《高等传热学》课程教学资源（文献资料）环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解

第46卷第6期 中南大学学报（自然科学版） .46No.6 2015年6月 Journal of Central South University (Science and Technology) June 2015 D0:10.11817i.issn.1672-7207.2015.06. 环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 胡向东3，韩延广12 (1同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海，200092： 2.同济大学地下建筑与工程系，上海，200092) 摘要：隧道联络通道和矿山竖井冻结法施工经常采用环形布置冻结管。对于环形布管冻结温度场的解，目前仅有 冻结圈内完全冻实的单圈管冻结温度场解析解，但现实冻结工程中，内部通常是未冻实的。首先应用保角变换将 环形单圈管冻结模型变换为易于求解的特殊的直线型挂布的模型，再结合调和方程的边界条件可分离的性质，将 日分去雀挂鬼实指杨的最后藏单要管快表森实物鞋华气析华。一九子玫值模8 对解析解的验证结果表明：在冻土幕充分交圈后， 果基木 致，得到的解析解具有 高的精度。同时本文解析解也适用于冻结圈内完全冻实的温度场。 关键词：人工地层冻结法：环形单圆冻结管：温度场：解析解：保角变换：调和方程 中图分类号：TK124 文献标志码：A 文章编号：1672-7207201506-2342-08 General analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing HU Xiangdong',HAN Yanguang (1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground of the Ministry of Education Tongji University.Shanghai 200092.China: 2.Department of Geotechnical Engineering Tongji University.Shanghai00092.China) :Single-circ-ipenthd sha present,there is only one analytical solution which is aimed at the situation that the ground inside the freezing-pipe circl s frozen solid.However,a more usual situation is that the area enclosed inside the freezing-pipe circle is not frozen completely.For this situation,an analytical solution to the steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing was proposed.The solution was derived by converting the sing-r-pipefreezing model toa special single-row-pipe freezing model using conformal mapping.and then decomposing the single-row-pipe freezine model into the single-row-pipe freezing model and a linear temperature field model according to the separability of boundary conditions for harmonic qtions.Comprison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the Key words:artificial gr mapping:harmonic equation 自然科学基 资助项日(5117836,51478340：浙江省自然科学基金资助项目(LZ13E08002XPot(51178336 nce foun .du.c 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne

第 46 卷第 6 期 中南大学学报(自然科学版) Vol.46 No.6 2015 年 6 月 Journal of Central South University (Science and Technology) June 2015 DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.06. 环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 胡向东 1, 2，韩延广 1, 2 (1. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海，200092； 2. 同济大学 地下建筑与工程系，上海，200092) 摘要：隧道联络通道和矿山竖井冻结法施工经常采用环形布置冻结管。对于环形布管冻结温度场的解，目前仅有 冻结圈内完全冻实的单圈管冻结温度场解析解，但现实冻结工程中，内部通常是未冻实的。首先应用保角变换将 环形单圈管冻结模型变换为易于求解的特殊的直线型排布的模型，再结合调和方程的边界条件可分离的性质，将 问题分解为单排问题和线性温度场问题，最后完成单圈管冻结圈内未冻实的温度场解析解。热力学数值模拟计算 对解析解的验证结果表明：在冻土帷幕充分交圈后，数值模拟结果和解析解结果基本一致，得到的解析解具有较 高的精度。同时本文解析解也适用于冻结圈内完全冻实的温度场。 关键词：人工地层冻结法；环形单圈冻结管；温度场；解析解；保角变换；调和方程 中图分类号：TK124 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2015)06−2342−08 General analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing HU Xiangdong1, 2, HAN Yanguang1, 2 (1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China) Abstract: Single-circle-pipe freezing method is often applied in cross passage construction and mine shaft sinking. At present, there is only one analytical solution which is aimed at the situation that the ground inside the freezing-pipe circle is frozen solid. However, a more usual situation is that the area enclosed inside the freezing-pipe circle is not frozen completely. For this situation, an analytical solution to the steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing was proposed. The solution was derived by converting the single-circle-pipe freezing model to a special single-row-pipe freezing model using conformal mapping, and then decomposing the single-row-pipe freezing model into the single-row-pipe freezing model and a linear temperature field model according to the separability of boundary conditions for harmonic equations. Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough. Furthermore, the solution can also be employed for the temperature field of the frozen-solid situation. Key words: artificial ground freezing; single-circle-pipe freezing; temperature field; analytical solution; conformal mapping; harmonic equations 收稿日期：2014−04−13；修回日期：2014−08−20 基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51178336，51478340)；浙江省自然科学基金资助项目(LZ13E080002)(Project (51178336, 51478340) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (LZ13E080002) supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province, China) 通信作者：胡向东，副教授，博士生导师，从事隧道及地下工程研究；E-mail：anton.geotech@tongji.edu.cn

