B8开.16.1S87.1ss1U01053x.I956.01.0T 論展佈在無限域上具弱奇性 核積分算子的全連續性 潘文熙 (数学教研組) 〔提要)本文證明了在無限域2上，具條件（)的核：(s,1)在2×2上可 测，且 ()(,)=(是)，=i-1,心， 5=(54,5,…5w）,1=（1,1…1m）, (a)）(e,)=w(。a),p=√1-i+ia8,心， 所確定的稍分算子是由1”(2)映入，”(Q)的金速繽第子，遥裡2是稚厥氏空 間中的城，又證明在條件（人*）一一條件(K)加股R(s,)在s牛1處速續一的 條件下，則是由有界速箱两數空間*(Q)映入(*(？）的企連辕算子。糊於有限域 的情形是由M1X门HH氏〔1〕所推導的，現在對無鶸遠處的M熊假歌了在()的限 制下，就可以推到無限域情形，它的推演依靠着燥核K:(s,)=K(5,) K(t,4)d4的性態而穫得的，主要桔集是出定理1、2的證明起着重要的作用。 1,引言税分方程用退化核逼近核的解法，近年代道搂推廣到具有全连續性算子 (BnoAHe-HenpepLBHiie onepaTop）的方程中去，見〔1]、〔2]。所謂会速算子 是定義在希附柏特公間或赋范空閥（全空閻)上的線性算子，它把任-~行界集映成篇列 紧集，或者與此相當的，即算子是有限秩子的均匀收歙樾限（依算子范數的）。MHyH“ 〔2〕證明過由啡里得霍偷(redholm)氏核，即个乎條件|K(s,)|lr，使 )=(是) (1) 远裡r=一11，雙割符號表示“中矢量的模（范救）。這時算子 (t)=jK(s,1)(t)t (2)
偷 展 沛 在 典 限 域 一 上 具 弱 奇 性 核 债 分 算 子 的 全 速 崎 性 潘 文 熙 数拿教研 组 〔提要 〕 本 文蹬明 了在熟限域 夕 上 ， 具 修件 左 的 核 厂 ， 功 在 夕 夕 上可 测 ， 且 左 ， 、 ， ，， ‘ 、 ‘ ’ 又万不万犷夕 ， 厂 一 ‘ 一 ‘ 分 ‘ ， ‘， 口 ， ， 么 式 、 ，‘ … … ，， ， ， 一 ‘， 乒专 一 、 ， … …八 ， ， 一 如 · 八丽价一 、 一 所碳 定 的稍分 算子 是 由 尸 夕 映入 夕 的全速擅 算 子 ， 道挫 夕 是 推欧氏空 简刀 ” 中的域 ， 又橙明 在 倏件 人 一一修 件 加 毅 兀 ， ，约 在 ‘ 粉才庭速糟— 的 倏件下 ， 则 是 由 有界座箱画数空简 叮 夕 映入 叮 夕 少的全连擅算 子 。 阴 朴有 限域 的情形 是 由 只试月 月 日 氏 〔 〕 所推尊的 ， 现在 到骊舅速庭 的钊 一 憨 假毅 了在 约 的限 制 下 ， 就 可 以推 到 燕 限 域 情 形 ， 它 的 推 演 依 靠 着 操 核 尤 ， 约 一 ， 二 户 召 兀 ， 时 。 的性熊 而楼 得 的 ， 主要桔果 是 由 定理 工 、 的蹬明 起着 重要 的作 用 。 引言 核分 方程 用退化 核逼近核 的解法 ， 近年 代道接推魔到具有全速擅性算子 日 “ 一 ‘ ‘日 乙‘ ‘ 几 三，夕的 方程 中 去 ， 兑 〔 〕 、 〔 〕 。 所 稍全速摘算 一子 是 定羡在希雨柏 特盛周 或 破范圣阴 全空 阴 上 的腺性算子 ， 它把任 一有界集映成 拐列 紧集 ， 或者典 此相 富 的 ， 即 算子 是有 限秩子 的均 匀收放恤限 依算 一 子范数 的 。 、 人。 〔 〕 橙明 趟 山 弗里 得霍偷 卢肠 叻 氏 核 ， 的核 厅 ， 约 所雄 定 的秋 分算子 是今速袖 算 子 。 “ 口合乎 倏件 产 澎 又 ， ’ 流 夕 此 外 ， 越有 一颧煞界核 一 也雄定 述植 算 子 ， 也 由 二 人。 氏 所蹬 出 。 运顿 核便是有 限域 上 的 弱奇 性核 只 冲 。 一 于固 全 支 衍 ’ 二 ， 即 瓦 ， 劝 在有 限域 刀 上来视 ， 是可测 的 ， 而 且它在 夕 中的不含 的默 的任 一有 界阴 域 上是有 界的 ， 且存在常数 ， ‘， 。 ， 使 ’ 、 ， 才 一 吧 刀 一 八 夕 运和卫二 一 · 、 一 ， 坠 符既 表示 大儿 中矢量 的模 范数 而 才 一 少 ， ， 夕汉‘ 月 。 道 日李算 子 夕 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1956．01．011
