第17卷第3期 中国治金 Vol.17.No.3 2007年3月 China Metallurgy Mar.2007 加热炉内一维、非稳态、变热流钢坯温度场的解析 崔苗，陈海耿，徐万达2 (1.东北大学材料与治金学院.辽宁沈阳100042东北大学理学院.辽宁沈阳110004 摘要：基于合理的简化假设，建立加热炉内钢坯热传导数学模型，应用分离变量法和变分原理，推导一维、非稳 态、变热流钢坯温度场的解析解：定量研究热流为线性分布，正弦分布时，钢坯温度场随加热时间的变化规律，并 研究对应不同的傅里叶数，钢坯温度沿厚度方向的分布，结果表明，推导的解析解是正确和可行的，为加热炉在 线控制中钢坏温度场的动态实时跟踪计算及总括热吸收率的参数辨识提供了一种理论依据。 关键词：加热炉：钢坏温度场：解析解：分离变量法：变分原理 中图分类号：TF061.2 文献标识码：A 文章编号：100693562007)0300340 Analytical Solution of One Dimensional,Unsteady,Inconstant Heat Flux Sab Temperature Distribution in Reheating Furnace CUI Miao',CHEN Har geng'.XU Warrda (1.College of Materials and Mdallurgy.Northeastern U niversity.Shenyang 110004.Liaoning. China:2.College of Seience.Northeastern University.Shenvang 110004.Liaoning.China) Abstract:M hematical model of sb heat conduction was buil based on reasonable assumption.Applying variable ddpripbtatedtritn ofde ant heat derived.The emperature h is l nd sine. e at dif n-line real t ime tracking computation of slab and reverse resolution of total heat exchange codficient in reheating fumace Key words:reheating fumace:slab temperature distrbution:analytical sotio:variable aeparation method varia tional prineiple 解析解也进行了研究：王海南等求出一维、稳态 非热平衡系统的解析解：约翰.戴维斯等研究了平 在线控制有面要意义。加热护内钢坏热传导方程在 板的一维、非稳态热传导方程的解析解，但边界热流 空间上是三维的，复杂的源项及其特殊的边界条 为常数：张洪济采用拉普拉斯变换对非稳态导热 件也增加了对其求解的难度。 问题解析解进行了研究但只限于大平板、长圆柱、 许多文献推导了热传导方程的解析解，但对加 半无限大物体，且未考虑2个第2类非齐次边界号 热炉内钢坯热传导方程解析解的研究却很少。加热 件的情况。笔者考虑到钢坯热传导方程及其边界条 炉内钢还热传导为非稳态、具有2个第2类非齐次 件的特殊性，应用数学物理方法对其解析解进行推 边界条件（已知边界上的热流）、热流时刻变化的复 导与研究。 杂情况。陆全康等1应用数学物理方法求出第2类 齐次边界条件下热传导方程的解析解李等研 1 加热炉内钢坯热传导模型的建立 究了二维稳态导热问题的解析解：李星等刀求出第 加热炉的炉膛主要以热辐射，四形式将热量传 1类边界条件下一维热演化问题的解析解.对具有1 递给钢坯表面，表面热量通过热传导逐渐传递到内 个第1类边界条件和1个第2类非齐次边界条件的 部。为准确描述钢坯热传导与方便推导，简化假设