第6物 胡向东。等：环形单网管冻结拉态温度场一般解析解 2343 人工地层冻结技术已发展成为一种成熟工法，在 和双拜管冻结巴霍尔金公式的准确性进行了分析叫， 井矿工程、隧道工程、 地基临时加固、地下水污染招 结果表明，在冻结的中后期(>0.7，其中：为冻 制、废弃物掩埋等领域已有广泛应用。在施工过程中 唯幕厚度，1为冻结管间距)，温度场任何一点的计算 堂据连土推幕的厚度和力学性质等参数是非常重要 误差不超过1℃。因此在冻结的中后期，人工冻结温 的，而这些参数均依赖于族结温度场的分布。因此， 温度场理论是冻结法理论的基础。目前冻结温度场的 度场将可以近似当作稳态温度场。则9=0：8。 计算方法主要有解析法 模拟法以及数值分析方法。 0,方程1)简化为： 而解析解由于其理论性强，始终是研究温度场的重要 部分。到目前为止，各国专家、学者们已经取得了 (2) 系列冻结管规则布置形式下的经典稳态温度场解析 解。例如单管冻结温度场公式山，两管~五管直线布 其极坐标下的表达式为： 冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双 管冻结温度场公式等，并且沿用至今。作者对这些 80,180180 ar2 r ar 0 公式进行了完善与应用性研究5，并完成了三排管冻 结温度场解析解的推导0-15，对于环形布置冻结管的 情形。完成了该结国内冻实的单图管冻结温度场解折 单管的数学模型及解析解 解，对于内部未冻实的情祝尚无解析解答 文州 者基于保角变换和调和方程边界条件可分离性， 单管在无限大地层形成的温度场的问题如图1所 环形单圈管冻结圈内未冻实的稳态温度场解析解进行 示。 了求解。 1二维热传导方程 冻士边界 在土体中，热传递主要有3种形式：传导、对流 和辐射。因为对流和辐射对温度场的影响相对于传导 可以忽路不计，所以仅仅老虑传导形成的温度场陶 东结管 根据Fourier热传导定律和热量守恒律，可以得到二年 热传导方程的形式如下： 1) 图1平西内管的温度场问 其中：日为温度场的分布：k为介质的热传导系数： Fig.1 Model of single-pipe freezing 为密度：c为此热容：，x,)为单位时间单位体利 系统吸收或者放出的热量。 其数学模型如下： 人工地层冻结过程是一个瞬态热传导过程，是个 具有相变并且相变界面移动的问题。对于采用稳态温 度场沂似避本温度场的活用性问顺。学术果和丁程界 6,)=,；冻结管处条件 普遍接受的观点是：由于人工地层冻结是个发展相 ξ.)=0：冻土边界条件 缓慢的过程，尤其是在冻结的后期，其温度场非常拉 通过分离变量法可，求得满足上述调和方程的通 近稳态导热温度场，在人工地层冻结法的温度场理论 解为： 与工程中，对此状态可按稳态导热近似求解人工冻结 0(r.B)=co++ 温度场。世界上最流行和实用的人工冻结温彦场解析 解有前苏联，乳、美国和日本公式，他们均为稳 a.cos m+-.sin m4产+"）(5) 温度场公式。对此问题，作者曾针对文献3)]的单排 将边界条件进行Fourier级数展开，仍为常数，即 1002016 Academic Jou al Eleetronie Publishing House.All right http://www.cnki.ne

第 6 期 胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2343 人工地层冻结技术已发展成为一种成熟工法，在 井矿工程、隧道工程、地基临时加固、地下水污染控 制、废弃物掩埋等领域已有广泛应用。在施工过程中， 掌握冻土帷幕的厚度和力学性质等参数是非常重要 的，而这些参数均依赖于冻结温度场的分布。因此， 温度场理论是冻结法理论的基础。目前冻结温度场的 计算方法主要有解析法、模拟法以及数值分析方法。 而解析解由于其理论性强，始终是研究温度场的重要 部分。到目前为止，各国专家、学者们已经取得了一 系列冻结管规则布置形式下的经典稳态温度场解析 解。例如单管冻结温度场公式[1]，两管~五管直线布置 冻结温度场公式[2]，单排管冻结温度场公式以及双排 管冻结温度场公式[3−4]等，并且沿用至今。作者对这些 公式进行了完善与应用性研究[5−9]，并完成了三排管冻 结温度场解析解的推导[10−15]；对于环形布置冻结管的 情形，完成了冻结圈内冻实的单圈管冻结温度场解析 解[16]，对于内部未冻实的情况尚无解析解答。本文作 者基于保角变换和调和方程边界条件可分离性[17]，对 环形单圈管冻结圈内未冻实的稳态温度场解析解进行 了求解。 1 二维热传导方程 在土体中，热传递主要有 3 种形式：传导、对流 和辐射。因为对流和辐射对温度场的影响相对于传导 可以忽略不计，所以仅仅考虑传导形成的温度场[18]。 根据 Fourier 热传导定律和热量守恒律，可以得到二维 热传导方程的形式[18]如下：   2 2 2 2 k g txy , , tc c x y                  (1) 其中：θ 为温度场的分布；k 为介质的热传导系数；ρ 为密度；c 为比热容；g(t，x，y)为单位时间单位体积 系统吸收或者放出的热量。 人工地层冻结过程是一个瞬态热传导过程，是个 具有相变并且相变界面移动的问题。对于采用稳态温 度场近似瞬态温度场的适用性问题，学术界和工程界 普遍接受的观点是：由于人工地层冻结是个发展相对 缓慢的过程，尤其是在冻结的后期，其温度场非常接 近稳态导热温度场，在人工地层冻结法的温度场理论 与工程中，对此状态可按稳态导热近似求解人工冻结 温度场。世界上最流行和实用的人工冻结温度场解析 解有前苏联[1, 3]、美国[4]和日本公式[2]，他们均为稳态 温度场公式。对此问题，作者曾针对文献[3]的单排管 和双排管冻结巴霍尔金公式的准确性进行了分析[20]， 结果表明，在冻结的中后期(ξ/l＞0. 7，其中 ξ 为冻土 帷幕厚度，l 为冻结管间距)，温度场任何一点的计算 误差不超过 1 ℃。因此在冻结的中后期，人工冻结温 度场将可以近似当作稳态温度场。则 0 t    ；g(t，x， y)=0，方程(1)简化为： 2 2 2 2 0 x y         (2) 其极坐标下的表达式为： 2 2 2 22 1 1 0 r r r r            (3) 2 单管的数学模型及解析解 单管在无限大地层形成的温度场的问题如图 1 所 示。 图 1 平面内单管的温度场问题 Fig. 1 Model of single-pipe freezing 其数学模型如下： 2 2 2 22 0 0 1 1 0 ( , ) ; ( , ) ; f r r r r r                        冻结管处条件 冻土边界条件     (4) 通过分离变量法[17]，求得满足上述调和方程的通 解为： 10 20  (, ) r   cc r   ln 1 2 1 ( cos sin )( ) m m m m mm m a m b m cr c r             (5) 将边界条件进行 Fourier 级数展开，仍为常数，即