第二期 一113一 的企速被性是果於州核(Tepnponan:o心np心)的华態（见i引理4)。因靄它使得 階數2”允分大的情况下，随算」了是趣被的，並根楼自軛算子A*A的企速敏性盔 含A的金速箱：道一事致，可以推1的企逆籟祉)淀使是xH〔1)所深用的證法 的精神。 對於度佈在無限城上的算子（。)说，它的定以及它的题核性熊期然就们苦成 到核在無弱遠虑的性您：如牡把遣方限制在：-一定除件下一一下面便見是條件（人）， 使得允分高的数的她核成像弗！金倫氏核，那水(！)在無限域上配，仍疏定一俏 全連箱算了，本女即作此推尊，下文期於有级城的各旅引理酚於MxH氏，定理1至 定理6是本文的新證。 2.预備定理 禽要建立以下事管，引用删於瑕币声分性質，以及行股域戳分算-子已打的一些钻 果作窩預備定理。以下都假散盟是〃厮C容間“中的點。城”是”中的域， 〔引理1)殷=‖4-4， 弘，。e”,R,i都是個正的常数，那求 言。其中n=.2六 （僑方便起兒，以下用單贺分號代恭〃甭乱了) 證：命 4,=(4:0,化°，…，nP),作坐標變换： 1=,0+ru.8, =.U十ri81阳 小“…。*””*“ 4n-1=0H-1十yn01ii82…78r-2C0s8-1 4#=n"+rsnd1.7u0…si2H,-2i8n-1 放日，4，，4) a(r,91,…,8=1） CUSB1 -5191 0*年"***0 91cut± r℃0s81C0502…0 sine sineacust rU581906g…0 sindsin3.sin9ncuxen-1 rC0.01sin0…cs0%-1…-rsiz61…sn9n-1 ！inB:si2ne…rld一2Hf-1 rt0r9,sin82…Siz0r-1…rs2n91…c0s0n-1 =r-t2n-gd5in-d2…i江9x-2 t d 形-i ‖u-ol<I
第 二 期 一 一 的全连擅性是从价梅 核 二叩叩 。 、 。 。 只 即 。 的性憩 见 、 山 引理 。 囚 将它使 得 在 陆数 左 充 分大 的情 况 一 「， 才 礁 算 是速袖 的 。 业 权孩 自扼 算子 过 的介速袖 性藕 含 的蚕速植性适 一事 贫 ， 可 以寸纽知 、 ‘ 的全速袱 比 二 适使 是 际 。 ， 〔 〕 所探 用 的橙法 的精神 。 封 岭展怖在姆限域 上 的算 了 交 水改 ， 它 的摊 定以 及 它 的履核性想欺然就须者撇 到 核在舞舞速虑 的性慈 如 架把 址 方血 限制 在 一 定修件下一一 厂面便兑 是修件 ， 使得充 分高 的 附数 的处核成 挤 弗少 科雀偷氏 核 ， 那 长 在姆限域 上砒 ， 仍 摊 定一们 全速植算 子 ， 木 文只 作 此推琳 ， 厂文阶价 有限域 的扮位 引理 风朴 胡 氏 。 定理 至 定理 是本 文 的新橙 。 镇铺定理 焉耍建立以 下事育 ， 引 用朋价瑕 币右、分性竹 ， 以 及 有限域」私 分算 户已 有 的一些拮 果作焉预俪 定理 。 以 下都假 毁侮黔是 ，， 稚 队氏 赛 周 产 中的默 。 域 刃 是 丫 ‘ 的域 。 〔弓理 〕 毅 一 ， 户一 诀 一、 ， 一 二侧 ， 、 ， 、 。 了 ， 人 ， 。 都是佃正 的常数 ， 那 宋 少 一尤 一喊 召 扩占 杯 — 一 一 一 “ ， 二二一 一 。 ” 。 。 其 中 左， 一 ，乙 一 二〔 一 方 得方便起兑 ， 以 下用 单称 分貌 代朴 、 市租 蹬 命 编 一 、 。 ， 、 。 ， … … ， ‘ 。 ， 作 秘 芍 一 芍 十 厂 口‘ 口 朴 一 “ 刃十 灯加夕 ‘ 哪九 仁镖讨换 忍 、 一 砂 ” 一 工十 产瓜无白 万 日犷 · · … 万九 口 ， 一 口 口、 一 一 ‘ 。 灯动 当 、 汀耐 了 · · …万则 ， 、 一 刀 耐 。 一 、 二 、 ， 、 ， … … ， “ 故 生毛兰 毕 一 兰 艺 ’ ， 户 手 介 ， 。 ， … … ， 九一 ， ‘ 口 。 ， 一 … · 、 。 ， 。 、 刀 日 厂儿 夕 万日只 一 ， ，龙 口 口 。 · · … “ … … 。 口 厂 口 己 ‘ 口 · · · · · · · · · · · · · · · · … … ’ ‘ ’ ‘ ” ’ ‘ ” · 口 厂阳川 万” 乡 川劝 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … 口 石尤 「少 对川 了 ， 爪 侧一 却巧 ，卜 万耐 万川 了 二 汀则 ， 一 功 日、 一 ， 叮’ 日’ 加口犷 二 ‘ 口， 一 ’ 一 尹’ ” 日’ 二 而尤 夕， 一 少 夕 艺龙 归 … 龙 。 一 ，… 犷 艺龙 夕 … 卜 一 产一 ‘ 动 ” 一 竺 口 ，’ 俨一 夕’ · 万耐 ， 一 ” 人 邵 一 邵口 产邓 艺 欲 、 一丫 」奋 故
