·570· 北京科技大学学报 2000年第6期 HcAx,t))=e-"-F(x,s). 考虑到， e+-小 K)-exp(-s-)sF-exp-st-)c(r.0)- t-<t(14) exp(-st-1)sF1. 当i=1时，co=co. 所以，满足初始条件(7)时，式(5)的象方程 如下： 2对渗碳扩散方程解的讨论 =0 (8) (1)由(14)式所示碳浓度分布函数的物理意 式(8)所示偏微分方程的一般解为： 义可以理解为：任一多段渗碳过程，都是由一系 F(x,s)=Aexp(-/s/Dx) (9) 列在碳势差(cp一c-)下，渗碳时间段(t-t-)内 对式(9)求偏导数，有 增碳（或脱碳）的贡献的迭加. 渠=-A√5Dexp(-VsDx) (2)在式(14)中，当B→0时，其中的指数项 ∂x (10) 边界条件式(6)的象方程为： 与余误差函数项的乘积趋于零.即有 6p-82- emp-唱F0-e(--品crcn, erfef+2 -2t。wn「x+22 lim 2Di -m0-” 即L=合F086-ew月 - -o+2h (11) D exp- Er±ftl D 将式(9)，(10)代入式(11)，得 x exp4D -AD=A号是e,-小. 2yD@m+2形 2=0 πB- 解得系数A: 因此，式(14)变为 A=-B(Cu-C-D) er(15) B√8 -1<t 所以，式(8)的解为： 实际上，当物质传递系数B+∞时，意味着 )ecac-√哥 工件表面碳浓度在瞬间就达到炉内碳势值C, 这时，第3类边界条件(2)就退化为第1类边界 因而有 条件： 0≤t≤t I{cAx,t))=exp(-st-1)F(x,s)= Cm o-62时←√剧12 CP h<tsh B√8 c(0,)= (16) Cy t-<t≤t 查Laplace变换表得 1-ex(-D▣=D n2台a Cpn ta-1<t≤tn 其实，式(15)也可以从以式(16)为边界条 erte 2D:/Di DB Bt 件的渗碳扩散方程直接解出. 式中，erfc(x)为余误差函数.所以 另外，在t是足够长的深层渗碳条件下，式 cKx,t)=I-[exp(-st-1)F(x,s)]=(cp-cp-1)x (14)中的指数项与余误差函数项的乘积也是可 is-k x 以忽略不计的.因为 en27-品oc-j 00 (13) 器 将式(13)代入式(4)，并考虑到初始条件为 lim- 益凯。 =lim xt]。xB Bt] c(x,O)=c的情况，即可得到多段滲碳碳浓度分 DD -Dexp-节-D 布函数： 在这种情况下，也可以按第1类边界条件 下的情况进行计算.当B-0,n=2时，式(15)为：北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 年 第 ` 期 l{ e 口 x( , t)} = e 一 ` 名x( 力 . 考虑到 , ·。 }令今 卜 。一 , ` 小 a 。 、 l 飞币了1 = e xP ( 一 slt 一 1 ) s只 一 e x P (一 st 一 1 ) ` 众 ,0) = e x P(一 s乙 一 J成 . 九 一 , < t ( 14 ) 当 i = 1 时 , 命 = co . 所 以 , 满足初 始条件 ( 7) 时 , 式 (5 ) 的象方程 如 下 : sF, 一 嚼 ( 8 ) 式 (8 )所 示偏微分方 程 的一般 解为 : 只 x( 力 = Ae xP (一 而疾 ) 对式 ( 9) 求偏导数 , 有 ( 9 ) a只 J ~ , 一 、 ~ 瓦一 一d V sl 口 弓x P气一 V ~ ) 边界条件 式 ( 6) 的象方程 为 : ( 1 0 ) 2 对渗碳扩散方程解的讨论 ( l) 由 ( 14 ) 式所示碳浓度分布 函数 的物理意 义可 以理解为 : 任一 多段渗碳过程 , 都是 由一系 列在碳势 差 (印一咖 一 l) 下 , 渗 碳时 间段 (t 一 lt 一 J 内 增碳 ( 或 脱碳 ) 的贡献 的迭 加 . (2 )在 式 ( 14) 中 , 当刀一 。 时 , 其 中的指 数项 与余误 差 函数 项 的乘积趋 于零 . 即有 一、扩一匹JJ 洲巫红 D竺 ù l r l 、 . 腼加 曰且. 产 刁主., è、了且、 一伽一 exP (一 slt 一 , 嚼} _ - exP (一 slt 一 l 令(0,s 卜 xeP (一 slt 一 会 勺 。 , 刁只 } B 一 , 。 、 B , 即 芍万 . } , = 方 厂 `山刀一 护吩一 , l) 将 式 ( 9 ) , ( 1 0 )代 入式 ( 1 1 ) , 得 腼阮{今嗒刁 . iefc {片知要币刘{ - 声, 。 t 、 “ 口 , 铸 V 口` 口 月 匕彻 一 Z t e 。 { 鱼 匕继工 _ }名黔!! 一 A俪 一 A会 一贪 。 一、 一 1) . 解得系 数 A : , _ 斑蜘一彻 一 l) ” -可哥周 ` 卫澳* V , L 声一 工+ 2嘴 因此 , 式 ( 14 )变为 1 cx( , 。 一 +c0 会cw( 一 、 一 lef) 际表石! ( 15 ) tn _ 1 < t 所 以 , 式 (8 ) 的解为 : · .x( , = 戴黔! 一! 一 周 命c0l · 因而有 二 l{ e众 ,)t 卜 e xP (一 slt 一 1冰 x(, s) = 实 际上 , 当物 质传递 系数刀, 。 时 , 意味着 工件 表面碳 浓度 在瞬 间就达 到炉 内碳势值 今 , 这 时 , 第 3 类 边界条件 ( 2) 就退 化为第 1类 边界 条件 : 一`一碳蓄瞻! e xP ( 一 周 ( `’ ) 查 L即lac e 变 换表得 l一 { 旦黯黯} 一 争改闹 - 争xP 险刹 e fcr }病蜡问 . 试O , 。 一 … 0 三 t 蕊 t , lt < t 三九 今 lt 一 l< t 三 t ( 1 6 ) 命 九 一 l< t 兰 ` 式 中 , 盯丘 x() 为余误 差 函数 . 所 以 口 以 , t) = l 一 , e[ xn( 一 s lt 一 l )F, x( ,s )」= (命一 今卜 1办 x { · * 际表司一…令噜 (卜 `一 ,卜 cefr 陆六浩 ~ j} 其 实 , 式 ( 15) 也可 以从 以式 ( 16) 为边 界条 件 的渗碳扩 散方程直接 解 出 . 另外 , 在 t 是足够 长 的深层 渗碳条件下 , 式 ( 14 ) 中的指数项 与余误 差函 数项的乘积 也 是可 以忽 略不计 的 . 因 为 妙 xP !令嗒刁 . efcr {病蜡司 - 将 式 ( 13) 代入式 ( 4) , 并考 虑到初始条件 为 c x( ,0 ) = c0 的情况 , 即 可得到 多段渗碳碳 浓度 分 布 函 数 : 妙骥蓦 吵掣纂 0 . cx( , 。 一 +c0 郭 一 、 一 l) { efcr !弱沈) - 在 这种情况 下 , 也可 以按第 1 类 边界条件 下 的情况进行计算 . 当刀` ao , n =2 时 , 式 ( 15) 为 :