2344 中南大学学报（自然料学板 算45卷 与0无关，则a0 b-0 示为Z-R©（共中R为极径，B为极角）.而将平面表 再将冻结管和冻土边界条件代入式(5)可以得到： 示为=+其中为平面中的横坐标，为其纵坐 标)。将2个平面分别带入变换函数可以得到： 0=8, + (6) utiv-B+ilnR R (9) 则物平面问题经过此种变换，其像平面问题如图 上式即为特鲁巴克单管冻结温度场 3所示。 单圈管冻结圈内未冻实的温度场 外边界 R. 31保角变换的应用 在冻土帷幕交圈后，冻土边界呈波浪形状。所以 冻结圈内未冻实的环形单园管冻结问题如图2所示。 内边界 图3平面温定场问题 外边界 Fig.Model of temperature field nplane 限据保角变换，=：=h=h冬 内边界。 3.2 单排管冻结的巴霍尔金问题 主而 .01 单排管冻结时，在冻土帷幕交阁后，冻土帷幕边 界为波浪形状，则其温度场问题如图4所示。 图2单国音冻结图内未冻实的问题求解模型 冻土边界 Fig.Modelofsi e-pipe freezing 其数学模型可以表达为 ,月 第)管 =C ar 8+2红 0：冻结管处条付 图4平面内单排管的温度场问题 Fig.4 Model ofsingle-row-pipe freezing o(习-风：体士内边界条作 其数学模型为 ©（-：漆士外边界条件 a20a20 =0 3a2 共中：n为冻结管的数量，j从0到1取整数值 ，均)=：冻土边界条 (10 由于直接求解上述问题较为困难，现引入保角变 U1,6)=0,:冻结管处条 换，将其变换为较易解决的问题。变换函数为 利用调和方程的边界条件可分离性可，将族土边 (8) 界条件和冻结管处条件均讲行分解。将原问题分解为 其中Z平面为原平面（即物平面）》 (平面为像平面。根 无限个单管冻结问题，则针对第管可以建立如下的 据复变函数可以表示一个平面中的点，因此Z平面表 数学模型： 994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

2344 中南大学学报(自然科学版) 第 46 卷 与 θ 无关，则 am=0；bm=0。 再将冻结管和冻土边界条件代入式(5)可以得到： 0 0 0 0 ln ln ln ln f r r r T r r        (6) 上式即为特鲁巴克单管冻结温度场。 3 单圈管冻结圈内未冻实的温度场 3.1 保角变换的应用 在冻土帷幕交圈后，冻土边界呈波浪形状。所以 冻结圈内未冻实的环形单圈管冻结问题如图 2 所示。 图 2 单圈管冻结圈内未冻实的问题求解模型 Fig. 2 Model of single-circle-pipe freezing 其数学模型可以表达为 2 2 2 22 2 0 1 0 3 0 1 1 0 2π , ; 2π , ; 2π , ; f r r r r R Rj n R j n R j n                                                    冻结管处条件 冻土内边界条件 冻土外边界条件       (7) 其中：n 为冻结管的数量，j 从 0 到 n−1 取整数值。 由于直接求解上述问题较为困难，现引入保角变 换，将其变换为较易解决的问题。变换函数为 2 ln Z i R   (8) 其中 Z 平面为原平面(即物平面)；ζ 平面为像平面。根 据复变函数可以表示一个平面中的点，因此 Z 平面表 示为 Z=Re iβ (其中 R 为极径，β 为极角)。而将 ζ 平面表 示为 ζ=u+iv(其中 u 为 ζ 平面中的横坐标，v 为其纵坐 标)。将 2 个平面分别带入变换函数可以得到： 2 i i ln R u v R   (9) 则物平面问题经过此种变换，其像平面问题如图 3 所示。 图 3 像平面温度场问题 Fig. 3 Model of temperature field in ζ plane 根据保角变换， u   ； 2 ln R v R  ； 2 1 1 ln R R   ； 3 2 2 ln R R   ； 2π l n  ； 0 w 2 R R R  。 3.2 单排管冻结的巴霍尔金问题 单排管冻结时，在冻土帷幕交圈后，冻土帷幕边 界为波浪形状，则其温度场问题如图 4 所示。 图 4 平面内单排管的温度场问题 Fig. 4 Model of single-row-pipe freezing 其数学模型为 2 2 2 2 0 0 0 ( , ) ; ( , ) ; f x y jl jl r                       冻土边界条件 冻结管处条件 (10) 利用调和方程的边界条件可分离性[17]，将冻土边 界条件和冻结管处条件均进行分解，将原问题分解为 无限个单管冻结问题，则针对第 j 管可以建立如下的 数学模型：

