16.设A是R中的可数集证明存在x0∈R,使得A∩⌒(x+A)=Q 提示令E={x-y:x,y∈A},则R-E≠ 17.证明[O,1]×[o,1]-[0, 18.设{An}是环中的一列集.证明存在中一列互不相交的集{Bn},使得 FUB, UA,=U 19.证明:集类A是一个代数当且仅当4是一个包含全空间X的环 20.若牙为代数并且对不相交可数并运算封闭,则为一代数 21.设X是一无限集.证明 H={A:A或A是有限集} 则是X上的一个代数,但不是G-代数 分={A:A或A是至多可数集} 证明是σ-代数 2.设了是X上的a一代数,EcX令={E∩A:A∈}.证明5是E上 的σ一代数 23.设A是X的一个非空真子集.证明σ(A)={必,X,A,A} 24.举例说明X上的两个a一代数的并不一定是-代数 设AcX,令C={E: ACECX},求O(C) 26.设C为一半环,R(C)是由C生成的环.证明o(C)=a(R(C) 27.设C是一非空集类证明对每个A∈(C),都存在中一列集{An},使得 A∈a(A,n≥1) 提示:令={4:存在{An}cC,使得A∈o(An,n≥1)}.证明是包含的C 的-代数 28.设∫:X→Y是X到Y的映射,C是Y上的集类.证明 (f-(C)=f-(o(C) 其中f-(C)={f-(E):E∈C} 提示:令丌={A:A∈G(C),∫(4)∈(f-(C)}.则是一个σ-代数 9.设xa∈R”,p>0.证明 (i)x0的r-邻域U(x0,r)是开集 (i).S(x,r)={x:d(x,x0)≤r}是闭集39 16. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明存在 x0 ∈ , 1 R 使得 ( ) . A ∩ x0 + A = ∅ 提示: 令 E = {x − y : x, y ∈ A}, 则 . 1 R − E ≠ ∅ 17. 证明[0,1]×[0,1] ~[0,1]. 18. 设{ } An 是环 R 中的一列集. 证明存在 R 中一列互不相交的集{ }, Bn 使得 U U U U ∞ = ∞ = = = = = 1 1 1 1 , . i i i i n i i n i Ai B A B 19. 证明: 集类A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环.. 20. 若F 为代数并且对不相交可数并运算封闭, 则F 为σ − 代数. 21. 设 X 是一无限集. 证明 (i). 令 A { : 或 是有限集}. c = A A A 则 A 是 X 上的一个代数, 但不是σ -代数. (ii).令 F = {A : A 或 c A 是至多可数集} 证明F 是σ − 代数. 22. 设F 是 X 上的σ − 代数, E ⊂ X. 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 证明FE 是 E 上 的σ − 代数. 23. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 证明σ (A) { , , , } c = ∅ X A A . 24. 举例说明 X 上的两个σ − 代数的并不一定是σ − 代数. 25. 设 A ⊂ X. 令C = {E : A ⊂ E ⊂ X}. 求σ (C ). 26. 设C 为一半环, R (C ) 是由C 生成的环. 证明σ (C ) = σ (R (C )). 27. 设C 是一非空集类. 证明对每个 A∈ σ (C ), 都存在中一列集{ }, An 使得 A∈ (A ,n ≥ 1). σ n 提示: 令F ={A: 存在{ } ⊂C , An 使得 A∈ (A , n ≥ 1)} σ n . 证明F 是包含的C 的σ − 代数. 28. 设 f : X → Y 是 X 到Y 的映射, C 是Y 上的集类. 证明 ( ( )) ( ( )). 1 1 σ C σ C − − f = f 其中 ( ) { ( ) : }. 1 1 C = ∈C − − f f E E 提示: 令F { : ( ), ( ) ( ( ))}. 1 1 C C − − = A A∈σ f A ∈σ f 则F 是一个σ − 代数. 29. 设 x0 ∈ n R , r>0. 证明 (i). 0 x 的 r − 邻域 ( , ) 0 U x r 是开集. ( ) ii). ( , 0 S x r ={ : ( , ) } 0 x d x x ≤ r 是闭集. (iii). ( , ) ( , ). 0 0 U x r = S x r