B 将(i)代入,得 ∑∑ka=∑∑ka=∑Ck 即y可被a122…,an线性表示 由此易推知 命题线性等价是Km的向量组集合上的等价关系 215向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩 定义(向量组的极大线性无关组)设a1,a2,…,a,为Km中的一个向量组,它的一部 分组∝1,a1,…,a,称为原向量组的一个极大线性无关组,若 (1)a1,a1,…a,线性无关; (2)a1,a2,…a,中的每一个向量都可被an,1,…,线性表出。 容易看出向量组a,a2…、C、和B,B2…B,如果a1,a2,…a,可被 a,线性等价 引理给定Km上的向量组a1,a2,…,a, B1,B2,…,B线性表出,且S>F,则向量组a1a2,…a,线性相关 证明由于a1,a2,…,a,可被B1,B2,…B线性表出,故存在k∈K,使得 a1=k1B+k12B2+…+k1B a2=k21B+k2B2+…+k2B a=k,B+k2B2+…+kB 设 xa.+x x.a.=0 将(*)代入(**),得 C∑k月+∑k2x)月2+…+Ckx=0 设各系数均为零,得到 ∑k=∑k2x=…=∑kx=0 凇 (**)是一个含有r个未知量和s个方程的其次线性方程组,而S>r,故方程组(**) 有非零解,于是存在不全为零的x,x2…,x∈K,使得(**)成立。由线性相关的定义即= = s j j j l 1   . 将（i）代入，得 1 1 1 1 1 1 ( ) s r r s r s ij i ij i ij i j i i j i j     k k k = = = = = = ===     ， 即  可被   r , , , 1 2  线性表示。 由此易推知 命题 线性等价是 m K 的向量组集合上的等价关系。 2.1.5 向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩 定义（ 向量组的极大线性无关组） 设    s , , , 1 2  为 m K 中的一个向量组，它的一部 分组 r i i i , , , 1 2  称为原向量组的一个极大线性无关组，若 （1） r i i i , , , 1 2  线性无关； （2）    s , , , 1 2  中的每一个向量都可被 r i i i , , , 1 2  线性表出。 容易看出向量组    s , , , 1 2  和 r i i i , , , 1 2  线性等价。 引理 给定 m K 上的向量组    s , , , 1 2  和    r , , , 1 2  ，如果    s , , , 1 2  可被    r , , , 1 2  线性表出，且 s  r ，则向量组    s , , , 1 2  线性相关。 证明 由于    s , , , 1 2  可被    r , , , 1 2  线性表出，故存在 ij k K  ，使得 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . r r r r s s s sr r k k k k k k k k k              = + + +   = + + +     = + + + （*） 设 1 1 2 2 0 s s x x x    + + + = . （**） 将（*）代入（**），得 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 s s s i i i i ir i r i i i k x k x k x    = = =    + + + = . 设各系数均为零，得到 1 2 1 1 1 0 s s s i i i i ir r i i i k x k x k x = = =    = = = = ， （***） （***）是一个含有 r 个未知量和 s 个方程的其次线性方程组，而 s  r ，故方程组（***） 有非零解，于是存在不全为零的 1 2 , , , r x x x K  ，使得（**）成立。由线性相关的定义即