-114- 钢院學報 [引理2) =.r0-, 一p一一，中”（藏鱂） B 證：同上所作礎换，得到 ta alpo ,證完。 l4-4ol>形 我們把K2(s,)一压(，)K(4,1)1稱鴛二階核。這裡横割表示共軛複 航。一般地，當n是大於1的奇數，Fm(s,)=(s,)Fm1(,),而常加是 偶数時，Km(s,)=(R(弘，)Km-1(u,1)l弘，稀篇n階0核(n=3,4,…)。易 知K:(s,)湘應的算子是B=体A(注意此遮B是自軛的)，K:n(s,)相應的算了 是m-。在有限域Q上來花，已有MHXAHH氏洁果： 〔引理4〕骰是”中的行限域，K(s,)是2×2上的弱奇性核，滞足等式 (1),那末有 0(2) 當n一28>0 K2(s,)= 了0(1ogr) 常-28=0 常”-心0 )(1) 當-280，(1)
一 钢 院 祭粗 〔引 、 。 〕 一 多 一左 月 了产 一 尸一 几 ， 邓 一 尸 一 — 一 一 一 ， 尸铸 、 ， 萧略 夕 龙 一 尹 刃 、 一 执 ， 刀 「引理 〕 少 口 是常数 ， 其 除同 上 ， 了 汉形 ， ， 一— 邝 ” — ， 厂 忿 十 几 、 一 二。 刀 蹬 同上所作邂换 ， 得到 径 、 刀 牛 刀“ ‘ 孟 山 蹬完 。 卜 、 。 左 尤 我侧把 ， 才 一 位 。 一般地 ， 尤 “ 甜 、 厂 “ ， 才 赏 ，，， 是大 决 的奇 数 ， 厂州 ， ， ‘ 、 桥焉二陪叠 核 。 一行 一 ‘ 一 ’ 甜 退视横割表 示共扼校 、 ，约 、 ， 而 常叨 是 偶数晗 ， 兀嫩 扣 ， ‘ 一 厂了瓦两 州一 ， 、 ， ‘ 汉“ ， 桥将 叨 陪叠核 一 “ ， ， … … · 易 一 甜 女口尤 ， 才 是 方 欢一 ’ 。 相 瞧 的算 子 是 一 刀 刀 注意 此虚 刀是 自扼 的 ， 尤 脚 ， ， 约 相 瞧 的 算 在 有 限域 夕 上来 靛 ， 已 有 似 人 二 氏 拮果 〔弓 理 〕 敲 夕 是 几允 中的有 限域 ， 万 ， ， 劝 是 夕 丫 夕 上 的弱奇性核 ， 浦足等式 ， 那末有 犷 刀 一 澎 门 、 一 二 常” 一 口 常二 一 八一 常 、 一 占 。 ， 常 令 。 。 、 一 少、 、 了 、 定视 二 一 ， 一 引 。 觅 人。 狱分方程流 县 ， 〔弓 理 〕 如 果 尤 ， ， 约 是有 限域 夕 又 招 上 的弱奇 性核 ， 那末 只要 正整数 从 合乎 、 一 衅 。 口 ， 叨 ，约 是有界核 上面 引理立 刻推 出 。 〔弓 理 〕 理 。 是有 限域 ， ， 约 是 犯 火 卫 土 的弱奇 性 核 ， 那末 殊 定 了一 侗 由 石 夕 全空 简映入 夕 夕中的全速糟算 子 。 兑 〔 〕 ‘一 热限域上具有限制 睐件的弱奇性核的精分算子 现在 衬益到舞限域 夕 土 的情 形 ， 当核 厂 ， ， 约 在熟躺遗虑 的性熊 加 上某些低 件 限 制 。 我们 浅 ‘ ， 约 合倏件 左 — 就 是视 ， ， 在姗限域 犯 刀 上可测 。 在不含 “ 一 才 的默 的任 一有界 阴域 上有界 。 且存在正数 ， ， 合 一 乎 ， 留 一 一 ， 。 。 ， 下面 ， 式成立 ， 、 ，，夕一 。， 一 寻二 ， ， 。 。 ， 夕 内一肠 一
第二期 一115- 问管=+2→e,下式度立，K(e,)=0（+。)，心0 (3) 首先見到，馀件(i)也當於乱，(”)嘗s‖-→+o∞， s”+a）均匀地威立，面管！2→+o©時，也有 K(5,)=0(1 0+。）均匀地政立。更隆切的藏，有在正戴北，及，M1, 不(5,1)=0(.1 (常數)，使常 s1,不論任何的1，都有 (s,)R}12,放在e上，K(s,t)1<加 P=‖s+I11”,现在 {gxa,)=01w)gK,P叫gaK dt hM? (n+2a)+2e川13<oo。 式中‖：‖表示：()在L2(2)中的范數。此外 'a's ≤∫∫四 ItW<eIt‖<
