D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2000.06.022 第22卷第6期 北京科技大学学报 Vol.22 No.6 2000年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2000 多段法渗碳扩散方程的解析解及其物理意义 刘苏南”李云) 1)安徽大学自动化系，合肥2300392)合肥工业大学材料工程系，合肥230009 摘要运用线性偏微分方程的可迭加性质，对炉内物体的渗碳过程的多段时间渗碳方程进 行求解，得到在第3类边界条件下的碳浓度分布函数.用此方法能够描述逐段时间渗碳扩散方 程在各时段的物理行为， 关键词多段法渗碳：扩散方程；碳浓度分布 分类号0658.5 文献标识码：A 应用线性偏微分方程的可迭加性质得到的 式中，c(化，)为碳浓度分布函数：B,为物质传递系 碳浓度分布函数可以描述多段法渗碳过程的本 数：D为扩散系数；c(=l,2,…,n)为气氛碳势. 质：能够为应用计算机模拟跟踪技术对整个渗 由于该偏微分方程和定解条件都是线性 碳过程加以控制提供理论模型：为对渗层质量、 的，所以适用迭加原理.因此，c(化，)可以被分解 渗层深度和渗碳时间等技术参数进行优化设 成： 计，进而为渗层的质量控制和省时节能、提高效 c(x,)=c(x,tc(x,)t…+cx,t十…+cx,t)(4) 益提供一定的数学理论参考依据. 其中，C1,C2,c,…,Cn分别满足下列方程： 以往，对于多段法渗碳扩散方程多用数值 器-D器 0<x,0<t 计算法求解，本文采用解析法来求解多段法渗 碳的扩散方程， L-%e00-10st c(x,0)=0 0≤x 1渗碳扩散方程求解 假设在各段的渗碳过程中，炉内各点气氛 -D ∂t 0<x,0<t (5) 碳势分布均匀且分别始终保持不变，扩散系数 0 0≤t≤t-1 D不随碳浓度而变化；又设工件表面为平面，工 o (6) 件的原始碳浓度为零.多段法气体渗碳的定解 2l8 i-6】ka 问题可用下列各式表示： cx,0)=0 0≤x Ox 0<x,0<t (1) t0-e 0ts 0c.=DDic Ot 0x 0<x,0<t 8a0,小cal4ss4 0 oc 0≤t≤tn-1 Bc 2L{8c00--c】kt (2) p0 t c(x,0)=0 0≤x 式中，i=1时t=0,c0=0. 用Laplace变换求解上述方程.对式(l)应 月a0,-c16 用迭加原理，要求在时间段0≤t≤t-1内，cx,)= cx,0)=00≤x (3) 0,这相当于有一个时间延迟，即： c-1)-cx) 0 0≤t≤t-1 2000-0420收稿刘苏南男，46岁，讲师 故设c,的Laplace变换为：第 22 卷 第 6 期 20 0 年 12 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u ur a l o f U n iv e sr iyt o f cS le n ce a n d eT c h n o lo gy B iej in g V b l 一 2 2 D eC 。 N 0 . 6 20 0 多段法渗碳扩散方程 的解析解及其物理意义 刘 苏南 ` , 李 云 2 , 1 )安徽大学 自动化系 , 合肥 2 3 0 0 39 2) 合肥工业大学材料工程系 , 合肥 23 0 09 摘 要 运用线 性偏 微 分方 程的可迭 加性 质 , 对 炉 内物 体 的渗碳过程 的 多段 时 间渗碳方 程进 行 求解 , 得到 在第 3 类 边界 条件下 的碳 浓度 分布 函数 . 用 此方法 能够 描述 逐段 时 间渗碳 扩散 方 程在各 时 段 的物理 行 为 . 关键词 多段 法渗碳 ; 扩散 方程 ; 碳 浓度 分布 分类 号 0 6 58 .5 文献 标识码 : A 应用线性偏微分 方程 的可迭加性质 得到的 碳浓度分布 函数可 以描述 多段法渗碳 过程的本 质 ; 能够为应用 计算机模 拟跟踪技 术对整个 渗 碳过程加 以控制提供理论模型 ; 为对渗层质量 、 渗层 深 度和 渗 碳 时 间等技 术 参 数进 行优 化 设 计 , 进 而为渗层 的质量控制和省 时节能 、 提高效 益提供 一定 的数 学理论 参考 依据 . 以往 , 对 于多段法 渗碳扩散 方程 多用数 值 计算 法求解 , 本文采用 解析法来 求解多段法 渗 碳 的扩散方程 . 式 中 , c x(, )t为碳浓度分布 函 数 ;尽为物质传递系 数 ; D 为扩 散系数 ; 马 , ( =1 1 , 2 , … , n) 为气氛碳势 . 由于 该 偏 微 分方 程 和 定解 条 件 都 是线 性 的 , 所 以适用迭 加原理 . 因 此 , c x(, )t 可 以被 分解 成 : c x( , t) = cl x( , t) + 伪x( , t) 十 … + cl x( , t) + … + cn x( , t) ( 4 ) 其 中 , c l局 , … 。 , … , ` 分别满足 下 列方程 : 、少. 、产、少、. 勺ù 67 了.、 矛 ` 、 一C 了、. ō 亡Oq l 价ǎlJ 一尔月八J 洲直口」刀 、`自卜. . t 下饥ac, 卜一丫八」CnJ 大r 0J 凡口五 I 、自卜,`. . . ` 1 渗碳扩散方程求解 假设在各段 的渗碳 过程 中 , 炉 内各 点气 氛 碳势分布均 匀且分别始 终保持不 变 , 扩 散系数 D 不随碳浓度而变化 ; 又 设工件 表面为平面 , 工 件 的原始 碳浓度 为零 . 多段 法气体渗碳 的定解 问题可用 下列各式表 示 : a e _ 刁 Z e 常 一 兴括 o “ , o t< ( 1) 鲁 一 啥 ”气 0 t< 鲁l _ 号 〔一`0 , t) 一马 ` 〕 。“ e l以 , 0 ) = 0 0 ` x 口以 , 0) = 0 0众 , 0 t< 0 三 t 三乙 一 1 〔c,{ 0, )t 一 c(0 i一助 一 l)] 丸 一 l t< 0三 X 会 〔 。 ( o , t) 一。 1 〕 会 〔 c ( o , t) 一、 : 0 5 t 感 t l a氏 _ 币丁一 0众 , Ot< 0 三 t 三 九 _ 1 lt 三 t 三 九 旦鱼 } 刁无} , 几 一 1 < t 鱼 } 刁无*} 会 〔。 ( 0 , t) 一 `、 一 、 一 ,, 会 〔 。 `o , ” 一马 ` 〕 ( 2 ) 氏x(, 0) = 0 0` x 丸 一 1有三 it 套c([ 。 , t) 一 、 〕 上 ` 产 九 一 1 t< 丛九 c x( , 0) = 0 0 ` x ( 3 ) 式 中 , =1 1 时 t = 0 , 命 = .0 用 L aP lac e 变换求解上 述方程 . 对式 ( l) 应 用迭加 原理 , 要 求在 时间段 0习` lt 一 , 内川众 , t) = 0 , 这相 当于有一个 时 间延迟 , 即 : e , X( , t 一 it 一 1 ) = 0 c ,x( , t) 0 三 t 三 it _ 1 it _ 一< t 20 0 -0 04 一 20 收稿 刘 苏南 男 , 46 岁 , 讲师 故设 cl 的 L ap lac e 变 换为 : DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2000. 06. 022