习题与补充题 习题 1.证明曲面r= (acosop cose, bsin(p cos,csinθ)是椭球面,并求其法向量,切平 面及曲线坐标。 2.求圆锥的参数方程和它的切平面。 3.证明曲面 (1)r=u,v 是椭圆抛物面 (2)r(a(u+v),b(u-V,2vu)是双曲抛物面。 4.求题3中各曲面的法向量和切平面。 5.求旋转曲面r( ucos, using,fu)(0<v<2π)的单位法向量。 6.求劈锥面r=(ucos, using,fu)的切平面和法线方程 7.证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点 8.设曲面的表示式为z=f(xy),求它的法向量 9求双曲抛物面r=(u+v,u-v,u)在u=1,v=-1点处的单位法向量和切平面 方程 0.证明:旋转面r(f( v )cosu, f(v)sinu,g(v)g(v)0)上任一点所作的法线 定和z轴相交 11.用构造准线C和母线的方向向量的方法证明正螺面r( rose, sine,ae+b) 是直纹面。 12.用题11的方法,证明下列曲面是直纹面: (1)单叶双曲面 (2)双曲抛物面 =2Z 13.求下列直纹面的单位法向量 (1)单叶双曲面r=(cosu- vsinu,sinu+ vcoS,v) (2)双曲抛物面r=(u,v,u) (3)劈锥曲面r=( whose(u, sine(u),u) 14.证明:曲面 r=(cos-(u+ v)sinv,sinv+(u+ v )cost,u+2v)是可展曲面。 15.证明:曲面 r=u2+y,3u2+uv,u2+2u2y是可展曲面。 16.求圆柱螺线r=(cosv,sinv,w)的切线面方程。 17.证明:下列曲面是非可展直纹面: (1)双曲抛物面(abu≠0)习题与补充题 习题 1. 证明曲面 r=(acoscos, bsincos, csin)是椭球面，并求其法向量，切平 面及曲线坐标。 2. 求圆锥的参数方程和它的切平面。 3. 证明曲面 （1） r u v u a v b = +            , ,  1 2 2 2 2 2 是椭圆抛物面； （2）r=(a(u+v), b(u-v, 2vu))是双曲抛物面。 4. 求题 3 中各曲面的法向量和切平面。 5. 求旋转曲面 r=(ucosv, usinv, f(u)) (0<v<2)的单位法向量。 6. 求劈锥面 r=(ucosv, usinv, f(u))的切平面和法线方程。 7. 证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点。 8. 设曲面的表示式为 z=f(x,y)，求它的法向量。 9. 求双曲抛物面 r=(u+v, u-v, uv)在 u=1, v=－1 点处的单位法向量和切平面 方程。 10. 证明：旋转面 r=(f(v)cosu, f(v)sinu, g(v))(g(v)0)上任一点所作的法线一 定和 z 轴相交。 11. 用构造准线C和母线的方向向量的方法证明正螺面r=(rcos, rsin, a+b) 是直纹面。 12. 用题 11 的方法，证明下列曲面是直纹面： （1）单叶双曲面 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + − = 1 （2）双曲抛物面 x a y b z 2 2 2 2 − = 2 13. 求下列直纹面的单位法向量： （1）单叶双曲面 r=(cosu-vsinu, sinu+vcosu, v); （2）双曲抛物面 r=(u, v, uv); （3）劈锥曲面 r=(vcos(u),vsin (u), u) 14. 证明：曲面 r = (cosv－(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv, u+2v)是可展曲面。 15. 证明：曲面 r = u + v + uv + u v       2 1 2 3 2 3 , 3u , u 2 4 是可展曲面。 16. 求圆柱螺线 r=(cosv, sinv, v)的切线面方程。 17. 证明：下列曲面是非可展直纹面： （1）双曲抛物面（abu0）