第 二 期 一 一 节污。 住 一 甲 一干 才 舟的咔 ， 下式 成立 ， 尤 ，才 。 ， 又， 气— 一二 ， 一 移 十 夕 首先兑 到 ， 汀 ，才 倏件 也 于 常 朴砒 ， ‘ 常 ‘ 令 目寺 均 匀地成立 ， 而 常 州 分 二峙 ， 也有 兀 ，‘ 一 ‘ 一 门 ‘ 一 、 一 九 十 龙 十 夕均 匀地成立 。 更雄 切 的靛 ， 有在正数 ， 及邢 ， 乃了 ， 常数 ， 使 常 ‘厂、 了、， 一 一 一 ︸一刃才︷了 升 ， 不 湍任 何的 ‘ ， 都 有 而常 川 刀 ， 不 谕任何 的 ， 都有 厂 ，才 ， 才 忽 ” 。 下面使 用泣 佃慷 件 畴 ， 只 要 尤 ，约 中有 一佃 自砂量 的模大 朴 刀 ， 便能 满足 上面 的二 佃 植的估 补式子 。 〔定理 〕 毅厂 ， 在熟限域 夕 忍 上合乎 倏件 、 ‘ 一 ，， ， ， ， 产 甜 尤 ， 那末下式雄 定的 算 子 是 定羲在 石 刀 全空周上业映入 夕 中的腺性 算子 。 橙 铭 了要 澄明 有限值 ， 可 究 一 ‘ ， ，， ’ 甜 仍 约 心 封乎虚虚 的 夕 中的默 ‘ 有 定羡 取 了尤 ‘ ， ‘ ‘ ‘ 一 肠 尸 几 。 ， 是视 夕 ，， 才 刀 夕 故蒯 上 ， ，厂 一 ‘，‘心俏号 一 ” 一 刃 · ， 七 ，， “ 一 。 · ， 现在 · ‘ ‘汉‘ 斗毖 ，， ‘一 ‘，，“ ‘勺 ，· ‘ ，， ‘ 了 二 厂住 澄， 公 · 产 甜 才 雌 “ 左 ， 了 二 “ 才 “ 。 刀” “ 式 中 川 表示‘ 在 磨 中的范数 。 此外 ， 一 乏” 川 “ 撰争 “ 才 〕 ’ 三 夕 甜 才 咬城 址 ， — 一 ， 刀 二 刀 — 泌 才 ‘ “ 不 产 一 。 ‘ 才 左 才 左
-116-· 钢院學报 r=!-1目.對每一似s们，存套'，使被含於一新的域 2.=111-sit, 遥時，第一個甙分能換成 -*o0。、其大，了欲明 川1-s‖ 」-~(0野於中機乎定遮的：路是行限的，贝要蔽明敌分 ‖t-s非< ·=/ ,,01: 2s×2、 篇有限，但被穦式非负，依篇比尼(ii)定理，只要證明 2=()1dn 2.-0j 存在（有限)，但通是背定劉的（見引理1），逾樣燕證明了算小小：定在 2(2)全空間上。 其炙究 【4:f2={,K(,1)r(t)|s。 仍分僑2=Q+2”，,2”如上所速，术闪需 〔1K(,)m()0as=j++jj=1+L+1, o'o"o'o"2" 其中，1有限，這是因鴛2'×僑有限城，根據引理6便知道。其次 I2=s目K(s,1)m(t))≤ds1F(s,)1“w》< A ds dt '0g"月t12m+2:· 這裡A是僩常數，據引理3， g°8712m+2c= (u+2a)a,s=mg.0, 表示中的里别御度。所以I。是有限的。再其次， l-可g可g（)(）sgl(,)1 ' B dt ds p2+2a 2"×2 运經B是個常数，P=、s?+I1I:。命”×”茶間中经點俗 u=(5,1）=（51,…,5n,11,…,n）, 故Iu‖=P。但1s‖·，故在2”×2中4【∥，放 1<B 2+2a20.h20, <R
钢 院 举权 尹 一 ‘ 一科 ， 封征 一 侗 佃 ‘ ， 存在， 。 ， 使 穿 被含朴一新 的域 夕 一 川 ‘ 一 一 二汽‘ 口 才 一 〔 六 ， 症 畴 ， 第一 封司袱 分能 换 成 厂 ‘ 厂 刀 一 八 一 ， 方 ， ‘下 《 仁 。 入 共 次 ， 几 了淤明 ，一 丈刀‘ 一 〔丫 、 约 。 封朴‘ 中怨乎虑虑 的 ‘ 黔是有 限 的 ， 一 尹 只 要蔽 明 植分 少口 才一 】 允 ‘ 了 一 厂 甜 、 义 夕 ， 工一 二 ， 汉，厅 护 一 · 篇有 限 ， 但被横式非负 ， 依 富此 尼 尸赫 、 定理 ， 只 要斋明 ， ，心 一之 。 ‘ 卫 尹 那 夕夕 存在 有 限 ， 但疽是 肯 定绷 的 兑引 理 ， 运 株就 蹬 刚 丁 ‘ 林丁 一 刀 、 定莉 在 石 刀 个本 简 上 。 其次先 二 刀少‘ 仍 分 得 夕 ， 〔 了 夕 夕 一 穿 夕 ” ， 尤 、 ， 才 火 ，， 夕 ‘ ， 二 才 厂 ， ‘ 二 ‘ 。 夕 夕 ‘’ 如 上所 述 ， 那 末因 几 ，〕 二 少 十 夕‘ 刀 ‘， 川 一 ， 刀 ” 刃 其 中 ， 。 。 有 限 ， 根楼 弓 理 便知道 。 其次 七 · 吸 运 是 因 得夕 尤 ， 夕产 才 厂 引 甜叼’ 甜 尤 ， 汉， 忍， 厂召 “ 才 才 陀 尸、 运视 月 是 了阶常数 ， 德 引理 比才 子 一 雌 仪 日 子 别 人邓 十 ， 是有 限 的 。 之的 ， 且 汉 一 刀，夕‘ ， 。 、 一 几 ， 夕 、 十 夕 川表 示 刀” 中的 里别 测度 。 所以 ‘ 只 一 弓 〔 一、 ， ， 另 习 ’ 夕 才 〕 气 再其次 ， 泌资 左 ， ‘ 口“ ‘ · 刀 ’ 州 丫 一 。 刃 ’ 又 夕 荡 视 刀 是 惆 ‘ 常 敷 ， 己才 汉 刀 ’ 尸 一 画 一 万 一 画万一、 ” 刀 ” 空 阴 中妙默几 、 ，才 一 ， … … ， 、 ， 才 ， … … ， 才， ， 故 ，， 。 但 夕 中 、 了 ， 故 八 “ 故在夕“ 那 声 龙 十 亢 儿 一 ￡ 二卯
