知向量组a1,a2,…,a,线性相关。 定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等 证明设a1,a2…,an和B1,B2…,BnKm中的线性等价的向量组。设向量组 4,a12,…1和B1,B2,…,B,分别是原向量组的极大线性无关部分组,则由线性无关 部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于 a4,a2,…,a1可将Bn,B12…,B中的每一个向量线性表出,知r≥S(否则由引理知向 量组a1,a2…a1,线性相关,矛盾)。同理S≥。于是 F=So 推论任意向量组中,任意极大线性无关组所含的向量个数相等。 定义(向量组的秩)对于Km内给定的一个向量组,它的极大线性无关组所含的向量 的数量称为该向量组的秩。知向量组    s , , , 1 2  线性相关。 定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。 证 明 设 1 2 , , ,   n 和 1 2 , , ,    m m K 中的线性等价的向量组。设向量组 r i i i , , , 1 2  和 s  j  j  j , , , 1 2  分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关 部分组 的定义 和线性 等价 的传递 性知此 二极 大线性 无关部 分组 线性等 价。 由于 r i i i , , , 1 2  可将 1 2 , , ,    j j jt 中的每一个向量线性表出，知 r  s （否则由引理知向 量组 r i i i , , , 1 2  线性相关，矛盾）。同理 s  r 。于是 r = s。 推论 任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。 定义（向量组的秩） 对于 m K 内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量 的数量称为该向量组的秩