第6物 胡向东。等：环形单网管冻结拉态温度场一般解析解 2343 人工地层冻结技术已发展成为一种成熟工法，在 和双拜管冻结巴霍尔金公式的准确性进行了分析叫， 井矿工程、隧道工程、 地基临时加固、地下水污染招 结果表明，在冻结的中后期(>0.7，其中：为冻 制、废弃物掩埋等领域已有广泛应用。在施工过程中 唯幕厚度，1为冻结管间距)，温度场任何一点的计算 堂据连土推幕的厚度和力学性质等参数是非常重要 误差不超过1℃。因此在冻结的中后期，人工冻结温 的，而这些参数均依赖于族结温度场的分布。因此， 温度场理论是冻结法理论的基础。目前冻结温度场的 度场将可以近似当作稳态温度场。则9=0：8。 计算方法主要有解析法 模拟法以及数值分析方法。 0,方程1)简化为： 而解析解由于其理论性强，始终是研究温度场的重要 部分。到目前为止，各国专家、学者们已经取得了 (2) 系列冻结管规则布置形式下的经典稳态温度场解析 解。例如单管冻结温度场公式山，两管~五管直线布 其极坐标下的表达式为： 冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双 管冻结温度场公式等，并且沿用至今。作者对这些 80,180180 ar2 r ar 0 公式进行了完善与应用性研究5，并完成了三排管冻 结温度场解析解的推导0-15，对于环形布置冻结管的 情形。完成了该结国内冻实的单图管冻结温度场解折 单管的数学模型及解析解 解，对于内部未冻实的情祝尚无解析解答 文州 者基于保角变换和调和方程边界条件可分离性， 单管在无限大地层形成的温度场的问题如图1所 环形单圈管冻结圈内未冻实的稳态温度场解析解进行 示。 了求解。 1二维热传导方程 冻士边界 在土体中，热传递主要有3种形式：传导、对流 和辐射。因为对流和辐射对温度场的影响相对于传导 可以忽路不计，所以仅仅老虑传导形成的温度场陶 东结管 根据Fourier热传导定律和热量守恒律，可以得到二年 热传导方程的形式如下： 1) 图1平西内管的温度场问 其中：日为温度场的分布：k为介质的热传导系数： Fig.1 Model of single-pipe freezing 为密度：c为此热容：，x,)为单位时间单位体利 系统吸收或者放出的热量。 其数学模型如下： 人工地层冻结过程是一个瞬态热传导过程，是个 具有相变并且相变界面移动的问题。对于采用稳态温 度场沂似避本温度场的活用性问顺。学术果和丁程界 6,)=,；冻结管处条件 普遍接受的观点是：由于人工地层冻结是个发展相 ξ.)=0：冻土边界条件 缓慢的过程，尤其是在冻结的后期，其温度场非常拉 通过分离变量法可，求得满足上述调和方程的通 近稳态导热温度场，在人工地层冻结法的温度场理论 解为： 与工程中，对此状态可按稳态导热近似求解人工冻结 0(r.B)=co++ 温度场。世界上最流行和实用的人工冻结温彦场解析 解有前苏联，乳、美国和日本公式，他们均为稳 a.cos m+-.sin m4产+"）(5) 温度场公式。对此问题，作者曾针对文献3)]的单排 将边界条件进行Fourier级数展开，仍为常数，即 1002016 Academic Jou al Eleetronie Publishing House.All right http://www.cnki.ne 第 6 期 胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2343 人工地层冻结技术已发展成为一种成熟工法，在 井矿工程、隧道工程、地基临时加固、地下水污染控 制、废弃物掩埋等领域已有广泛应用。在施工过程中， 掌握冻土帷幕的厚度和力学性质等参数是非常重要 的，而这些参数均依赖于冻结温度场的分布。因此， 温度场理论是冻结法理论的基础。目前冻结温度场的 计算方法主要有解析法、模拟法以及数值分析方法。 而解析解由于其理论性强，始终是研究温度场的重要 部分。到目前为止，各国专家、学者们已经取得了一 系列冻结管规则布置形式下的经典稳态温度场解析 解。例如单管冻结温度场公式[1]，两管~五管直线布置 冻结温度场公式[2]，单排管冻结温度场公式以及双排 管冻结温度场公式[3−4]等，并且沿用至今。作者对这些 公式进行了完善与应用性研究[5−9]，并完成了三排管冻 结温度场解析解的推导[10−15]；对于环形布置冻结管的 情形，完成了冻结圈内冻实的单圈管冻结温度场解析 解[16]，对于内部未冻实的情况尚无解析解答。本文作 者基于保角变换和调和方程边界条件可分离性[17]，对 环形单圈管冻结圈内未冻实的稳态温度场解析解进行 了求解。 1 二维热传导方程 在土体中，热传递主要有 3 种形式：传导、对流 和辐射。因为对流和辐射对温度场的影响相对于传导 可以忽略不计，所以仅仅考虑传导形成的温度场[18]。 根据 Fourier 热传导定律和热量守恒律，可以得到二维 热传导方程的形式[18]如下：   2 2 2 2 k g txy , , tc c x y                  (1) 其中：θ 为温度场的分布；k 为介质的热传导系数；ρ 为密度；c 为比热容；g(t，x，y)为单位时间单位体积 系统吸收或者放出的热量。 人工地层冻结过程是一个瞬态热传导过程，是个 具有相变并且相变界面移动的问题。对于采用稳态温 度场近似瞬态温度场的适用性问题，学术界和工程界 普遍接受的观点是：由于人工地层冻结是个发展相对 缓慢的过程，尤其是在冻结的后期，其温度场非常接 近稳态导热温度场，在人工地层冻结法的温度场理论 与工程中，对此状态可按稳态导热近似求解人工冻结 温度场。世界上最流行和实用的人工冻结温度场解析 解有前苏联[1, 3]、美国[4]和日本公式[2]，他们均为稳态 温度场公式。对此问题，作者曾针对文献[3]的单排管 和双排管冻结巴霍尔金公式的准确性进行了分析[20]， 结果表明，在冻结的中后期(ξ/l＞0. 7，其中 ξ 为冻土 帷幕厚度，l 为冻结管间距)，温度场任何一点的计算 误差不超过 1 ℃。因此在冻结的中后期，人工冻结温 度场将可以近似当作稳态温度场。则 0 t    ；g(t，x， y)=0，方程(1)简化为： 2 2 2 2 0 x y         (2) 其极坐标下的表达式为： 2 2 2 22 1 1 0 r r r r            (3) 2 单管的数学模型及解析解 单管在无限大地层形成的温度场的问题如图 1 所 示。 图 1 平面内单管的温度场问题 Fig. 1 Model of single-pipe freezing 其数学模型如下： 2 2 2 22 0 0 1 1 0 ( , ) ; ( , ) ; f r r r r r                        冻结管处条件 冻土边界条件     (4) 通过分离变量法[17]，求得满足上述调和方程的通 解为： 10 20  (, ) r   cc r   ln 1 2 1 ( cos sin )( ) m m m m mm m a m b m cr c r             (5) 将边界条件进行 Fourier 级数展开，仍为常数，即