第6期 胡向东，等：环形单网管冻结稳态温度场一般解析解 2345 2-1兰，化并解6 22 ,0±=0：第省 c=-5-n2小4：0 0,-4 0(Ul±L,±5)=0a 冻土边界条件 h- 0.(1±21.±)=0 (1) 将其代入式(15)，则 0= (18) 9.(l,)=8:第泪 8,1±6)=g 0,U±21,6)=0 陈结管处条件 4[平w受 上式与巴霍尔金单排管冻结温度场的解析解3) 选取适当的80,6心，…及日6,85，，可 相同。 以保证问题（山）为单管冻结的温度场模型。则 3.3像平面温度场问题的解 对于图3表示的像平面温度场问题，其数学模型 (12) 为： (oo Po 其中：=+x-T 根据冻土边界和冻结管条件的周期性，则日80 l,-5)=a:冻土内边界条件 (19) 为常数。即每根管温度场问愿相同。 儿)=:冻土外边界条件 单排管冻结温度场解为无限个单管冻结温度场解 ，R)=日：冻结管处条件 的叠加 根据边界条件可以分离性可，上述问题可以分解 0=-g (13) 为求解以下2个问题，然后再将解加起来即可得到原 问题的解，即0+ 根据贝塞特求和公式叫， 立r+-01=nch29-cos2-）(4 兽器0 整理式(13)得： 8(l,-5)=A;冻士土内边界条件 (20) 4(U1,5)=-0+。,冻土外边界条件 8Ul,R)=6,-8:冻结管处条件 ro 10 a,1,-5)=0,冻土内边界条件 将冻士边界条件代入式15)，得： (2) ,(Ul,5)=日。，冻土外边界条件 ,,R)=,:冻结管处条件 (16) 通过选取适当的8。可以保证式(20)为单排巴霍尔 再将冻结管处条件代入式(15，得： 金问题。由冻土内边界和冻结管条件，根据单排巴霍 cpn(受-wm平-4 尔金解(18)，其解可以表达为： (17) 0,-4-% 因为c2-2+1,工程中号<1则 h2- ·受中后湖子1期。 店n平-w平}4四 1994-2016Chi Academic Joural Electronic Publishing House.All rights http://www.cnki.ne

第 6 期 胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2345 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 (, ) ; ( ,) ( 2, ) (,) ; ( ,) ( 2, ) j j j j j j j j j jf j jf j jf x y jl j jl l jl l jl r j jl l r jl l r                                                                   第 管 冻土边界条件 第 管 冻结管处条件 (11) 选取适当的 1 j0  ， 2 j0  ，…及 1 jf  ， 2 jf  ，…，可 以保证问题(11)为单管冻结的温度场模型。则 0 f 0 0 0 ln ln ln ln j j jj j r r r r r        (12) 其中： 2 2 ( ) j r y x jl   。 根据冻土边界和冻结管条件的周期性，则 θjf；θj0 为常数。即每根管温度场问题相同。 单排管冻结温度场解为无限个单管冻结温度场解 的叠加：   j     (13) 根据贝塞特求和公式[21]： 2 2 2π 2π ln[ ( ) ] ln ch cos y x y x jl l l             (14) 整理式(13)得： 1 2π 2π ln ch cos 2 y x C D l l          (15) 0 0 0 0 ln ln ln ln jf j C r r r              ； 0 0 0 ln ln j jf D r r       将冻土边界条件代入式(15)，得： 0 1 2π 2π ln ch cos 2 jl C D l l           (16) 再将冻结管处条件代入式(15)，得： 0 f 1 2 2π π ln ch cos 2 r jl C D l l          (17) 因 为 ch2x=2sh2 x+1 ，工程中 0r l ＜＜ 1 则 0 0 π π sh r r l l  ；冻结中后期 π 1 l   ，则 π π 1 sh e 2 l l    ， 2π 2π 1 ch 1 e 2 l l     ，化简并求解式(16)和(17)得： 0 1 2π ln 2 2 C D l            ； 0 0 2π π ln f D r l l       将其代入式(15)，则 0 0 0 π 2π π ln f A r l l l                  (18) 其中： 1 2π 2π ln 2 ch cos 2 y x A l l            。 上式与巴霍尔金单排管冻结温度场的解析解[3] 相同。 3.3 像平面温度场问题的解 对于图 3 表示的像平面温度场问题，其数学模型 为： 2 2 2 2 1 0 2 0 w 0 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; f u v jl jl jl R                          冻土内边界条件 冻土外边界条件 冻结管处条件 (19) 根据边界条件可以分离性[17]，上述问题可以分解 为求解以下 2 个问题，然后再将解加起来即可得到原 问题的解，即 θ=θ1+θ2。 2 2 1 1 2 2 1 10 12 0 1 w 0 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; a f b u v jl jl jl R                              冻土内边界条件 冻土外边界条件 冻结管处条件 (20) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 w 0 ( , ) 0; ( , ) ; ( , ) ; a b u v jl jl jl R                          冻土内边界条件 冻土外边界条件 冻结管处条件 (21) 通过选取适当的 θa 可以保证式(20)为单排巴霍尔 金问题。由冻土内边界和冻结管条件，根据单排巴霍 尔金解(18)，其解可以表达为： 0 1 1 2π π ln f b Rw l l           1 0 1 2π 2π π ln2 ch cos 2 v u l ll                  (22)