第 17 卷第 3 期 2007 年 3 月 中国冶金 China Metallurg y Vol. 17, No . 3 M ar. 2007 作者简介: 崔 苗( 1980 ) , 女, 博士生; Email: : yudian800@ 163. com; 修订日期: 20061025 加热炉内一维、非稳态、变热流钢坯温度场的解析 崔 苗1 , 陈海耿1 , 徐万达2 ( 1. 东北大学材料与冶金学院, 辽宁 沈阳 110004; 2. 东北大学理学院, 辽宁 沈阳 110004) 摘 要: 基于合理的简化假设, 建立加热炉内钢坯热传导数学模型, 应用分离变量法和变分原理, 推导一维、非稳 态、变热流钢坯温度场的解析解; 定量研究热流为线性分布、正弦分布时, 钢坯温度场随加热时间的变化规律, 并 研究对应不同的傅里叶数, 钢坯温度沿厚度方向的分布。结果表明, 推导的解析解是正确和可行的, 为加热炉在 线控制中钢坯温度场的动态实时跟踪计算及总括热吸收率的参数辨识提供了一种理论依据。 关键词: 加热炉; 钢坯温度场; 解析解; 分离变量法; 变分原理 中图分类号: TF061. 2 文献标识码: A 文章编号: 10069356( 2007) 03003404 Analytical Solution of OneDimensional, Unsteady, Inconstant Heat Flux Slab Temperature Distribution in Reheating Furnace CU I M iao 1 , CHEN Haigeng 1 , XU Wanda 2 ( 1. Colleg e of Materials and M et allur gy , Northeaster n U niversit y, Shenyang 110004, Liaoning, China; 2. Co llege of Science, Northeaster n Univ ersity , Shenyang 110004, Liao ning , China) Abstract:M at hematical model of slab heat conduction was built based o n r easo nable assumptio n. Apply ing variable separ atio n method and v ariat ional principle, slab t em perat ur e distributio n of o ne- dimensio nal, unsteady, incon stant heat flux was derived. The slab temperature distribut ion w ith heating time w as quantitatively studied w hen the heat f lux is linear and sine. The slab tem per at ur e at different slab depths w as also studied. The r esults show that the analyt ical solut ion is right and practical. T he analytica l so lution ex pression pro vides theor et ical basis fo r on- line real t ime tr acking computatio n of slab and rev erse r eso lutio n of tota l heat exchang e co eff icient in reheating furnace. Key words: reheating furnace; slab temper ature distribution; analyt ical so lutio n; v ariable separ atio n method; v aria tio nal principle 钢坯温度场的动态实时跟踪计算是加热炉 SCC 控制的基础 [ 1~ 3] , 准确地求解钢坯温度场对加热炉 在线控制有重要意义。