第四章导数的应用 (D)函数曲线的渐近线 设函数∫在区间(a,b)可导 (1)垂宜渐近线:若f(x))+∞或-∞; (2)非垂直渐近线 f(x)当x→+∞有非垂直渐近线 e 3k, b: lim((x)-kx-b)=0 f(r) k-0|=0→imn f(r)=k 定理;f:[a,+∞),曲线y=f(x)有渐近线y=kx+b的充要条 件是:mf(x) =k,且im(f(x)-kx)=b 若函数y=f(x)在[a,+∞)可导且lmnf(x)=k,则 lim ( r lim/(x)=k 注意:光有lmf(x)=k则不一定有渐近线。 例1:考察函数f(x)=xhx (1)定义域:x>0 (2)增减区间 求驻点:f(x)=1+hx=0,一个驻点x0=e 在区间(0.,e-)上,f(x)<0,f↓ 在区间(e-1+∞)上,f(x)>0,f个 xo=e-1,f(x0)=0,极小点 (3)凸凹区间:f"(x)=1x>0,凸函数 (4)因m(x=mmx=+0,无渐近线。 例2考察函数∫(x)= 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用  ( ) 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1         + + = − +   = y x y y x y y y  = x + y = r 2 2 . (D) 函数曲线的渐近线: 设函数 f 在区间 (a, b) 可导。 (1) 垂直渐近线：若 ⎯⎯⎯→+ −  → + f (x) x a 或 ; (2) 非垂直渐近线: f (x),当 x → + 有非垂直渐近线  k,b : lim ( ( ) − − ) = 0 →+ f x k x b x  0 ( ) lim  =      − − →+ x b k x f x x x  k x f x x = →+ ( ) lim 定理： f :[a,+), 曲线 y = f (x) 有渐近线 y = kx + b 的充要条 件是： k x f x x = →+ ( ) lim , 且 ( f x k x) b x − = →+ lim ( ) . 若函数 y = f (x) 在 [a,+) 可导且 f x k x  = →+ lim ( ) ,则 f (x) k x f x x x =  = →+ →+ lim ( ) lim . 注意: 光有 f x k x  = →+ lim ( ) 则不一定有渐近线。 例 1 :考察函数 f (x) = x ln x . (1) 定义域: x  0. (2) 增减区间： 求驻点: f (x) = 1+ ln x = 0 , 一个驻点 1 0 − x = e ; 在区间 (0, ) −1 e 上， f (x)  0, f  ; 在区间 ( , ) 1 + − e 上， f (x)  0, f  ; , ( 0 ) 0 1 0 =  = − x e f x , 极小点。 (3) 凸凹区间： f (x) =1 x  0, 凸函数 (4) 因 = = + →+ →+ x x f x x x lim ln ( ) lim , 无渐近线。 例 2 考察函数 1 ( ) 3 − = x x f x