2346 中南大学学报（自然科学板） 第46卷 则将冻土外边界条件代入式(22)得到： 到单圈管冻结圈内未冻实的温度场解析解 nhn是nhR R R +6(31) 由2>1则2经-105x学，化简后 n是2h是 0-6 得到： 共中，0w= (23) R 而对于式21)，由于冻结管半径很小，在不引起 大的误差的前提下，为了便于计算，将冻结管处条件 --2am ,(1,R)=A简化为6(l,0)=A。进取适当的T元可 以保证其解为线性温度场。则 3.5冻土帷幕形状特征 (24) 理论上讲，冻土帷幕边界应随冻结管位置呈波浪 形，现考察共特征。按命题，冻土边界各处温度相等 将冻结管处条件代入(24)得到 故外边界主面-0°的面)与外边界界面士180的 (25) 面)位置处的温度之差△=0（见图2）。由式(31)，得 联立式(23)和(25)可以解出 以=09含 (26) 图专 0=0后-5 (27 (32 0.-0 共中：04 在冻结中后期，R>R:>R2,因工程中n 将式(26)代入式(22)得： 核大，则[0，食0：（食2， 4-o平w畀}]4 (货>2所以式e2化岗为 将式(27)代入式(24)得： 4=停路 (29 (33) R 0-(-小%国 :4-a平-平} 则可得到2nh是h是0，即是1 从上述判定过程可以看出，在满足冻结中后期（ 3.4物平面温度场的解析解 幕厚度较大)和冻结管数较多（工程常用布孔参数）的情 银据保角变损，r:=加是：有=h受 况下，即满足化简过程的参数条件时，主面厚度和界 面厚度基本一致，则冻土边界形状可以当作环形。其 波浪形可以忽略。这一结论不适用于不能构成环形布 孔的过少冻结管的情况。 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

2346 中南大学学报(自然科学版) 第 46 卷 则将冻土外边界条件代入式(22)得到： 0 2 1 w 1 1 2π π ln2 ch 1 2π π 2 ln f b a R l l l l                         由 2 2π l  ＞＞1 则 2 2π 2 2π ch 1 0.5 e l l     ，化简后 得到： 0 2 1 w 1 π ( ) 2π π ln f b a R l l l             (23) 而对于式(21)，由于冻结管半径很小，在不引起 大的误差的前提下，为了便于计算，将冻结管处条件 2 (, ) w b  jl R   简化为 2 ( ,0) b  jl   。选取适当的 Tb可 以保证其解为线性温度场。则 2 1 1 2 ( ) a v         (24) 将冻结管处条件代入(24)得到 1 1 2 a b        (25) 联立式(23)和(25)可以解出 11 2 1 2 π b A l           (26) 1 2 π ( ) a A l       (27) 其中： f 0 w 1 2 1 2 2π π 2 ln A R l l            。 将式(26)代入式(22)得： 1 10 1 2π 2π π ln2 ch cos 2 A v u l ll                    (28) 将式(27)代入式(24)得： 11 21 2 121 π A v l                  (29) 12 1 2 0 12 21 π π 2 A A v l l                      (30) 其中： 1 2π 2π ln 2 ch cos 2 v u A l l               。 3.4 物平面温度场的解析解 根据保角变换，u=β； 2 ln R v R  ； 2 1 1 ln R R   ； 3 2 2 ln R R   ； 2π l n  ； 0 w 2 R R R  。全部带入式(30)，得 到单圈管冻结圈内未冻实的温度场解析解： 2 2 3 2 1 2 1 3 0 3 3 2 1 1 ln ln ln ln ln 2ln M R R R n n R R R R R M R R R R R             (31) 其中， 0 2 3 0 1 2 2 3 1 ln ln ln ln f M R R n nR R R R R R       ，   2 2 1 ln 2cos 2 n n R R M n R R                       。 3.5 冻土帷幕形状特征 理论上讲，冻土帷幕边界应随冻结管位置呈波浪 形，现考察其特征。按命题，冻土边界各处温度相等， 故外边界主面(β=0°的面)与外边界界面(β=±180°/n 的 面)位置处的温度之差t=0(见图 2)。由式(31)，得 2 3 2 2 2 3 13 3 3 3 3 2 1 2 3 2 ln 1 = ln + ln 2 ln 2 n n M n n R R R n R R RR R t R R R R R R R                                      (32) 在冻结中后期， R R 3 2  ； R R 3 2   ，因工程中 n 较大，则 2 3 0 n R R        ， 2 3 0 n R R         ； 3 2 n R R       ＞＞2， 3 2 n R R       ＞＞2。所以式(32)化简为 2 3 2 2 13 3 3 3 3 1 2 ln ln + ln 0 ln n n R R n R RR R R R R R R               (33) 则可得到 2 3 1 3 2 ln ln 0 R R n R R   ，即 3 3 1 R R   。 从上述判定过程可以看出，在满足冻结中后期(帷 幕厚度较大)和冻结管数较多(工程常用布孔参数)的情 况下，即满足化简过程的参数条件时，主面厚度和界 面厚度基本一致，则冻土边界形状可以当作环形，其 波浪形可以忽略。这一结论不适用于不能构成环形布 孔的过少冻结管的情况

