r=(a(+v), b(u-v), 2uv); (2)正螺面(b≠0) r=(vcos, vsinu, bu) 18.求下列各曲面的第一基本形式 (1)圆锥面r=( vcOS, vsinu,cv), (2)螺旋面r=(f(v)cosu,f(v)sinu,g(u)+bu), (3)单叶双曲面r=( a chu cosv, a chu sinv,cchu) (4)双叶双曲央r=(achu, b shu cosy, b shu shiv) 5)劈锥曲面r=( cosu, vsinu,o(u) (6)旋转面r=(f(v)kosu,f( v)sinu,g(v) (7)环面r( a+rcosv )cosu, (atrcosv )sinu, rsinv) 19.已知曲面的第一基本形式为 ds=du +f(u, v)dv 证明:()u曲线和v曲线正交; (2)任意两条u曲线被ⅴ曲线截成等长的弧,即(u,o)到(u2,Vo)的弧长与vo 无关。 20.已知曲面S的第一基本形式为 求S上的曲线Cu=tV(0≤t≤1)弧长。 21.已知曲面S的第一基本形式为 求S上两条曲线C1:u+v=0和C2:u-y=0在交点(0,0)处的交角 2.求圆柱面r=acos,asin2,y的法曲率。 23.试证明:在曲面上的一点,任何两个正交方向的法曲率之和相等 24.求下列曲面的第二基本形式 (1)正螺面r=( V COS U, v SIn u,bu) (2)MIll r=((a+r cos v)cosu, (a+r cosv)sin u, r sinv): (3)双曲抛物面r=(a(u+v),b(u-v),2uv) 25.证明:曲面是平面的充要条件是L=M=N=0. 26.试证明:在半径为a的球面上,高斯曲率和平均曲率都是常数。 27.求下列曲面的高斯曲率和平均曲率 (1)旋转曲面r=(g(t)cos0,g(t)sine,f(t) (2)正螺面r=( v cOS u, viN u,bu) (3)螺面r=( u cos v. usin v,u+v); 28.试证明r = (a (+v), b (u-v), 2uv); （2）正螺面 (b0) r = (vcosu, vsinu, bu) 18. 求下列各曲面的第一基本形式： (1) 圆锥面 r = (vcosu, vsinu, cv); (2) 螺旋面 r = (f (v) cosu, f (v) sinu, g (u)+bu); (3)单叶双曲面 r = (a chu cosv, a chu sinv, c chu); (4)双叶双曲央 r = (a chu, b shu cosv, b shu shiv); (5)劈锥曲面 r = (vcosu, vsinu, (u))； (6)旋转面 r = (f (v)cosu, f (v)sinu, g (v)); (7) 环面 r=((a+rcosv)cosu,(a+rcosv)sinu,rsinv)。 19. 已知曲面的第一基本形式为 ds du f u v dv 2 2 2 = + ( , ) ， 证明：(1)u 曲线和 v 曲线正交； (2) 任意两条 u 曲线被 v 曲线截成等长的弧，即(u1,v0)到(u2,v0)的弧长与 v0 无关。 20. 已知曲面 S 的第一基本形式为 ds du sh udv 2 2 2 2 = + , 求 S 上的曲线 C:u = t, v(0  t  1) 弧长。 21. 已知曲面 S 的第一基本形式为 ds du u a dv 2 2 2 2 2 = + ( + ) , 求 S 上两条曲线 C1 : u + v = 0 和 C2 : u − v = 0 在交点(0,0)处的交角。 22. 求圆柱面 r a u a a u a = v      cos , sin ,  的法曲率。 23. 试证明：在曲面上的一点，任何两个正交方向的法曲率之和相等。 24. 求下列曲面的第二基本形式 (1) 正螺面 r = (v cosu, v sin u, bu) ； (2) 环面 r = ((a + r cosv) cosu,(a + r cosv)sin u,r sin v) ； (3) 双曲抛物面 r = (a(u+ v), b(u− v),2uv). 25. 证明：曲面是平面的充要条件是 L=M=N=0. 26. 试证明：在半径为 a 的球面上，高斯曲率和平均曲率都是常数。 27. 求下列曲面的高斯曲率和平均曲率： (1) 旋转曲面 r = (g(t) cos, g(t)sin,f(t) ； (2) 正螺面 r = (v cosu, v sin u, bu) ； (3) 螺面 r = (u cosv, u sin v, u+ v) ； 28. 试证明：