加热炉内钢坯热传导方程在 空间上是三维的[ 4] , 复杂的源项及其特殊的边界条 件 [ 4] 也增加了对其求解的难度。 许多文献推导了热传导方程的解析解, 但对加 热炉内钢坯热传导方程解析解的研究却很少。加热 炉内钢坯热传导为非稳态、具有 2 个第 2 类非齐次 边界条件( 已知边界上的热流) 、热流时刻变化的复 杂情况。陆全康等 [ 5] 应用数学物理方法求出第 2 类 齐次边界条件下热传导方程的解析解; 李 等 [ 6] 研 究了二维稳态导热问题的解析解; 李星等[ 7] 求出第 1 类边界条件下一维热演化问题的解析解, 对具有 1 个第 1 类边界条件和 1 个第 2 类非齐次边界条件的 解析解也进行了研究; 王海南等 [ 8] 求出一维、稳态、 非热平衡系统的解析解; 约翰. 戴维斯等 [ 9] 研究了平 板的一维、非稳态热传导方程的解析解, 但边界热流 为常数; 张洪济[ 10] 采用拉普拉斯变换对非稳态导热 问题解析解进行了研究, 但只限于大平板、长圆柱、 半无限大物体, 且未考虑 2 个第 2 类非齐次边界条 件的情况。笔者考虑到钢坯热传导方程及其边界条 件的特殊性, 应用数学物理方法, 对其解析解进行推 导与研究。 1 加热炉内钢坯热传导模型的建立 加热炉的炉膛主要以热辐射 [ 11, 12] 形式将热量传 递给钢坯表面, 表面热量通过热传导逐渐传递到内 部。为准确描述钢坯热传导与方便推导, 简化假设:
第3期 崔苗等：加热炉内一维、非稳态、变热流钢坯温度场的解析 35 ①钢坯热传导为沿厚度方向上的一维导热 ②钢坯的导热系数(》与热扩散率(a)为常数： 业9=ay9, ③钢坯在加热炉内匀速前进，即热流仅为加热 g(h.D os x<h. 时间的函数： ④钢坯下表面热流为零，即为绝热面 V,0=1o-02初始条件 ⑤钢坯上表面热流为连续函数.即对加热时间 阶可导。根据上述的简化假设，钢坯热传导的数 ay4|-o=0,边界条件 d 学模型为： 业91-=0，边界条件 d 对式5.应用分离变量法与变分原理并 t(x,0)=to初始条件 求解常微分方程，得： --0=0边界条件 (1) ,9=w-+&a,可t λx.互|==g(h,D边界条件 光-)家m dx 式中x一钢坯厚度方向上的空间坐标，m 钢坯的厚度，m: gh,0+9(a,9e (6 将式(4，式(6)代入式(2)，钢坯温度场的解析 T 一加热时间.： 解为： g(h, 钢坯上表面热流，W/m2: (x,9一温度，C ,=,4[周-引+是a可 入 -导热系数，W1(m·K) a一热扩散率，m2/s。 n光-)京m必。 2钢坯温度场解析解的推导 Lh.0+1(么西e时 设(x,)=V(x,)+W(x,I (2) 3钢坯温度场解析解的研究 将式(2)代入式(1)，得： .-a 将式(7)对T求一阶偏导，得： =a42,是-ram… L0<x<k飞0 e[h.0+ik9er可 (8 V(x,0)=to-W(x,0) 初始条件 a4o+aW.丑1o=0边界条件 由得 dx 4=么边界条 +- 3 [.0+,96可 (9列 对式(3)的边界条件进行齐次化处理： 对于某一固定的x,令业条。0可求得钢还 a9|e.=0a.4l.s=0 温度达到极值的时刻，这里简称为极值时刻：对于某 一围定的工令立9=0，可求得钢坯温度达到极 W(x.D=Ax'+Bx 值的厚度，这里简称为厚度拐点。 并代入式(3).解得 加热炉在线控制中，钢坯温度场动态实时跟踪： (x,9= 算大多采用数值方法，例如，有限差分法4。解析解 的离线分析为加热炉在线控制中钢坯温度场的实时 电式(3)和式(4，得moEro Publi 跟踪计算提供行种理论依据：为模拟研究钢坯，首先