第6期 胡向东，等：环形单网管冻结稳态温度场一般解析解 2347 3.6解析解准确性检验 此时式(31)简化为 解析解推导过程中采用了 一定的简化处理，故有 必要对解的准确性进行验证。因为数值模拟能够较好 8 R 的反应人工冻结温度场的分布，所以用ANSYS热力 = -(34 学数值模拟来检验解析解的结果。根据一般的工程实 - 际，选取参数。环半径R2一般在2.5-8.0m:管间距/ 般取值为05-12m :帷幕厚度与管间距比位 般为 已有的冻结圈内部完全冻实的温度场解析解© 0.5~1.5:而且内侧冻土惟幕与外侧栋土准幕比值5/3 一般介于1和0.55：0.45之间。冻结管半径0.054m: 冻结管表面温度=-30℃：冻土边界温度a-0℃。 (瓮-a -(35) 本次数值模拟共分4组。每组的参数列于表1。 )(-a 表1单管冻结数值模拟参教 Table 1 Simulation parameters of single-cirele-pipe freezing Group R/m Ry/m R3/m n I/m 14 2534119 151.05 2 34119 30 6.0 7.0 8.0 1 401.10 46.07.08.01800.55 上述模拟参数属工程常用参数范围内，满足3.5 节的参数要求，故采用环形边界进行数值模拟。又由 于问题的周期性，采取包含一个冻结管的圆心角为 360m的扇形进行模拟。其中主面为00°的面：界面 为=士180m的面。第1组模拟的网格划分图和温度 场云图如图5和6所示。各组模拟对比结果如图7 所示 通过上述对比结果可以知道，数值解和解析解基 本一致。说明在工程中常用的参数范围内，本文求得 的单圈冻结圈内未冻实的温度场的解析解具有较高的 准确性。不仅说明了采用圆弧面边界模型讲行数伯模 拟是可行的，同时也说明了在工程常用布孔参数范围 图5第1组数值模椒模型及网格刻分 内并在冻结的中后期 ，波浪形边界可以看作环形边界 Fig.Simulation model and meshing figure of first group 的结论的正确性。 37与冻结圈内冻实的温度场解析解对比 对于式(31)，若考虑R,趋向于0，即极限时，冻 结图内处于完全冻实状态，则 in-h飞 R2 In R Rs -InR -0雾男86西 =n-nR1 图6第1组数值模拟结米温度云图 Fig.6 Temperature field color map of first group 1994-2016Chim al Electronic Publishing House.All right erved. www.cnki.ne

第 6 期 胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2347 3.6 解析解准确性检验 解析解推导过程中采用了一定的简化处理，故有 必要对解的准确性进行验证。因为数值模拟能够较好 的反应人工冻结温度场的分布，所以用 ANSYS 热力 学数值模拟来检验解析解的结果。根据一般的工程实 际，选取参数。环半径 R2一般在 2.5~8.0 m；管间距 l 一般取值为 0.5~1.2 m；帷幕厚度与管间距比值一般为 0.5~1.5；而且内侧冻土帷幕与外侧冻土帷幕比值 ξ1/ξ2 一般介于 1 和 0.55:0.45 之间。冻结管半径 0.054 m； 冻结管表面温度 θf=−30 ℃；冻土边界温度 θ0=0 ℃。 本次数值模拟共分 4 组。每组的参数列于表 1。 表 1 单圈管冻结数值模拟参数 Table 1 Simulation parameters of single-circle-pipe freezing Group R1/m R2/m R3/m ξ1/ξ2 n l/m 1 1.4 2.5 3.4 11/9 15 1.05 2 1.4 2.5 3.4 11/9 30 0.52 3 6.0 7.0 8.0 1 40 1.10 4 6.0 7.0 8.0 1 80 0.55 上述模拟参数属工程常用参数范围内，满足 3.5 节的参数要求，故采用环形边界进行数值模拟。又由 于问题的周期性，采取包含一个冻结管的圆心角为 360°/n 的扇形进行模拟。其中主面为 θ=0°的面；界面 为 θ=±180°/n 的面。第 1 组模拟的网格划分图和温度 场云图如图 5 和 6 所示。各组模拟对比结果如图 7 所示。 通过上述对比结果可以知道，数值解和解析解基 本一致。说明在工程中常用的参数范围内，本文求得 的单圈冻结圈内未冻实的温度场的解析解具有较高的 准确性。不仅说明了采用圆弧面边界模型进行数值模 拟是可行的，同时也说明了在工程常用布孔参数范围 内并在冻结的中后期，波浪形边界可以看作环形边界 的结论的正确性。 3.7 与冻结圈内冻实的温度场解析解对比 对于式(31)，若考虑 R1 趋向于 0，即极限时，冻 结圈内处于完全冻实状态，则 1 1 2 3 12 2 1 3 3 0 0 3 23 1 2 1 ln ln ln ln lim lim ln ln ln ln ln R R R R RR R R R R R RR R R R       ， 1 1 2 2 2 2 1 13 3 0 0 3 3 1 1 ln ln ln lim lim 1 ln ln ln R R R R R RR R R R R R       此时式(31)简化为： 2 3 2 3 2 1 2 0 2 ln 2ln 2cos n f n n n n R RR R R R n nR R R R                                  (34) 已有的冻结圈内部完全冻实的温度场解析解[16] 为： 2 3 2 3 2 1 2 0 2 2cos ln 2ln 2cos n f n n n n R n RR R R R n nR R R R                                    (35) 图 5 第 1 组数值模拟模型及网格划分 Fig. 5 Simulation model and meshing figure of first group 图 6 第 1 组数值模拟结果温度云图 Fig. 6 Temperature field color map of first group

