)UA|=U(4) i)∩4|=∩f(4) (in)给出一个例子,使得f(A∩B)≠f(A)∩f(B) 8.设∫是X到Y的映射,{A}x是Y中的一族集,AcY.证明 f∪4|=Uf(4) )f∩4=∩f(4) (i)lf-(A)=(f-(A) 此外,若∫:X→Y,g:Y→Z,则对AcZ成立 (iv).(g°f)-(A)=f-(g-(A) 9.证明关于特征函数的如下等式 (1).A2(x)=l4(x)+l(x)-lAB(x (2).I(x)=4(x)l2(x) (3)若{4}是X的一列互不相交的子集,A=∪A,则1(x)=∑4(x) (4).若AcX,BCY,则IAB(x)=lA(x)2(x) (5).设{4n}是一列集,A=1imAn,B=lmAn则A(x)=lim,(x) Ie(x)=lim/,(x) 10.设A是无限集,B是可数集.证明若存在一个A到B的单射∫,则A是可数集 11.证明可数集的有限子集的全体是可数集 12.设∫(x)是[0,1]上的实值函数,并且存在M>0,使得对[0,1]中的任意有限 个不同的数x1,…xn,均有|f(x)+…f(xn)≤M.证明A={x∈[0.1:f(x)≠0 是至多可数集 提示A=∪A,其中A={x∈D.1:(x)>} 3.证明以有理数为端点的区间只有可数个 4.设A是R中的不可数集.证明存在x∈A,使得对任意E>0 A∩(x-E,x+E)不是可数集 提示:利用上题的结果 15.设A是R中的可数集证明E={x-y:x,y∈A}是可数集38 (ii). ( ). (i). ( ). I I U U t T t t T t t T t t T t f A f A f A f A ∈ ∈ ∈ ∈   ⊂       =        (iii).给出一个例子, 使得 f (A ∩ B) ≠ f (A) ∩ f (B). 8. 设 f 是 X 到Y 的映射, At t∈T { } 是Y 中的一族集, A ⊂ Y. 证明 (ii). ( ). (i). ( ). 1 1 1 1 I I U U t T t t T t t T t t T t f A f A f A f A ∈ − ∈ − ∈ − ∈ − =        =        (iii). ( ) ( ( )) . 1 c 1 c f A f A − − = 此外, 若 f : X → Y, g :Y → Z, 则对 A ⊂ Z 成立 (iv).( ) ( ) ( ( )). 1 1 1 g f A f g A − − − o = 9. 证明关于特征函数的如下等式: (1). I (x) I (x) I (x) I (x). A∪B = A + B − A∩B (2). I (x) I (x)I (x). A∩B = A B (3).若{ } An 是 X 的一列互不相交的子集, , 1 U ∞ = = n A An 则 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n A A I x I x n (4). 若 A ⊂ X , B ⊂ Y, 则 I (x) I (x)I (x). A×B = A B (5). 设 { } An 是一列集 , lim , n n A A →∞ = lim . n n B A →∞ = 则 I (x) limI (x), An n A →∞ = I (x) lim I (x). An n B →∞ = 10. 设 A 是无限集, B 是可数集. 证明若存在一个 A 到 B 的单射 f , 则 A 是可数集. 11. 证明可数集的有限子集的全体是可数集. 12. 设 f (x) 是[0, 1] 上的实值函数, 并且存在 M > 0, 使得对[0, 1] 中的任意有限 个不同的数 , , 1 n x Lx 均有 ( ) ( ) . f x1 +L f xn ≤ M 证明 A = {x ∈[0,1]: f (x) ≠ 0} 是至多可数集. 提示: U ∞ = = 1 , k A Ak 其中 { [0,1]: ( ) }. 1 k x k A = x ∈ f > 13. 证明以有理数为端点的区间只有可数个. 14. 设 A 是 1 R 中的不可数集. 证明存在 x ∈ A, 使得对任意ε > 0, A ∩ (x − ε, x + ε ) 不是可数集. 提示: 利用上题的结果.. 15. 设 A 是 1 R 中的可数集. 证明 E = {x − y : x, y ∈ A}是可数集