10 第七章整数规划 图7-6 当发生下述3种情况之一时，树的某个分枝就不再往下延伸 1,该分枝上的子问题没有可行解.此时增加一个约束条件也不可能有可行解 2.已求得一个不违反任何整数约束的解此时如再增加约束条件，即使求到最优解 其目标函数也不可能变得更优 3.此子问题的目标函数值不优于任一不违反整数约束的另一子向题的目标函数值 因此时如对此子问题再分枝，新的子问题由于增加约束条件，其目标函数值不会优于不违 反整数约束的那个子问题。所以没有必要再分枝了 在图7-6中，由于第3种情况发生，第一个子问题不再往下分枝：由于第2种情况发生 第2个子问题不再往下分枝这样，全部分枝都终止延伸，求得最优解：（红1,2）=(3,1)， $7.5全整数规划算法 算法要求 1.目标函数为“mim”型，目标函数中决策变量的系数全为整数 2.约束条件方程中决策变量的系数矩阵A和右端值向量b的元素全为整数： 3.约束条件全为“≤”型 为了易于理解后面介绍的算法，先举一个简单的计算例子.设有如下整数规划模型： min z=7x1+12x2+15x3: 满足 4x1+8x2+5x3>15. 31+2r2+6a3≥14 x≥0且为整数 这个例子满足了前两个要求.约束变换后，也满足了第3个要求，即 min z=7x1+12x9+15x3 满足 -41-82-5r3≤-15 -3x1-2x2-6x3≤-14 (.3) 工1之0且为整数 按向题（亿.3）列出下表（表7-7）： 表7-7 0 7 12 15 -15 -4 -8 -5 -14 -3 -2 -6 10 ❬✁❭✁❪❴❫✁❵✁❛✁❜ ✲ 7–6 ⑨✴✁⑩✁✸✁✬ 3 ❶✁❷✁❸✁❖✁✰❱ , ✱ø✁❹✌✁✜✺✁✦þ✁❺✁❻✸✁❼✁❽: 1. ❾ ✜ ✺ ✤ø✪✁✍✁✎✁❿✁➀❊✁❋✁✖. ➁❱⑧✣✰ ✌☎✁✆✁❂✁❃✁➂✁þ✁❊✁➃➀❊✁❋✁✖. 2. ➄❝ ❧✰ ✌þ✁➅✁➆✁➇✁➈✁✂❁✄❁☎✁✆✖ø✁✖. ➁❱ ✻❺✁⑧✣☎✁✆✁❂✁❃, r✁➉❝♥✝✁✞✁✖, ➊➌➋➎➍✁➏✄✁➂✁þ✁❊✁➃❥❧✁➐✞ . 3. ➁✪❁✍❁✎ø ➋➑➍❁➏✄❁➒✖þ❁✞❁➓❁➇✰ þ❁➅❁➆❁✂❁✄❁☎❁✆✖ø❁➔✰ ✪❁✍❁✎ø ➋➑➍❁➏✄❁➒, →➁❱ ✻✁➣✁➁✪✁✍✁✎❺✜ ✺, ❀ø✪✁✍✁✎❅↔ ➓✁⑧✣☎✁✆✁❂✁❃, ➊➌➋➎➍✁➏✄✁➒✁þ✁❯✁✞✁➓✁þ✁➅ ➆✁✂✁✄✁☎✁✆✁ø✁↕✌✁✪✁✍✁✎, ➙✁➛ ❿✁➀✁➜✁➝❺✜ ✺✁➞. ✽✲ 7–6 ❄ , ↔ ➓➟❉ 3 ❶➟❷➟❸➟✴➟⑩, ❉✰ ✌➟✪➟✍➟✎þ➟❺➟❻✸ ✜ ✺; ↔ ➓➟❉ 2 ❶➟❷➟❸➟✴➟⑩, ❉ 2 ✌✁✪✁✍✁✎þ✁❺✁❻✸ ✜ ✺. ☞✁❚, ➠✁➡✜ ✺✁➢✁➤✁➥✁❼✁❽, ❝ ❧ ✝✁✞✁✖: (x1, x2) = (3, 1), §7.5 ➦➨➧➨➩➨➫➨➭➨➯➨➲ ➳✁➵✁➝❝ : 1. ➋➎➍✁➏✄ ý “min” ➸, ➋➎➍✁➏✄❅❄✹➺✁➻❥ ❦✁ø✁➼✁✄➠✁ý✂✁✄; 2. ☎✁✆✁❂✁❃✭✁❢ ❄✹➺✁➻❥ ❦✁ø✁➼✁✄✁➽✁➾ A ✥✁➚✁➪➒ ✷❦ b ø✁➶✁➹➠✁ý✂✁✄; 3. ☎✁✆✁❂✁❃➠✁ý “≤” ➸. ý✁➞✁➘➓✁s✁✖✁t✁➴✁➷✁➬✁ø➳✁➵, ➮✁➱✁✰✌✁✃✟✁ø✁❐➳ù✪ . ❒ ➀ ✻✁✸✂✁✄✁✔✁✕✁❮➸: min z = 7x1 + 12x2 + 15x3; ❰✁Ï    4x1 + 8x2 + 5x3 ≥ 15, 3x1 + 2x2 + 6x3 ≥ 14, xj ≥ 0Ð✁ý✂✁✄. ☞✁✌ù✪✁❰✁Ï➞✁Ñ✁✩✌✁➝❝ . ☎✁✆❥✁Òt , ➂❰✁Ï➞❉ 3 ✌✁➝❝ , r min z = 7x1 + 12x2 + 15x3; ❰✁Ï    −4x1 − 8x2 − 5x3 ≤ −15, −3x1 − 2x2 − 6x3 ≤ −14, xj ≥ 0Ð✁ý✂✁✄. (7.3) Ó✍✁✎ (7.3) Ô✁✳✁✸✡ (✡ 7–7): ✡ 7–7 0 7 12 15 −15 −4 −8 −5 −14 −3 −2 −6