2348 中南大学学报（自然科学板） 第46卷 30 (a)组1：)组2：（组3：d组4 1一主面角析解：2一界面解析解 图7解析解计算塔果与数值计算结果对比 Fig.7 Comparison between analytical soution and numerical solution 当R的取值范围在冻土帷幕以内时，即R<R, 尔金问题和线性温度场的问题 完成了单圈管冻结内 部未冻实的温度场解析式。并且此公式也可以针对冻 结圈内部完全冻实的情况。 3)在工程合理参数范围下，冻结中后期，冻土帷 所以，在这种情况下，式(34)将可以近似代替式 边界之波浪形极不明品可视作环形。 (35),出现的误差可以忽略 因此本文求得的温度场解析式既适合干冻结圈内 参考文献： 未冻实的情况，也适合于冻结圈内完全冻实的情况。 [1]Trupak NG Ground fr in shaft sinking[MI.Moscow:Coal Technology Press 1954-20-65 4结论 2]Tobe N.Akimoto Temperature distribution fomua fro soil and its applicationll Refrigeration.1979.54:3-11 31 Bakholdin B V.Selection of optimized mode of ground freezing 1)应用调和方程的边界条件可分离性，将经典的 单排巴霍尔金问题分解为无数个单管冻结问题，以此 for construction purpose[M].Moscow:State Construction Press 1963:21-27. 重现了巴霍尔金解。 4]Sanger FJ.Ground freezng in coructio Joumal of the 2)通过保角变换将冻结圈内未冻实的单圈管冻 Soil Mechanics and Foundations Division,Proceedings of ASCE 结问题转化为特殊的单排冻结问愿，再次以调和方君 1968.94SM1131-158 边界条件可分离性，将问题分解为已有解的单排巴歪 [5]HU Xiangdong Average temperature model of double-row-pipe 994-2016 China Academie Joumal Eleetronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

2348 中南大学学报(自然科学版) 第 46 卷 (a) 组 1；(b) 组 2；(c) 组 3；(d) 组 4 1—主面角析解；2—界面解析解 图 7 解析解计算结果与数值计算结果对比 Fig. 7 Comparison between analytical solution and numerical solution 当 R 的取值范围在冻土帷幕以内时，即 R＜R3， 则 2 3 3 2 2 1 R R RR R ≥  ， 2 3 2 n R RR         ＞＞ 2cos n 。 所以，在这种情况下，式(34)将可以近似代替式 (35)，出现的误差可以忽略。 因此本文求得的温度场解析式既适合于冻结圈内 未冻实的情况，也适合于冻结圈内完全冻实的情况。 4 结论 1) 应用调和方程的边界条件可分离性，将经典的 单排巴霍尔金问题分解为无数个单管冻结问题，以此 重现了巴霍尔金解。 2) 通过保角变换将冻结圈内未冻实的单圈管冻 结问题转化为特殊的单排冻结问题，再次以调和方程 边界条件可分离性，将问题分解为已有解的单排巴霍 尔金问题和线性温度场的问题，完成了单圈管冻结内 部未冻实的温度场解析式。并且此公式也可以针对冻 结圈内部完全冻实的情况。 3) 在工程合理参数范围下，冻结中后期，冻土帷 幕边界之波浪形极不明显，可视作环形。 参考文献： [1] Trupak N G. Ground freezing in shaft sinking[M]. Moscow: Coal Technology Press, 1954: 20−65. [2] Tobe N, Akimoto O. Temperature distribution formula in frozen soil and its application[J]. Refrigeration, 1979, 54: 3−11. [3] Bakholdin B V. Selection of optimized mode of ground freezing for construction purpose[M]. Moscow: State Construction Press, 1963: 21−27. [4] Sanger F J. Ground freezing in construction[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, Proceedings of ASCE, 1968, 94(SM1): 131−158. [5] HU Xiangdong. Average temperature model of double-row-pipe

第6期 胡向东。等：环形单网管冻结检态温度场一般解析解 2349 wall by 报 Pysics.20101333-138 HU Xia ons.GUO Wang.ZHANG 胡向东，黄峰。白楠，考电土层冻结温度时人工冻结温度场 模型中图矿业大学学报（自然科学，2008,3 inn infinite region Jou of ShanghaiJ 550-555 2012.47911367.137 HU Xianedone.HUANG Feng.BAl Nan.Models of artificia 14胡向东，汪洋。三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 sidering soil freezing point 岩石力学与工程学报，2012,3151071-1080. China University of Mining Technology(Natr HU Xiangdong.WANG Yang.Analytical solution of 8 cience1200837M4r550-555 three-row-piped frozen temperature field by means of [刀胡向东，白楠.余锋.单择管冻结温度场Trupak和Bakholdin superposition of potentia Chinese Journal of Rock 公式的适用性同济大学学报（自然科学版，2008,367 s and En ing2012.31(511071-1080 906-910. [Ⅱ]胡向东，任辉。3排管冻结梯形-抛物弓叠合等效温度场模型 HU Xi edong.BAl Nan.YU Feng.Analysis of Trupak and 和平均温度U几.煤炭学报.2014.39列1上78-83」 Bakholdin formulas for temperature field of single-row-pipe HU Xiangdong,REN Hui.A traperoidal-parabolic arch rozen soil walllJ]Journal of Tongji University (Natural ture field model and its averape Science,)2008,36(7作906-910， temperature formula for triple-row-pipe freezing Joual of 8 胡向东.直线形单挂管冻士幕平均温度计算方法冰川 China Coal So iety,2014.3%178-83 冻土.2010.32(4：778-78 6胡向东，陈锦，汪洋，等 环形单圈管冻结稳态温度场解析解 HU Xiangdong A calculation for the straigh .岩士力学2013 soil wallJ]Joumal of Glaciology and CHEN Jin,WANG Yang.et al.Analytical 胡向东 ,赵 2010.3 直线双排管结 平均温度的等 371k28 上之西 2012.37028-2 ng.QIN Te nM]s s520035 ZHANG LO 1060.1 r adiabatic/CDMA2013.Qindao.2013: 9jLM.Heat conduct n[M].Berlin:Springer Berlin 7.360 [11]HU Xiangdong.ZHANG Luoyu Analytical solution to 2训胡向东，赵俊杰人工冻结温度场巴霍尔金模型准确性研究 rature ficld of two freczing pipes with n地下空间与T积学报20101上g6-10 different temperatures Joural of Shanghai Jiaotong HU Xianedone ZHAO Juniie.Research on precision of University (Science)2013.1816 706-711 Bakholdin model for temperature field of artificial ground 2]胡向东，郭旺.张洛喻.无限大区域内少量冻结管稳态温度 freezing[J].Chinese Journal of Underground Space and 场解析解几煤炭学报.2013.3811：1933.1960 ing2010.6196-101. Hu Xiansdong.Guo Wang.Zhang Luovu.Analytical solution of 1211 Hurst W.Reservoir engi g and conformal mapping of oil steady state temperature ficld of a few freezing pipes in infin andgs ficld[M].Tuls Oklahoma:The Petroleum Publishing region].Journal of Chins Coal Society,2013, Company.,1979:115-118. 38M11上1953.-1960 (编辑陈爱华) 1994-2016 China Academic Joumal Eleetronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net