第二期 -117- 故I,+I:+I3有限，證完。 [引理7〕設人(，)在無限城2×2上个乎條件（人)，面是有限域 {目4·北}0，那末當r=i一t‖，5，e,有 (1 2-25）常4-20， h(s,u)h (n1.du= 0(.1 常u一2=w,U,是任意小正数， 、)(1) 常1-20<0， 註：如渠限制s,1也在扩服域'中，這哮即理4，由M MXAHH證明了，现在根 據這個證法爲基礎，考虛到5,1可以仲圾到無限域，放稍须攒張。 證：首先股s限制在‖s‖<1中，，充分大，下看需要來决定。邢未因篇是 在有限域Q'中，做能有允分大正数存在（置在可取比。=+，）使 2o={u|川u-sf1hn}pg, g”,,“d·移動坐標使s作 肥1s-‖=Y1,‖t-北目=，故·11A- 母除點，义换赞数和=号=（宁，号，，），范褪=51，义配=， 並最後换禽板坐標(P,91,·,B-1),详細悉照MnXAMH:積分方程論第74頁處理，可见 2 A4. (2)-2〔j p-1 dodo 一n-d十 o' y4-2 P<2(p:-2°c0s01+1)2 (2r p-Idede 2一d 2∠p<7 (p:-2Pc0s01+1)2 方括號丙雨個重税分分别記作11，【2。在1裡p心-12心一1，赭果1是有限的。 布1：起，健用p-20,+1≥（0-1），放 2pu-28+1dn, 2*-8 4-281 故 （-(n-28) 〔（）- 24-2J, 當h-2∂U, I≤ ， 當4一20=， 仁1么2对-” 當u-20<0o
第 二 期 故 ， 十 十 有 限 ， 蹬完 。 〔引理 〕 没尤 ，约 在舞 限域 企 夕 上介 一 乎倏件 ， 、 · 〔 左 召 ， 那末 常 ，一 ‘ 一 分 。 ，， ‘ ， “ 刀 ， 有 一 而 穿 是有 限域 骊 常 “ 一 分 一 “ ， 龙 子 。 了 、、 护 了 几厂 扣 ， 、 夕左 忍 ， ， 、 、 一 尹 常 “ 一 。 一 。 ， 二 · 。 ， 是 任 意小 正数 。 常 ” 一 ‘ 、 。 ， 赴 如 果 限 制 ， ， 才 也在 有 限域 二‘ 中 ， 退 畴即 引理 ， 已 由 。 人 。 蹬 明 了 ， 现在 根 捺道佃 橙法 焉某磅 ， 考店 到 ， 可 以 伸展 到艇 限域 ， 故 稍须毅 张 。 蹬 首先 没 ‘ 限制在 列 刀 中 ， 方 充 分大 ， 一 面看需要来决定 。 那末 囚 焉 “ 是 在有 限域 穿 中 ， 故能 有充分大 正数 坑存在 贫在可 取 刀 。 一 方 十 方 使 夕 。 一 川 “ 、 一 、 二六 。 口 “ ， 言已 】 一 、 】」一 尹 ， ‘ 一 “ 一 洲” 故 绍 ‘ 一 山 儿 尹 《了 之刀 。 汉祝 少 力 一 。 少 刀 一 ’ ，一 ， ， 移勤 坐裸 使 作 熄原黔 ， 父换谜数 业续俊换焉枢坐镖 带 ， 乍 ， … … ， 今 夕 ， 泣视 尸 一 了 了 又甜 。 二 “ ， 刀 一 ︷夕 一 公 日 ， … ， ， 一 、 ， 祥韧 悉照 “ ” 枝分方程谕第 真虚 理 ， 可 见 井 甜 ’ 且 ‘ 尹一 。 ” 一 〔 了 。 一 汉。 日 户盯， 了‘、、 户长 一 “ 口， 邓 一 ” 欲 一 己。 。 刀 了， 尹 丫护 。 公 一 口 口 一厄 方括脱内雨 佃 重袱分分别 耙作 ， 。 在 视 。 一 工 肖一 ， 粘果 茫 有限 的 。 、 一衅 在 挫 才 ， 攫 用 一 。 夕飞 十 全 一 ， 故 ， 李 兰 口 “ 口 了 一 一 — 一 《 乙 尸 龙 一 占 邓 一 一 ” 一 刀 。 一 〔 牛 一 工 渡。 凡 一 别 了 〕 富 ，一 八 ， 。 ， 汀 了界令 ， 。 一 邓 尸 一 刀 富 。 一 一 二 ， 赏、 一 。 。 。 了 、 诬 三 … 故
