第二节洛必达法则 教学目的:理解洛必达法则,掌握用洛必达法则求σ型和∞型以及 0.0,0-型未定式的极限的方法了解01,四型极限的求法 教学重点:洛必达法则 教学难点:理解洛必达法则失效的情况0∞,-0型的极限的求法 教学内容: 0 0型和∞型未定式极限 若当x→a(或x→0)时,函数f(x)和F(x)都趋于零(或无穷大),则极限 lim f(x) 0 x→aF(x)可能存在、也可能不存在,通常称为0型和∞型未定式 tan x 0 例如 D数1如如女 nsin bx,(∞型) 定理3-2-1设(1)当x→0时,函数f(x)和P(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,了(x)和Px都存在且Fx)≠0; (3)=F(x)存在(或无穷大 f(aslim/(x) 则xF(x (x) 定义:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方 法称为洛必达法则 证明:定义辅助函数 f)={( X≠c F(x),x≠a x=d 在a6)内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数(x)和F()满足柯西中值定 理的条件,则有 f(x) f(x)-f(a f(e) F(x)F(x)-F(a)F(9),(5在a与x之间) limf'(z.A 当x→>0时,有5→a,所以当F()”,有Pte) f(x) f(e) A *a F(x) 5+4F(c) 证毕 tan x 例3-3求 x,(0型) 解原式=0(x)=m=1-=1第二节 洛必达法则 教 学 目 的 ：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求 型和 型 以 及 型未定式的极限的方法; 了解 型极限的求法. 教学重点：洛必达法则. 教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法. 教学内容： 一、 型和 型未定式极限 若当 （或 ）时，函数 和 都趋于零(或无穷大)，则极限 可能存在、也可能不存在，通常称为 型和 型未定式. 例如 , ( 型); , ( 型). 定理3-2-1 设 (1)当 时, 函数 和 都趋于零; (2)在 点的某去心邻域内, 和 都存在且 ; (3) 存在(或无穷大), 则 定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方 法称为洛必达法则 证明: 定义辅助函数 , 在 内任取一点 , 在以 和 为端点的区间上函数 和 满足柯西中值定 理的条件, 则有 , ( 在 与 之间) 当 时,有 , 所以当 , 有 故 . 证毕 例3-3 求 , ( 型) 解 原式= =