第 6 期 胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2349 frozen soil wall by equivalent trapezoid method[C]//AIP Conference Proceedings. New York: American Institute of Physics, 2010: 1333−1338. [6] 胡向东, 黄峰, 白楠. 考虑土层冻结温度时人工冻结温度场 模型[J]. 中国矿业大学学报(自然科学版), 2008, 37(4): 550−555. HU Xiangdong, HUANG Feng, BAI Nan. Models of artificial frozen temperature field considering soil freezing point[J]. Journal of China University of Mining & Technology (Natural Science), 2008, 37(4): 550−555. [7] 胡向东, 白楠, 余锋. 单排管冻结温度场 Тrupak 和 Bakholdin 公式的适用性[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2008, 36(7): 906−910. HU Xiangdong, BAI Nan, YU Feng. Analysis of Trupak and Bakholdin formulas for temperature field of single-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2008, 36(7): 906−910. [8] 胡向东. 直线形单排管冻土帷幕平均温度计算方法[J]. 冰川 冻土, 2010, 32(4): 778−785. HU Xiangdong. Average temperature calculation for the straight single-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of Glaciology and Geocryology, 2010, 32(4): 778−785. [9] 胡向东, 赵飞, 佘思源, 等. 直线双排管冻结壁平均温度的等 效抛物弓形模型[J]. 煤炭学报, 2012, 37(1): 28−32. HU Xiangdong, ZHAO Fei, SHE Siyuan, et al. Equivalent parabolic arch method of average temperature calculation for straight double-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of China Coal Society, 2012, 37(1): 28−32. [10] HU Xiangdong, ZHANG Luoyu. Analytical solution to steady-state temperature field of one and two freezing pipes near linear adiabatic boundary[C]//ICDMA 2013. Qindao, 2013: 257-260. [11] HU Xiangdong, ZHANG Luoyu. Analytical solution to steady-state temperature field of two freezing pipes with different temperatures[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University (Science), 2013, 18(6): 706-711. [12] 胡向东, 郭旺, 张洛瑜. 无限大区域内少量冻结管稳态温度 场解析解[J]. 煤炭学报, 2013, 38(11): 1953-1960. Hu Xiangdong, Guo Wang, Zhang Luoyu. Analytical solution of steady state temperature field of a few freezing pipes in infinite region[J]. Journal of China Coal Society, 2013, 38(11):1953-1960. [13] 胡向东, 郭旺, 张洛瑜. 无限大区域内四管冻结的稳态温度 场解析解[J]. 上海交通大学学报, 2012, 47(9): 1367-1371. HU Xiangdong, GUO Wang, ZHANG Luoyu. Analytical solution of steady state temperature field of four freezing pipes in an infinite region[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2012, 47(9): 1367-1371. [14] 胡向东, 汪洋. 三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解[J]. 岩石力学与工程学报, 2012, 31(5): 1071−1080. HU Xiangdong, WANG Yang. Analytical solution of three-row-piped frozen temperature field by means of superposition of potential[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2012, 31(5): 1071−1080. [15] 胡向东, 任辉. 3 排管冻结梯形-抛物弓叠合等效温度场模型 和平均温度[J].煤炭学报, 2014, 39(1):78-83. HU Xiangdong, REN Hui. A trapezoidal-parabolic arch superimposed equivalent temperature field model and its average temperature formula for triple-row-pipe freezing[J]. Journal of China Coal Society, 2014, 39(1): 78-83. [16] 胡向东, 陈锦, 汪洋, 等. 环形单圈管冻结稳态温度场解析解 [J]. 岩土力学,2013, 34(3):874−880. HU Xiangdong, CHEN Jin, WANG Yang, et al. Analytical solution to steady-state temperature field of single-circle-pipe freezing[J]. Chinese Journal of Rock and Soil Mechanics, 2013, 34(3): 874−880. [17] 陈恕行, 秦铁虎, 周忆. 数学物理方程[M]. 上海: 复旦大学 出版社, 2003: 35. CHEN Shuxing, QIN Tiehu, ZHOU Yi. Mathematical physics equation[M]. Shanghai: Fudan University Press, 2003: 35. [18] Carslaw H S, Jaeger J C. The conduction of heat in solids[M]. London: Oxford University Press, 1959: 1. [19] Jiji L M. Heat conduction[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2009: 2−9. [20] 胡向东, 赵俊杰. 人工冻结温度场巴霍尔金模型准确性研究 [J]. 地下空间与工程学报, 2010, 6(1): 96−101. HU Xiangdong, ZHAO Junjie. Research on precision of Bakholdin model for temperature field of artificial ground freezing[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2010, 6(1): 96−101. [21] Hurst W. Reservoir engineering and conformal mapping of oil and gas field[M]. Tulsa. Oklahoma: The Petroleum Publishing Company, 1979: 115−118. (编辑 陈爱华)