临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 i>p>1,0≤<+o,→∫f<+ i)p≤1,0<A≤+,→|f=+∞. 7.Ab判敛法:若/(x)在区间[+)上可积,g()单调有界,则积分∫/(x(x 收敛 8. Dirichlet判敛法:设F(4)=∫在区间[+)上有界,g(x)在+)上单调, 且当x→+∞时,g()→0.则积分∫/()g(x收敛 三、基本要求 1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义: 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 四、典型例题 例1.证明:若∫在(+)上连续,且[f(x)t收敛,则对任何x∈(+),有 aJ。f(n)dh=f(x) dx 证明:va,由条件厂x)=/(x)=都存在:再由∫连续,便可证得 f()tx={|J1+f()r=f(x) dj f()dt+J 例2.设了(x收敛。证明: (1)若极限limf(x)存在,则imf(x)=0; (2)若∫在[a+∞)上为单调,则imf(x)=0。临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 3 - ⅰ> p > 1，0 ≤ λ < +∞，⇒ < +∞ ； ∫ +∞ a f ⅱ> p ≤ 1，0 < λ ≤ +∞，⇒ = +∞ . ∫ +∞ a f 7. Abel 判敛法: 若 f (x) 在区间[a,+ ∞)上可积 , g(x)单调有界 , 则积分 收敛. f ( ) x g( ) x dx a ∫ +∞ 8. Dirichlet 判敛法: 设 ( ) = ∫ 在区间 A a F A f [a,+ ∞)上有界 ， g(x)在 上单调， 且当 [a,+ ∞) x → +∞ 时， g(x) → 0 .则积分 f ( ) x g( ) x dx收敛. a ∫ +∞ 三、基本要求 1. 深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2. 熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 四、典型例题 例 1. 证明：若 f 在(−∞,+∞)上连续，且 ∫ 收敛，则对任何 ，有 +∞ −∞ f (x)dx x∈(−∞,+∞) ∫ ∫ +∞ −∞ = = − x x f t dt f x dx d f t dt f x dx d ( ) ( ), ( ) ( ) 证明：∀a ，由条件 ∫ ∫ 都存在；再由 连续，便可证得 +∞ −∞ = = a a f x dx J f x dx J 1 2 ( ) , ( ) f ∫ ∫ −∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + x x a J f t dt f x dx d f t dx dx d ( ) ( ) ( ), 1 ∫ ∫ +∞ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + x a x f t dt J f x dx d f t dt dx d ( ) ( ) ( ). 2 例 2. 设 ∫ 收敛。证明： +∞ x f (x)dx （1）若极限 lim f (x)存在，则 x→+∞ lim ( ) = 0 →+∞ f x x ； （2）若 f 在[a,+∞)上为单调，则 lim ( ) = 0 →+∞ f x x