第6期 朱维耀等：纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 711· 流态不涉及自由分子流.微米级孔隙内的流动为连 10 续流和滑移流，当孔隙直径大于50μm时，流体流动 均为连续流动，压力增高使得部分滑移流转换为连 续流：纳米级孔隙内的流动多以过渡流、滑移流为 主，压力增高使得部分转换为滑移流或连续流 10 A ---d=50μm ---de10μm 10 d=1 um ---d=300nm 10 ---d-10nm 10-2L 19 102 10 10 1010 103- 克努森数，初 10- 连续流区 图3渗透率校正系数随克努森数变化的双对数曲线 10 Fig.3 Double logarithm curve of permeability correction coefficient changing with Knudsen number 10 10 p/MPa 1.3模型简化及推广 图2不同尺度下的克努森数与压力的关系 在压力为0.1~100MPa范围内，由图2可以看 Fig.2 Relationship between Knudsen number and pressure for dif- 出，对连续和滑脱流区，克努森数Kn小于0.1.二 ferent pore throat diameters 阶及高阶项可以忽略，用一阶泰勒展开式的前两项 1.2纳微米级孔隙气体流动模型 来表示Beskok-Karniadakis模型中的渗透率校正系 流体在多孔介质内的流动问题通常可以用达西 数，则 定律进行描述.然而，达西定律是一个基于宏观观 ≈ 器“-号4 (6) 测的实验定律.对于纳微米级孔隙多孔介质，其内 部孔隙结构复杂，气体流动过程中与纳微米孔道表 Kn ≈Km(1-Kn+Kn2), (7) 1+Kn 面发生剧烈碰撞、扩散作用，同时由于滑移等现象的 联立式(5)~(7)，可得 存在，不能用简单的达西方程所描述☒ Beskok-Karniadakis模型得出了在连续介质、滑 5=1+4kn-4n2+52m_ 5m2- 移、对流和不同分子类型下的渗透率的变化-， 8192Kn22,2048Kn24 从而得到渗流速度为 45m2+ 15m2+o(Km). (8) e=-+1+k)出 将式(8)的渗透率校正系数！代入式(3)的渗 (3) 流速度公式具有很强的非线性特征，不易求解，应用 式中：K为多孔介质渗透率为气体黏度；x为两个 价值不大.因此，对式(8)得到的渗透率校正系数进 渗流截面间的距离；α为稀疏因子；b为滑移系数， 行简化，只取其前两项. 通常被指定为-1.稀疏因子α是唯一的经验参数， =1+4Kn. (9) 由Beskok-Karniadakis给出： 在此，引入多项式修正系数a,即在克努森数 128 Q= 15an(4Kn) (4) Kn上乘以一个修正系数a,对式(9)进行修正，使简 化后的二项式在计算中能够保证较高的精确度.由 在此，引入渗透率校正系数(，定义如下： 此得到纳微米级孔隙多孔介质内气体流动模型，其 (=1+a1+%） 渗透率校正系数为 (5) =1 +4aKn. (10) 图3为渗透率校正系数（随克努森数K变化 利用式(11)最小二乘法分段拟合方法，与Bes- 的双对数曲线.此处，克努森数数值越接近于零说 kok-Karniadakis模型得到的渗透率校正系数进行拟 明孔壁的影响越小，可以忽略：克努森数数值越大说 合，得到最为匹配的a值. 明传输定律需要校正而不能用没有考虑滑移的达西 p=∑(Y-y)2 (11) 定律 其中，第 6 期 朱维耀等: 纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 流态不涉及自由分子流． 微米级孔隙内的流动为连 续流和滑移流，当孔隙直径大于 50 μm 时，流体流动 均为连续流动，压力增高使得部分滑移流转换为连 续流; 纳米级孔隙内的流动多以过渡流、滑移流为 主，压力增高使得部分转换为滑移流或连续流． 图 2 不同尺度下的克努森数与压力的关系 Fig． 2 Ｒelationship between Knudsen number and pressure for dif￾ferent pore throat diameters 1. 2 纳微米级孔隙气体流动模型 流体在多孔介质内的流动问题通常可以用达西 定律进行描述． 然而，达西定律是一个基于宏观观 测的实验定律． 对于纳微米级孔隙多孔介质，其内 部孔隙结构复杂，气体流动过程中与纳微米孔道表 面发生剧烈碰撞、扩散作用，同时由于滑移等现象的 存在，不能用简单的达西方程所描述［12］． Beskok--Karniadakis 模型得出了在连续介质、滑 移、对流和不同分子类型下的渗透率的变化［13 － 14］， 从而得到渗流速度为 v = － K0 μ ( 1 + αKn ( ) 1 + 4Kn 1 － ) bKn ·dp dx ． ( 3) 式中: K0为多孔介质渗透率; μ 为气体黏度; x 为两个 渗流截面间的距离; α 为稀疏因子; b 为滑移系数， 通常被指定为 － 1． 稀疏因子 α 是唯一的经验参数， 由 Beskok--Karniadakis 给出: α = 128 15π2 tan － 1 ( 4Kn0. 4 ) ． ( 4) 在此，引入渗透率校正系数 ζ，定义如下: ζ = ( 1 + αKn ( ) 1 + 4Kn 1 + ) Kn ． ( 5) 图 3 为渗透率校正系数 ζ 随克努森数 Kn 变化 的双对数曲线． 此处，克努森数数值越接近于零说 明孔壁的影响越小，可以忽略; 克努森数数值越大说 明传输定律需要校正而不能用没有考虑滑移的达西 定律． 图 3 渗透率校正系数随克努森数变化的双对数曲线 Fig． 3 Double logarithm curve of permeability correction coefficient changing with Knudsen number 1. 3 模型简化及推广 在压力为 0. 1 ～ 100 MPa 范围内，由图 2 可以看 出，对连续和滑脱流区，克努森数 Kn 小于 0. 1． 二 阶及高阶项可以忽略，用一阶泰勒展开式的前两项 来表示 Beskok--Karniadakis 模型中的渗透率校正系 数，则 α≈ 128 15π2 [ 4Kn0. 4 － 1 3 ( 4Kn0. 4 ) ] 3 ， ( 6) Kn 1 + Kn ≈Kn( 1 － Kn + Kn2 ) ， ( 7) 联立式( 5) ～ ( 7) ，可得 ζ = 1 + 4Kn － 4Kn2 + 512 15 Kn1. 4 π2 － 8192 45 Kn2. 2 π2 + 2048 15 Kn2. 4 π2 + ο( Kn3 ) ． ( 8) 将式( 8) 的渗透率校正系数 ζ 代入式( 3) 的渗 流速度公式具有很强的非线性特征，不易求解，应用 价值不大． 因此，对式( 8) 得到的渗透率校正系数进 行简化，只取其前两项． ζ = 1 + 4Kn． ( 9) 在此，引入多项式修正系数 a，即在克努森数 Kn 上乘以一个修正系数 a，对式( 9) 进行修正，使简 化后的二项式在计算中能够保证较高的精确度． 由 此得到纳微米级孔隙多孔介质内气体流动模型，其 渗透率校正系数为 ζ = 1 + 4aKn． ( 10) 利用式( 11) 最小二乘法分段拟合方法，与 Bes￾kok--Karniadakis 模型得到的渗透率校正系数进行拟 合，得到最为匹配的 a 值． φ = ∑ ( Y1 － Y2 ) 2 ． ( 11) 其中， ·711·