钢坯热传导为沿厚度方向上的一维导热; 钢坯的导热系数( ) 与热扩散率( a) 为常数; ! 钢坯在加热炉内匀速前进, 即热流仅为加热 时间的函数; ∀钢坯下表面热流为零, 即为绝热面; #钢坯上表面热流为连续函数, 即对加热时间 一阶可导。根据上述的简化假设, 钢坯热传导的数 学模型为: t( x , ) = a 2 t( x , ) x 2 0 0 t( x , 0) = t0 初始条件 - t ( x , ) x x= 0= 0 边界条件 t( x , ) x x= h= q( h, ) 边界条件 ( 1) 式中 x ∃∃ ∃ 钢坯厚度方向上的空间坐标, m; h ∃∃∃ 钢坯的厚度, m; ∃ ∃∃ 加热时间, s; q( h, ) ∃∃∃ 钢坯上表面热流, W/ m 2 ; t( x , ) ∃∃∃ 温度, % ; ∃∃∃ 导热系数, W/ ( m & K) ; a ∃ ∃∃ 热扩散率, m 2 / s。 2 钢坯温度场解析解的推导 设 t( x , t) = V( x , ) + W ( x , ) ( 2) 将式( 2) 代入式( 1) , 得: V( x , ) - a 2 V( x , ) x 2 = a 2W ( x , ) x 2 - W( x , ) 0 0 V( x , 0) = t0- W ( x , 0) 初始条件 V( x , ) x x= 0+ W( x , ) x x= 0 = 0 边界条件 V( x , ) x x= h+ W( x , ) x x= h = q( h, ) 边界条件 ( 3) 对式( 3) 的边界条件进行齐次化处理 [ 13] : 设 V( x , ) x x= 0 , = 0 W( x , ) x x= 0 = 0, V( x , ) x x = h= 0 V( x , ) x x = h= q( h, ) , W ( x , ) = A x 2 + B x 并代入式( 3) , 解得: W ( x , ) = q( h, ) 2h x 2 ( 4) 由式( 3) 和式( 4) , 得: V( x , ) = a 2 V ( x , ) x 2 + aq( h, ) h - x 2 q'( h, ) 2h 0 0 V ( x , 0) = t 0- q( h, 0) 2h x 2 初始条件 V( x , ) x x= 0= 0, 边界条件 V( x , ) x x= h= 0, 边界条件 ( 5) 对式( 5) , 应用分离变量法 [ 5, 13] 与变分原理 [ 13] 并 求解常微分方程, 得: V ( x , ) = t 0- hq( h, ) 6 + a h∋ 0 q( h, ) d - 2h ! ( n= 1 ( - 1) n 1 n 2 ∀ 2 cos n∀x h ea - a( n∀ h ) 2 q( h, 0) + ∋ 0 q)( h, ) e a( n∀ h ) 2 d ( 6) 将式( 4) , 式( 6) 代入式( 2) , 钢坯温度场的解析 解为: t( x , ) = t0 + q( h, ) h 2 x h 2 - 1 3 + a h∋ 0 q ( h, ) d - 2h ! ( n= 1 ( - 1) n 1 n 2∀ 2 co s n∀x h e - a( n∀ h ) 2 q( h, 0) + ∋ 0 q)( h, ) e a( n∀ h ) 2 d ( 7) 3 钢坯温度场解析解的研究 将式( 7) 对 求一阶偏导, 得: t( x , ) = a q ( h, ) h + 2 h ! ( n= 1 ( - 1) n aco s n∀x h e - a( n∀ h ) 2 q( h, 0) + ∋ 0 q)( h, ) e a( n∀ h ) 2 d ( 8) 由 t( x , ) = a 2 t( x , ) x 2 , 得: 2 t( x , ) x 2 = q( h, ) h + 2 h ! ( n= 1 ( - 1) n co s n∀x h e - a( n∀ h ) 2 q( h, 0) + ∋ 0 q)( h, ) e a( n∀ h ) 2 d ( 9) 对于某一固定的 x , 令t( x , ) = 0, 可求得钢坯 温度达到极值的时刻, 这里简称为极值时刻; 对于某 一固定的 , 令 2 t( x , ) x 2 = 0, 可求得钢坯温度达到极 值的厚度, 这里简称为厚度拐点。 加热炉在线控制中, 钢坯温度场动态实时跟踪计 算大多采用数值方法, 例如, 有限差分法[ 14] 。解析解 的离线分析为加热炉在线控制中钢坯温度场的实时 跟踪计算提供一种理论依据。为模拟研究钢坯, 首先 第 3 期 崔 苗等: 加热炉内一维、非稳态、变热流钢坯温度场的解析 35