-118 鋼院學報 第一個情形說，對於川5川·1的s應取定∥值後，式子有界。封於【s‖≥1 的每-一5相随要取更大的龙代替。，此時数然第-一式仍成立，故一2)，·情形下， 1,有界，因此，)(2)算磁。其火猫0-2=0時，封於Is,故對於這樣的5,4有 a,)a可1么，+A+e=0(1), 因此不論s在2中任何位橙，當u一25=0恒有，)(0gr）。對於%一26)， 當r0,K:(s,)= o是) 當u-28=(0s是任意小1正敷，（5) (0(1) 當n-28)4,使得在2上，有 1(,)1<A Is月+ao 據引理7知(*)分别在三情形下，有 0(1 -25）,， |五(，)K(,s)Idu= 0(1), (A) (1)。 (*)這裡(A)式是指對無限域2中的一對5，（值來說成立，故與引理4情形不完 全相同，故此應引用引理7
一 分一 如 院 祭粗 第 一 侗情形 视 ， 封朴 ‘ 二刀 的 积 瞧取 定 刀 。 植俊 ， 式 子有界 。 封 朴 全 左 的每 一 ‘ 相 瞧要取 更大 的 方 ， 代替 方 。 ， 此 畴从然 第一式仍成立 ， 故 ” 一 勘少 有界 ， 因 此 万产 卫 ’ 厂尤召 真 催 。 其次常 “ 一 一 口 降 ， 封聆 】 ‘ 取 定上面 的 左 。 来靛 ， 道 晗 一 口片约 成立 ， 而 封转其除 的一 切 。 情形 一「， 有限域 ‘ 值 ， 式子 具 中的 刀 、 ， 了粤 就毋效 。 、 在 先限制 一么 ， 亚取 “ 飞 一 “ ， 故“ · ‘全 价 」上 ‘ 一 一 夕 刀 ， 故封朴道株 的 ， 才 有 。 ， 尤 、 ‘ 、 口 方 尤 邓 十 刀邓 十 “ 几产 · 一 ， 因此不谕 在 甜 中任何位置 ， 富” 一 占一 “ 恒有 厅 了， ‘。 、 犷 。 甜 ， 封朴 ， 一 。 峙 ， 也 是分别 ‘ 左， 典 ‘ 全 左 二 情 况 ， 。 之， 〔下一 龙 、 土 ， ， ， ， ， 一 、 ， “ 。 省租檬 ’ 三 一 再 二石 一 一 ” 厂一卫 一 一 、 、 声 一 路 “ ’ 。 ， 、 。 叹 — 二二尸 〔 少 、 犷邓 一 艺。 ’ 二矛二 一 尸 沙 一 “ ， 徒 一情 况 同 刚才 的虚理 。 腮之 ， 引理 橙完 。 一尸 杯仁︸姗曰了厂‘ 卜 故 恒有 〔定理 〕 没 ，才 乎 倏件 尤 。 榷 切地甜 ， 在热限域 夕 夕上合乎 嵘 件 尤 ， 那 宋叠核 ， ， 也合 有 一 工 、 产 一 一产 泞汀‘、、 、‘ 赏 尸 ， 尤 ‘ ， 砂 一 赏 ， 兀 ，约 一 橙 先根挨 左 ‘ ， 约 口 ‘ — ， 龙 十 ’ 尸 常、 一 ， 富、 一 一 是任 意小 正数 ， 常、 一 ， 定羲知 尤 ， 可 绍 二 ，才 二 ， 二 份 厂 ， 尹 卫 ， 产 夕 ” 是理 剩 一 王川 川 少 方 夕 ， 使得在 酬 上 ， 有 尤 ，才 ” “ 攘 引理 知 分别在三情形下 ， 有 ‘ “ ， 。 序 而奋 ， 二 叼， 硬， 又 一一 二 一 一 币万 一 尹 ，‘ 一 ‘ ， 一 产 ， 。 、‘ 一 ， 是捏 式是 指封熟限域 中的一封 ， 他来就成 一龙 ， 故 典引理 情形不 完 蚕相 同 ， 故此 磨引 用引理
第二期 一119- 另外，究‖s背→o∞导有稍分的性態、因在Q'上，4‖， 故可送'>B光分大，常t月·'，便可使‖-t非” >,”。是常數（兒阁)，现作常‖s【·公，要签圳戳分 ∫1K(a,)1K(,)1$（-1 a' 1s月”+“）到t均匀 地成立，於是分篇‖t與1川≤”'二情形來考感， 嚣11>'， s里+“+ag is∥+）, 而當目t‖≤化可以找到常数心">U,對於运的任-…1值，有 h) 'g2={u1lu-t背I"}, 月sIr+c行 n+a)。呀以 短别了，（雨（：。）签10均与地收立，图 理赏1川→0，亦有0(1 )的地宽位。 其次究當着s‖充分大，有 复a0网1，故 K（s,)F(,可u· g120+如0，不胎？如何，运友示伦是有 界的，故常然东悲0(2站)，放定理置完。 〔定理3〕设K(s,t)在無限城：×2上合乎藤件（人），那术只要是充分大的 E格數，使得一g<o,那术，-楼Kn(s,t)使是酬弗氏('redhel)核，即 合乎
第 二 期 一 一 另 外 ， 先 ‘ 畴右 租分 的性怨 。 故可攫 ， 少 左 充分大 ， 常 州 ， ， ， ， 夕 口 ， 尸。 是常数 兑 右 圆 因在口 上 ， 川 了 一 左 ， 便可 使 二 一 引 户 心 ， 几 ’ ， 要靛 明植分 交卜 斗 ， “ 寿 ， ， 、 “ ，· 夕， 地成立 ， 朴是 分焉 州 赏 ‘ 少 · 刀 ‘ ， 现在 常 ￡ 汉。 等 力令 ‘ 一 划 均 匀 、 ， 了￡ ’ 典 州 兰 ’ 二情 形来老 虑 ， 刃 「一 汀卜万 护，、卜一 匕 盯 一 —— 一一一— 汀 硬忍 。 了 招 ，、 尹 日 刀 ，存 汀 “ 川 ” ‘认 ， 十 。 ‘ “ 一 材 ， 而常 三 韶 可以找到 常数 解 创夕 。 一 、 君 ’‘夕 。 ， 封 聆适 畴的任 一 位 ， 有 、 一 才 刀 ’ ， 故 厂 ， ‘ 尹 甜 产 龙 十 召 。 、 ，， ‘ 、 力。 户 叮 十 一 厂， 下万弄杏 石而 夕以 蹬明 了 、 ，， 一 片 一 林 刁 召 ‘ ‘ 、 一 工 、 合 “ 丫 ‘ 的 均 匀地成立 。 同 理 常 】 加 ， 亦有 西 。 均 匀地成立 。 其次完 常 了 充分大 ， 有 夕 ” ， 二 ， 汉、 、 、 探 十 下上 叼 刀 十 一 向 恤 ， ‘ ‘ 雳丈瓦乃 “ 认 甜 ” ， 。 甜 ” 允 均匀地封 才 成立 ， 同理 一 也知 赏 圳 充 分大 ， 便有 最徒竞尹 一 、 。 特 的性怨 ， 因焉在穿 ， 中有 、 又 一一一 丽丁蕊 少均 习地封 成立 。 ‘ “ 丁 少 刀 ， 故 厂 刃 ’‘ 俨一 兰 忽 十 ， ， ， 夕 ‘ ‘ 厂瓦 乡 、 一 的 ， 不谕 尹 如 何 ， 运 表示 它 是 有 界的 ， 故常然 亦是 尽 一 ， 故 定理 蹬完 。 〔定理 〕 没兀 ，才 正整数 ， 使 得、 一 了 ‘ 。 口 ， 合乎 在熟 限域交 夕 上 合乎 株 件 万 ， 那 末只 要、 是 充分大 的 那 末 ， 典 核 ， 二 ‘ ， 约 便 是 涸 弗氏 尸“ 加’ ‘ 核 ， 即
一120- 網院學報 ikam (st)ds Q×Q 證：當一28時，五：（，)行界，所以K:（5,)以皮以下作下去各偕核都 有界。常-25=心，因倍K(s,)=(】)，面e任意小，稳可以使，時，一般地就，有 0（4)， K,(s,)= /0(1+a),p→+oo, 0(,1 -8)，u h9(s,1)= 0(+a)，→+o。 照此下去，當2一2”6<o,則Ks,)在任意有限域上行界，故欲Q=+”,g 鴛球， 則lKm(s,)lsd.o。在”×"上，知 g'2' 1Km(,1“s=f0(一是 2"" `s复"+“1ta)s= git10+e）=0(1), =0(Rs+a《1 同理，域g×2”也有此精果，故K(5,)1:(×2)，證完o 〔定理4]定義在無限域上合乎喉件（下）的核所生成的算子（2），是：（2) 上映人：(2)的全速毅算子。 證：設B=H*A,A*表示4的共軛算了，那未B是核K:(5,)相應的算子，一般 地K:n(s,1)相應的算了是B心，注意.的白轭性，依〔2〕C.82引理2，以 及谢才所證的定理3，所以算子B,因喻算4=人(s,)c(t)1,是全速獭算子， 證完。 4.在有界連續函數空間C*(2)的結果 設C*(2)表示定義在？域（可以是無限域）上行界速被阿数的全體。范數依幕 常上碓界方法來確定，易見C*(2)成禽一個巴，(：ch)空間。指n导算子(2) 作用於(U*(2)中任-一個元心(1)，我們要水摇究算了（2）在以('休(2)篇定義城 時的性質。我們呼 K(s,)合乎條件(K*)一一乃×P上的核K(,)除合乎絛件（五）外，更假 設它除了在s=t的黜以外是蓮精的
一 州 一 一 铜 院 祭粗 ，，， ，才 才、 之加 ， ，了姿 ， 夕 ， 口 夕 蹬 常 ” 一 己 口 日寺 ， ，才 有界 。 赏 二 一 占一 口 ， 因 得尤 ， ， 均 有界 ， 一 口 所以 尤 ， 约 以 及以 一 扩作 下去各陆朴核都 ， 而 。 任 意小 ， 耙可 以使 “ 答 艺 ， 那 尹︷‘ 末依 定理 ， 运 情形 一 「尤 ‘ ，约 有界 。 现在 常 “ 一 少 峙 ， 一般 地靓 ， 有 ， ， 约一 尚 六 尹 ， 头口 户一 十 。 ， 厂月、 尹 口 一别 一一 尹︶ 尤 、 ， 才 一 又 一二 、 十云夕 ， 尸 ， 一 十 浏 。 尸 、 、 、 照 此下 去 ， 焉 刀球 ， 富 、 一 叨 。 。 ， 只巧 叨 ， ， 在 任意有 限域 上有界 ， 故没 刀 一 左‘ 十 口 ‘ ， 口 、 。 、 一 一 ‘ “ “ · “ ‘ 一 了〔 ‘ · ” ‘ 招， ， 】 ‘ “ 。“ 一 少 ‘， 二“ 丫 ‘上 ， 知 ，‘ 一卜“ ， “ “ ’ 才 甜 ‘，甜，’ 刀，’ 介， 一 口 几 。 ， 一 气 。 几 ， 才 了、 。 一 川 ， 同理 ， 域 了 口 ‘ 也有 此精 果 ， 故 尤 娜 “ ， 劝 “ 尸 刀 又 夕 ， 蹬完 。 〔定理 〕 定羲在熟限域 上合乎倏 件 万 一 的核所生 成 的算 子 ， 是 尔 夕 上映入 儿 。 的全速植 算 子 。 