就是二次包络。坐标同前，不过S:、S2的作用互换了。 在S,、S2上以Σ：作母面，要求母面无奇点，但Σ1上T:的点都是奇点，所以要除外， 在：是两叶时，去掉广：，两叶分开了，取定其中-一叶仍记作：作为母面。 三7e2。 t作为几何参数(t=P:),消去p,的方程是(3.6) ∑1f1)(x1,y1,z:)=0 二次包络运动参数改记作0，可指定0是01或02。在S2上当0变动时，得到母面族 {Σ：}的方程是 {2,8}:Ag21)f1)=0 (6.2) 和一次包络类似记F(2)(x2,y2,z2,0)=A。)f(x1,y1,z:),如果用f(1)=0记母 面，F(2)=0记母面族，那末前面所有式子中，将胜角1、2互换，就是二次包络相应的式子。 这样处理原则上简单，但实用上很不现实，因为「(1)是(3.4)消去参数得出的，实际上消 参数並不容易。所以要将f)、F(2)表示的、形式上简单的条件，改用F(即F(1)表示的条 件，因为F=A,12)f可由原始母面得出。 为方便，再设f=A。21)F=A。21)A。12)f。f◆的表达式可由原始母面方程经两次 不同参数的坐标变换得到。注意若仰=0，时「=f。此外，f是既含P又含0的函数。 母面族{∑：}的方程是用A,(21)作用到(3.4)得到 在：《 (6.3) 其中第二式用了算符性质(9)的说明，即 Ag(21)DmAp《12)f=D。Ag(21)Ae12)f=Dpf◆ 曲而族{S:}的包络面如果存在，记作，由(3.4)，，是 a:{A。a)f=0 1D。Ao21)f1)=0 (6.4) 为了用F或f◆表示，将(6.4)第二式，由算符性质(8)，並注意到D1)=0,和 (3.7),得到 111

平方 相加 得 到 P Z + Q Z = R “ 。 所 以 母面 上二类 界点处 只 出现 一次接触 。 二 类界点条件 ( 5 . 3) 和不含参数 甲 : 的 条件 P 忿 + Q Z 二 R ’ 是 等价的 。 由此 得 出 : 母 面 上接触线的 包 络线 r Z 总是 可 以 消去参数甲: 得 到它 的直 角坐标方 程是 f ( x Z , y : , z : ) = 0 P Z + Q “ = R “ ( 5 . 9 ) r ` t r 2 特别 提 出的 是 , 当母 而是平面 时 , P “ + Q Z 二 R Z 是 x : 、 y : 、 z ; 的二 次方 程 , 因此 得 出 : 母 面是平 面的啮合 运 动 , r : 如果存在一定是母面 上的 二 次曲线 。 例 如在 S G 一 71 型蜗 轮付 中 , 由于 参数选择 不同 , r Z 可能 出现椭园 、 双 曲线 和抛 物 线 。 六 、 二 次包络 以 上讨 论 , 如果 将包 络面艺: 作为新母 面 , 在相 同的啮 合条 件下 ( 典型传动 ) , 考虑它 的 包 络面 及 其他 有关问题 , 就 是二 次包 络 ,o 坐 标 同前 , 不过 S , 、 S : 的 作用 互换 了 。 在 S , 、 S : 上 以 艺 : 作母面 , 要求母面 无奇点 , 但 乏 , 上 r : 的点都是 奇点 , 所 以 要除外 , 在 艺 : 是两 叶时 , 去掉 F : , 两叶分开 了 , 取定其 中一叶仍 记作 艺: 作 为母 面 。 F ( x : , y : , z , , t ) = F = 0 F : ( x : , y ; , 2 1 , t ) = D F = o Z` ó t 艺 t 作 为几 何参数 ( t = 甲 , ) , 消去甲 : 的方 程是 (3 . 6) 艺一 : f ( ’ ) ( x ; , y ` , z : ) = o 二次包 络运 动 参数改 记作 O , 可指定 0 是 0 , 或 0 : 。 在 S : 上 当 0 变 动时 , 得 到母 而 族 谨艺: 。 } 的 方程 是 {艺, ” } : A 。 ( “ ’ ) f ( ` ) = 0 ( 6 . 2 ) 和 一 次包 络类似记 F ( “ ) ( x Z , y Z , z : , 0 ) = A 。 ( “ ` ) f ( x : , y : , z : ) , 如 果用 f ( ’ ) = 0 记母 面 , F ` “ ) 二 。 记母 面族 , 那 末前面所 有式 子中 , 将胜角 1 、 2 互 换 , 就 是二 次包络 相应 的式子 。 这样处理 原则上简单 , 但 实用 上很不 现实 , 因为 f ( ` 》 是 ( 3 . 4) 消去参数得 出的 , 实际 上消 参数业不 容易 。 