36 中国治金 第17卷 给出主要参数：=50W/(m·K),a=L.38×10 W/m2、g(h.T=70000-7tW/m2、g(h,D=70000 m2/s,钢坯厚度h=0.23m,初始温度t0=20℃。 +sm(10000,W1m2时，钢坯温度场随加热时间 加热炉内钢坯边界热流很难用连续函数定量表 的变化规律。可见，热流分布不同，钢坯温度场不 示，考虑到正常生产时钢坯边界热流呈先单调递增 同，文献9]假定热流为常数在工程应用中是不合理 和后单调递减的变化趋势，本文定量研究了热流为 的。当g(h,D=70000-7tW1m2或g(h,D= 线性分布q(h,=70000+TW1m、q(h,9= 70000 sin(T/10000W/m2时，钢坯上表面温度均 70000-7TW/m、正法分布a(h.D=70000sin(T7 首先达到极值.极值时刻分别为8740s.T=8850 10000W/m2时.钢坯温度场随加热时间的变化规 。极值时刻存在与否不仅与热流分布有关，还与加 律，并研究热流为上述分布时，对应不同的傅里叶数 热时间有关极值时刻可由式(8)求得。 Fo(即对应不同的加热时间，Fo=aVh),钢坯温度 图2(a)(b)、(d分别示出了g(h,9=70000+ 沿厚度方向的分布。 o00 F() F=2.6 图1(a)、(b)、(g分别示出了g(h.9=70000+T -22 18 -0.7 03 F-237 4000 0.06 0.16 热时间/ (mh,9=70000+TW/m2:(b)gh,t-70000-7TW1m2: (gg(k,9=70000im(/10000w/m2 (a)dh D=70000+T WIm2:(h) 9h.9=70000-7TW1m2 图1钢坯温度场随加热时间的变化 00si(/10000 ig.I Relation of skab temperature stribution with heating time 图2铜还温度沿厚度方向的分布 1994-2015 China Academic loumnal Electronie Publishing dirrere tenki.net
给出主要参数: = 50 W/ ( m & K) , a= 1. 38 ∗ 10 - 5 m 2 / s, 钢坯厚度 h= 0. 23 m, 初始温度 t0= 20 % 。 加热炉内钢坯边界热流很难用连续函数定量表 示, 考虑到正常生产时钢坯边界热流呈先单调递增 和后单调递减的变化趋势, 本文定量研究了热流为 线性分布 q ( h, ) = 70 000 + W/ m 2、q ( h, ) = 70 000- 7 W/ m 2、正法分布 q( h, ) = 70 000sin( ∀ / 10 000 W/ m 2 时, 钢坯温度场随加热时间的变化规 律, 并研究热流为上述分布时, 对应不同的傅里叶数 F0 ( 即对应不同的加热时间, F0 = a / h 2 ) , 钢坯温度 沿厚度方向的分布。 图1( a) 、( b) 、( c) 分别示出了 q( h, ) = 70000+ ( a) q( h , ) = 70 000+ W/ m2 ; ( b) q( h, = 70 000- 7 W/ m2 ) ; ( c) q( h, ) = 70 000sin( ∀ / 10 000) W/ m2 图 1 钢坯温度场随加热时间的变化 Fig. 1 Relation of slab temperature distribution with heating time W/ m 2 、q( h, ) = 70000- 7 W/ m 2、q( h, ) = 70 000 + sin( ∀ / 10000) W/ m 2 时, 钢坯温度场随加热时间 的变化规律。可见, 热流分布不同, 钢坯温度场不 同, 文献[ 9] 假定热流为常数在工程应用中是不合理 的。当 q ( h, ) = 70 000 - 7 W/ m 2 或 q ( h, ) = 70 000sin( ∀ / 10000) W/ m 2 时, 钢坯上表面温度均 首先达到极值, 极值时刻分别为 = 8740 s, = 8 850 s。极值时刻存在与否不仅与热流分布有关, 还与加 热时间有关, 极值时刻可由式( 8) 求得。 图 2( a) 、( b) 、( c) 分别示出了 q( h, ) = 70 000+ ( a) q( h, ) = 70 000+ W/ m2 ; ( b) q( h, ) = 70000- 7 W/ m2 ; ( c) q( h, ) = 70000sin( ∀ / 10000) W/ m2 图 2 钢坯温度沿厚度方向的分布 Fig. 2 Slab temperature at different depths 36 中国冶金 第 17 卷