蹬 投 了一 只 般以 ， 水 表 示 过 的共妮 算 户 ， 那末 召是核 ， ， 约 地 优 ‘ ， 相 瞧 的 算 一 ’ 是 方 “ 一 ， 注 欲 份 “ 的 自扼性 ， 依 〔 〕 相 瞧 的算子 ， 一 已 弓 理 ， 及 刚才所蹬 的定理 ， 橙完 。 所以 算子 “ ， 因‘“‘算 」 、 ‘ 一 ， 。 仁约 心 ， 是全速擅算子 ， 在有界速精函教空简 口 夕 的桔果 毅 己 夕 表 示 定羲在 月 域 可 以 是煞限域 」有界越糟 函数 的圣艘 。 范数依葬 常 上榷界方法 来碾 定 ， 易兑口 夕 成 焉一惆 巴 拿 赫 刀、 的 空周 。 范 吟算 子 作 用朴口 夕 中任 一 锢 元 、 ， 我 们要米推究 算 子 在 以 已 夕 焉 定羡域 畴 的性臂 。 我俩 哄 巧，二介于梦什 夕 一 乃 “ “ “ 上 的核 兀 ‘ ， ‘ 除合乎倒卜 娜 外 ， 到段 毅 它除 了在 ‘ 一 才 的默以外是莲掖 的
第二期 -121- 〔引理8]設人(s,)在無限域Q×卫上合乎條件〔K*〕，則作在不率涉镂數， 的雨個常數，‘，)使 K(,)Id,K(s,)sR附個情形。當1s‖≤，則域‖t‖·被合於域 日t-s‖·2龙中。命r=1s-t1,故 目(s,)11K(s,)1+B,- lt-s‖2 ∥t月一-1自0+a B,則1K(s,)1t1K(s,)1d1+ B dt ItE ItIe∥t月n+a ~4s dt+ B1, ‖t‖. ahi 亦是個常數，這證明了引理。 〔引理9〕設2是無限域，人(5，)是2×2上的弱奇性核，那末當‖s-'!→， 就有n1K(s,)-六()1d1→心 :先分每。一g超程-10)，远至允分大，可從 到於任意給定正數，行 K(s,）-K(s,'）1pK(,）1+K(s,'）1d. 21 dt 2A hn +a= 20 it>~h目t1 2l1a 選定後，是有限域，我們要證明存在>0，使當【5一s'1<,則 K(s,)-K(,)1<20 先限制‖s一sⅡ<，，下面即将選定。故 |IK(,1)-K(s,')1dt= + =1,+12, a' 'n{川t-s1.2}p'n{‖t-s‖≥2i} 在I1裡，因僑引t-s‖·2，故‖t-了≤目t-s‖+川s一s‖.<31。故 1≤1,91+/1K心，)1H46(2o)d+4么(8)d 川t-s1lo 月t-s'18io
第 二 期 一 〔引理 〕 没 ， 约 在熟限域犯 又 夕上合乎倏 件 〔 勺 ， 创 存在 不 牵涉砂数 ， 的雨佃常数 ， 召 ， 使 ，、 ， ， 口 夕 蹬 依倏 件 ， 存在 左户 。 使常 封 二 夕 ， 现在 分焉 了 二 刀 ， 万 少 几 才一 了二 召 中 。 命 尹 一 一 才 ， 故 尤 ， 。 〔 ， 夕 了 便有 左 ，才 雨佃情形 。 常 】 三 人 ， 只 域 才 了 厅 十 ， 儿 被含朴域 户 、 刀 廿 ︸ 击 一 ‘ ’ “ “ 一 夕 】 才一 尤 ， 《 一卫刀 ‘ 十 才 想 十 工 了行一 一 刀 夕了 多 ‘ 才 刀 ， 风 ， — 十 — 潍 一 “ 厂 石 走击 艺尹 月 飞 左， 占 一 一 常教 几“ 不 牵涉 。 尤 ， 才 尤 一 ‘ ，“ ‘ 才 亡 才 】少 左 召 才 才 一 沁 方 了瓦 夕 少，口‘了 而 赏 ‘ 少 ， 刻 了 才十 〔刀 亦 是佃常数 ， 症 蹬 明 了引 理 。 〔引理 〕 毅 夕 是热 阻域 ， ， ， 约 是夕 夕上 的弱奇 性核 ， 那末常 ‘ 一 了 叽 尤 ， 才 一 ‘ 才 “ · ， 橙 先分焉 ， 运铿 夕， 丫 ‘ 一 才 少 左 ， 介 夕 ， 刀选至 充分大 ， 可 使 ‘ 尹口犷 十 夕 了 一 护 拐︸ 封朴任 意拾 定正数 “ ， 有 ， 尤 一 ‘ 一 尤 一 “ ，、 ‘ ， ， ， ， 了尤 ， 尸 ， ， · 了 · ‘ 犷 ‘ 汪 一 方 一 攫 定徒 ， 才 机 才补和一 · ‘ 一 、 了 犷 是有 限域 ， 我们要橙明 存在 写少 “ ， 使常 一 了 〔 叼， 沙 ，才 一 ， ‘ “ ‘ 一 孙 几 刀 先限制 一 叼 。 ， 叼 。 下面 即将攫定 。 尤 ‘ ， ‘ 一 尤 ‘ ， “ 刀， 在 挫 ， 因得 一 招， ‘ 一 泞 一 · 刃 。 ， 故 才 才一 了 ‘ 刃 一 ， ， 才一 全 ， 。 故 刃 。 故 、 一 ‘ ‘ 尤 ·’ ， ‘ “ ‘ 才 二 、 、 ， “ 注 路 趁 仁乙 子 。 夕 众 万 了 — 一 “ 一 一二— 一 十 一 二 一 咬 ，。 ，