所以 要 将 f ( ’ ) 、 (F “ ) 表示 的 、 形 式 上简单的 条件 , 改用 F ( 即 F ( ’ ) 表 示 的条 件 , 因为 F = A , ( ’ 2 )f 可 由原始母面得 出 。 为方 便 , 再设 f . = A 。 《 2 ` ) F = A , ( “ ` ) A , ( ’ 2 ) f 。 f . 的 表达式 可由原始母而方程 经两 次 不 同参数的坐 标变 换得 到 。 注 意若 印 二 e , 时 .f 二 f 。 此外 , .f 是既含甲又 含 0 的函数 。 母面族 {艺 , 口 } 的方 程是用 A , ( 2 ` 》作用 到 ( 3 . 4) 得 到 `艺1 ” : { A e ( 么 ` ) F = A 。 ( “ ’ ) A , ( ’ 名 ) f = f . = o A e ( 2 ` ) D , F = A o ( 艺 ` ) D , A , ( ` 2 ) f = D , f . = o ( 6 . 3 ) 其中第二 式 用 了算符性质 ( 9) 的说 明 , 即 A e ( 2 ’ ) D , A , ( ` 2 ) f = D , A e ( : ’ ) A , ( ` 2 ) f = D , f . 曲面 族 {万 , ` } 的 包络 面如果 存在 , 记作盲 2 , 由 (3 . 4) , 式 是 A e ( 2 ` ) f = 0 D o A o ( 2 ’ ) f ( ’ ) = o ( 6 . 4 ) 为了用 F 或 f , 表示 义 , 将 (6 . 4) 第 二式 , 由算符性质 (8 ) , 业 注 意到 D f( , 》 = 0 , 和 ( 3 . 7 ) , 得到 1 1 1

Ae(21)F=f●=0 A(i)D.F=DA()F=Df*=0 (6.5) Ao(21)Fx1DoAo(21)x1+Ao(21)FyDoAo(1)y1 +A(21)FDA()21=Dof=0 (6.5)第三式换为f是因为F不含0，将A。21)提出，由算符性质10，注意到D,F=0, A()(FD()x1+FyD(iy:+F:D(Z1)=A(1)D(1)F =A0(21)A(1)DA(21)F=DA(21)F=DA(21)A(12)f=Dof* S:上接触线C。方程就是(6.5)令0=0。，即 「A9.21JF=0 C:A。aD,F=0 (6.6) Dg。A0.1)F=0 如果只在S上讨论接触线，就不必将f(1)换到S2,由(3.10)，C。在，的方程用f1) 表示是 C。,D,x4+i,D,y,+2D,u24=0 换回F表示，由(3.7)，並注意到D。F=0及算符性质(10)，得到 (F=0 C。:D,F=0 (6.7) (FxD()x1+FyDo()y1+F:D(i)z1=D(1)F=0 (6.7)中的D。1)x1、D。1)y1、D。1)z1在(2.1)给出。 二次包络和相同运动条件下的一次包络的接触线有本质上不同，它在同一时刻出现两条 接触线，其中一条重合于一次包络接触线，另一条是新产生的接触线。 在S,上，C。方程有甲、0两参数，一次包络的运动参数中，现作为2：的几何参数，日是 运动参数。对每一啮合位置，0是常量，P仍是变量。现证明当甲=日时，二次包络接触线重 合于原来一次包络接触线。为此，将C。方程(6.6)用原始母面方程的f来表示 Ag《21)Ae小2)f=0 C。 Ag2JD。Ap12)f=0 6.8) A0(2i)FxDeA(21)x1+A(21)FyDoA(21)y1 +A。)Fz1DgA2)z1=0 当p=0时，(6.8)第一、第二式分别是 A,《21)A,12)f=f=0 Ag21)D。A,12)f=D2)f=0 第三式，当p=0时，乘以算符A(12)转到S:上，再用算符性质(2)、(3)、(6)得到等 价的方程 FxD()x:+FyD()y:+F2D()z1=0 由算符性质(15)得到 FxD(x1+FyD(i)y+F2D()z1 =-A12(fx2D2)x2+fy2D2y2+fz2D2)z2)=0 由于算符性质(7)及等式(3.3)，它等价于D(2)f=0。即m=0时(6.8)第二、第三式等 112