第3期 指苗笔：加热护内一维、非稳态、套热洁钢坏温度场的解析 37 厚彦拐占两训的钢杯洱度分布不同故对总括执吸 收率进行参数辨识时，厚度拐点两侧应选择不同的 坏温度沿厚度方向的分布。当0(h.T=70000+T 插值函数对拖偶实验数据讲行处理。 W/m2时，钢坏温度沿厚度方向的分布不存在厚度 (3)钢坏边界热流分布不同报坏温度场随加 拐点：当g(h,=70000-7W1m2、Fo=229(即 热时间的变化规律不同，钢坯温度沿厚度方向的分 e8740s)时.x=0.23m为厚度拐点：当gh.可 布亦不同。与常热流时的情况不同.变热流时钢坯 =70000 sin(J/10000/m2、o=2.31即T= 温度沿厚度方向的分布呈非抛物分布。 8851时，x=0.23m为厚度拐点。模拟结果表明 (4本文推导的钢坯温度场解析解为进一步的 若厚度拐点存在，则首先出现在钢坯表面，随加热时 理论研究创造了较好的条件。 间的推移，渐移动到内部。这是因为当边界热流 减小时，钢坯表面与其它位置相比，升温速度最慢 参考文献： 且随热流的继续减小，首先降温。厚度拐点可由式 [1]YANC Yinghua CHEN Xiag bo.JIANC Yunbo.Separation (9求得。 在常热流时，当加热时间足够长，钢坯温度沿厚 Basol Combustion Control Strategy fo Reheating Furnac] ontrol and Decision,2005.20(12):1408 1410. 度方向呈抛物分布：变热流时，钢坯温度沿厚度方 【2)降海耿.计算传热学在控制算法研究中的应用儿.东北大学学 向呈非抛物分布，这从式(7和图2中看出。图1 报（白然科学版），200223(3)：273276 ()(©)中，钢坯温度场随加热时间的变化规律相 [3]CHEN Zhi Gjang.XU Chao ZHANG Bin et aL Adva Control of Walking Beam Reheating Furnacd J].Journal of 似故图2b)、(c中.钢坯温度沿厚度方向的分布 iversity of Seimnee and Techndogy Beijing.2003.10(4):69 相似 总括热吸收率的参数辨识是加热炉在线控 [4杨世铭，陶文丝传热到M,北京：高等教有出版社，199 制中的一个重要问愿，拖偶实验是通常被采用的 【匀陆全康，赵芬.数学物理方法(M北京：高等教育出饭社 方法。当己知热流分布时，应用本文的研究成果可 获得实时和准确的钢坯温度场，进而作为拖偶实验 二维稳态导热的解析解及其 的一种补充。因此，有必要对钢坯表面热流分布进 吞发 维热演化向题的解析解法及其 行研究。 、重共平面发汗冷却的解析解研究 4结论 0能动1报006)11.8) ()从热传导机理出发，建立加热炉内钢坯热 [9)约缩.戴维新彼得辛普森.感应加热手册M小.张淑芳.柳祥 圳.蔡望.等译.北京：国防工业出板社，1985 传导数学模型，并应用数学物理方法推导出钢坯温 【10张洪济.热传导M.北京：高等教有出版社，1992 度场的解析解。应用该解析解可定量模拟出己知热 [11]Hottd H C.Sardfim A F.Raditive Transferf M].New York 流分布时的动态实时钢坯温度场：尤为重要的是，可 McCraw-HilL 1967. 定性研究热流分布对钢坯温度场及其断面温差的影 [12 Modet M F.Radiative Heat Transfer M ]New York: 响。 