第一学期第五次课 214向量组的线性等价和集合上的等价关系 定义(线性等价)给定Km内的两个向量组 B1,B2,…,B, 如果向量组(**)中每一个向量都能被向量组(*)线性表示,反过来向量组(*)中的每个 向量也都能被向量组(**)线性表示,则称向量组(*)和向量组(*)线性等价。 定义(集合上的等价关系)给定一个集合S,S上的一个二元关系“”称为一个等 价关系,如果“~”满足以下三条 (1)反身性:Va∈S,a~a; (2)对称性:a,b∈S,如果a~b,则b~a (3)传递性:若a~b,b~c,则a~c 与a等价的元素的全体成为a所在的等价类 命题若a与b在不同的等价类,则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了 等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并 证明记a所在的等价类为S,b的等价类为Sb。若它们的交集非空,则存在 c∈Sa∩Sb,于是有c~a,c~b。由等价关系定义中的对称性和传递性即知a~b,与a 和b在不同的等价类矛盾。这就证明了a和b所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等 价类的并集,又集合中的任一个元素都属于一个等价类,于是集合是等价类的并集。 综上可知,命题成立。证毕 命题给定Km内两个向量组 (1) B1,B2,…,B (2) 且(2)中每一个向量都能被向量组(1)线性表示。如果向量y能被向量组(2)线性表示, 则y也可以被向量组(1)线性表示 证明若向量组(2)中的每一个向量都可以被向量组(1)线性表示,则存在kn∈K (1≤i≤r,1≤j≤s),使得 B,=∑k 由于y能被向量组(2)线性表示,故存在1∈K(1sj≤s),使得第一学期第五次课 2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系 定义（线性等价） 给定 m K 内的两个向量组   r , , , 1 2  ， （*）    s , , , 1 2  ， （**） 如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个 向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。 定义（集合上的等价关系） 给定一个集合 S ， S 上的一个二元关系“~”称为一个等 价关系，如果“~”满足以下三条： （1） 反身性： a  S, a ~ a ； （2） 对称性： a,bS, 如果a ~ b，则b ~ a ； （3） 传递性： 若a ~ b，b ~ c，则a ~ c。 与 a 等价的元素的全体成为 a 所在的等价类。 命题 若 a 与 b 在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了 等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。 证明 记 a 所在的等价类为 a S ， b 的等价类为 b S 。若它们的交集非空，则存在 Sa Sb c  ，于是有 c ~ a，c ~ b 。由等价关系定义中的对称性和传递性即知 a ~ b ，与 a 和 b 在不同的等价类矛盾。这就证明了 a 和 b 所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等 价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。 综上可知，命题成立。证毕。 命题 给定 m K 内两个向量组   r , , , 1 2  ， （1）    s , , , 1 2  ， （2） 且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量  能被向量组（2）线性表示， 则  也可以被向量组（1）线性表示。 证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在 kij  K (1 i  r, 1 j  s) ，使得 1 r j ij i i  k = =  ( j s =1,2, , ) . （i） 由于  能被向量组（2）线性表示，故存在 l j  K (1 j  s) ，使得