A e ( “ ’ )F = f . = 0 A , ( 忿 ` )坏 F = D , A 。 ` : ’ ) ’.l = D , f . = o A e ( 乞 ’ ) F : : · D e A e ( ” ) x l + A e ( 2 ` ) F , l · D e A e 《 2 ` ) y - + A 。 ( 艺 ’ , F : : · D e A e ( 艺 ’ ) z : = D o f . = o ( 6 . 5 ù姚 ) (6 . 5) 第三式换为 .f 是 因为 F 不含 。 , 将 A洛 ` , ` , 提 出 , 由算符 性质 10 , 注 意到 D 。 F = 0, A , ( : ’ ) ( F : : · D e ( ’ ) : : + F , x · D , 川 , : + F Z : · D 。 ( ` ) z 一 ) = A e ( ’ ` ) D e ( ` , F = A a ( 2 ’ ) A e ( ’ 里 ) D e A e ( “ ` ) F = D e A e ( 2 ’ ) F = D , A , ( 2 ` ) A , ( ` 2 ) f = D , f . s : 上接触线试 方 程就是 (6 . 5) 令 o = o 。 , 即 ` A 。 _ ( 2 ’ ) F = 0 C e : A e 。 ( ’ ` ) D , F = o ( 6 · 6 ) ` D e 。 A e 。 ( ” ) F = o 如果只 在 艺: 上讨论接 触线 , 就不必 将 f( ” 换到 5 2 , 由 (3 . 10) , 乙 在艺 : 的方程 用 f( ” 表 示是 乙 : { f ( ’ ) = 0 f : x ( ’ ) · D , ( ’ ) x : + f v l ( ` ) · D e川 y 一 + f : 一 ( ’ ) · D e ( ’ ) z x = o 换回 F 表示 , 由 (3 . 7 ) , 业 注意到 D 。 F = O 及算符 性质 ( 10) , 得到 _ { F 一 o C , ’ } D , F = ” _ _ _ _ `“ · 7) t F : l · D e ( ’ ) x : + F , l ’ D e ` ’ ) y l + F : 一 D e ( ’ , 2 1 = D , ( ` , F = 0 ( 6 . 7 ) 中的 D 。 ( ’ ) x : 、 D , ( ’ ) y , 、 D 。 ( ’ ) z : 在 ( 2 . 1 ) 给 出 。 二次包 络和 相 同运 动条件下的 一次包络的 接 触线有本质 上不同 , 它 在同一时 刻 出现两 条 接触线 , 其 中一条重合 于一次包络 接触线 , 另一条是新产生的 接触 线 。 在 s : 上 , 式 方程有甲 、 e 两参数 , 一次包 络 的运动 参数甲 , 现作为艺 : 的几 何参数 , o 是 运 动参数 。 对每一啮 合位置 , 0 是常量 , 甲仍是变 量 。 现证明 当甲 “ 0 时 , 二 次包 络接 触线 重 合 于原来 一 次包 络接触线 。 为此 , 将 C 。 A 。 ( : ’ ) A , ( ’ 艺 ) f = 方程 ( 6 . 6) 用 原始母面 方程 的 f 来表示 0 A e ( : ’ ) D , A , ( ` 2 ) f = 0 A e ` 2 ` ) F : 一 D e A ` 2 ` ) x : + A 一 ` 艺 ` ) F , 1 · D 。 A f Z ` ) v ; + A e ` ” ) F : : · D e A ( ” ) z : = o ( 6 . 8 ) 产 ! 毛 、刁胜性|仁 ùeC 当甲 = G 时 , ( 6 . 8 ) 第 一 、 第二 式分别是 A , ( 至 ` ) A , ( ` 2 ) f = f = A , ( “ ’ ) D , A , ( ` ’ ) f = 0 D ( 2 ) f 二 0 第三 式 , 价的方 程 二 0 时 , 乘 以 算符 A ( ` : ) 转到 S : 上 , 再用 算符性 质 (2 ) 、 ( 3) 、 ( 6) 得 到 等 由算符性质 当甲 ( 1 5 ) F : : · D ` ’ ) x , + F , z · D ` ’ ) y , + F : l · D ( ` ) z , = o 得到 F : : · D “ ) X : + F , 一 D ` ’ ) 了 , + F Z : · D ( ’ ) z ; = 一 A ( ` ’ ) ( f : 2 · D ( ’ ) x : + f , : · D ( 2 ) y Z + f : 2 · D 川 2 2 ) = 0 由于算符性质 ( 7) 及等式 (3 . 3) , 它 等价于 D ( 2 , f 二 。 。 即印 = 0 时 (6 . 8) 第二 、 第 三 式等 1 1 2