解不能展成洛朗级数。因在圆环域0<kR内tan-不解析 18.如果k为满足关系k2<1的实数,证明 k" sin(n+De 1-2k cos+k Sk"cos(n+1)e=-Cos6-k 1-2k cos 0+k 证明 在|z|k内为解析函数,将其展成洛朗级数有 在上式中令z=e eo-k-Ece oT ,E 1-2k cos0+k=2(cos(n)0-ik"sin(n+1)) 分离实部和虚部即得结论。 1.如果C为正向圆周|=3,求积分∫(=)的值设f(=)为 2 3) (二+1)z (二+1)(二+2 解 f(=== ric (=+2)2(-2+22((+)2 1=11--y22 故∫f()=0 2 (二+2) =(二+2) (-1” 二x(1+ ∫(=)d==2ni。 3)少20+9y52(-1)1m=1。故f(址=0。 C解 不能展成洛朗级数。因在圆环域0 | < z |< R 内 1 tan z 不解析。 18．如果k 为满足关系 2 k <1的实数，证明 2 0 sin sin( 1) 1 2 cos n n k n k k θ θ θ ∞ = + = − + ∑ ； 2 0 cos cos( 1) 1 2 cos n n k k n k k θ θ θ ∞ = − + = − + ∑ 。 证明 1 z k − 在| | z > k 内为解析函数，将其展成洛朗级数有 1 0 1 1 (1 ) n n n k z k k z z z ∞ + = = = − − ∑ 在上式中令 i z e θ = ， i i 1 0 1 ( ) n n n k e k e θ θ ∞ + = = − ∑ 2 ( ) 0 cos isin cos( 1) i sin( 1) 1 2 cos n n n k k n k n k k θ θ θ θ θ ∞ = − − = + − + − + ，即 ∑ 分离实部和虚部即得结论。 19．如果C 为正向圆周| | z = 3，求积分 ( ) C f z dz ∫ 的值.设 f (z)为 1） 1 z z( 2 + ) ； 2） 2 ( 1) z z z + + ； 3） 2 1 z z( 1+ ) ； 4） ( 1)( 2) z z z + + 。 解 1 ( ) 2 i C f z dz π c ∫ = − 1） 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( 1) ,| | 2 ( 2) 2 2 2 (1 ) 2 n n n z n z z z z z z z z z ∞ + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ − − + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ ∑ > 。 故 ( ) C f z dz ∫ ＝0。 2） 1 1 0 2 1 1 1 1 ( 2) ( 2) ( 1) ,| | ( 1) (1 ) n n z n z z z z z z z z z ∞ + = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − ⎜ ⎟ = + − − z >1 ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ 故 ( ) C f z dz ∫ ＝2πi 。 3） 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 ( 1) ,| | 1 ( 1) (1 ) n n z n n z z z z z z ∞ − − = = = − + + ∑ > 。故 ( ) C f z dz ∫ ＝0。 11