MeGray-Hill 1993. 【1王明新.数学物理方程M】.北京：清华大学出版社，2005 (2)推导了极值时刻和厚度拐点关系式。极值 「14用陶文轮.数值传热学M1.第2饭.西安：西安交通大学出版 时刻与厚度拐点存在与否，不仅与热流分布有关，还 社.2004 与加热时间有关。若厚度拐点存在，则必先出现在 【1习石伟，陈海.宁宝林以炉温为基准的炉整总括热吸收车 钢坯表面，且随加热时间的推移而逐渐移动到内部。 「月.钢铁1997.324)：6770. 1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
W/ m 2 、q ( h, ) = 70 000 - 7 W/ m 2、q ( h, ) = 70 000sin( ∀ / 10000) W/ m 2 时, 对应不同的 F0 , 钢 坯温度沿厚度方向的分布。当 q ( h, ) = 70 000+ W/ m 2 时, 钢坯温度沿厚度方向的分布不存在厚度 拐点; 当 q( h, ) = 70 000- 7 W/ m 2 、F0 = 2 29 ( 即 = 8 740 s) 时, x= 0. 23 m 为厚度拐点; 当 q( h, ) = 70 000sin( ∀ / 10 000) W/ m 2、F0 = 2. 31 ( 即 = 8851s) 时, x = 0. 23 m 为厚度拐点。模拟结果表明, 若厚度拐点存在, 则首先出现在钢坯表面, 随加热时 间的推移, 逐渐移动到内部。这是因为当边界热流 减小时, 钢坯表面与其它位置相比, 升温速度最慢, 且随热流的继续减小, 首先降温。厚度拐点可由式 ( 9) 求得。 在常热流时, 当加热时间足够长, 钢坯温度沿厚 度方向呈抛物分布 [ 9] ; 变热流时, 钢坯温度沿厚度方 向呈非抛物分布, 这从式( 7) 和图 2 中看出。图 1 ( b) 、( c) 中, 钢坯温度场随加热时间的变化规律相 似, 故图 2( b) 、( c) 中, 钢坯温度沿厚度方向的分布 相似。 总括热吸收率[ 15] 的参数辨识是加热炉在线控 制中的一个重要问题, 拖偶实验[ 2] 是通常被采用的 方法。当已知热流分布时, 应用本文的研究成果可 获得实时和准确的钢坯温度场, 进而作为拖偶实验 的一种补充。因此, 有必要对钢坯表面热流分布进 行研究。 4 结论 ( 1) 从热传导机理出发, 建立加热炉内钢坯热 传导数学模型, 并应用数学物理方法推导出钢坯温 度场的解析解。应用该解析解可定量模拟出已知热 流分布时的动态实时钢坯温度场; 尤为重要的是, 可 定性研究热流分布对钢坯温度场及其断面温差的影 响。 ( 2) 推导了极值时刻和厚度拐点关系式。极值 时刻与厚度拐点存在与否, 不仅与热流分布有关, 还 与加热时间有关。若厚度拐点存在, 则必先出现在 钢坯表面, 且随加热时间的推移而逐渐移动到内部。 厚度拐点两侧的钢坯温度分布不同, 故对总括热吸 收率进行参数辨识时, 厚度拐点两侧应选择不同的 插值函数对拖偶实验数据进行处理。 ( 3) 钢坯边界热流分布不同, 钢坯温度场随加 热时间的变化规律不同, 钢坯温度沿厚度方向的分 布亦不同。与常热流时的情况不同, 变热流时钢坯 温度沿厚度方向的分布呈非抛物分布。 ( 4) 本文推导的钢坯温度场解析解为进一步的 理论研究创造了较好的条件。 参考文献: [ 1] YANG Yin gh ua, CHE N Xiaobo, JIANG Yu nb o. Separation Based Combustion Control S trat egy f or Reheating Fu rnace[ J] . Control an d Decision, 2005, 20( 12) : 14081410. [ 2] 陈海耿. 计算传热学在控制算法研究中的应用[ J] . 东北大学学 报( 自然科学版) , 2002, 23( 3) : 273276. [ 3] CH EN Zhi qi ang, XU Chao, ZH ANG Bin , et al. Advanced Control of WalkingBeam Reheating Fu rnace[ J] . J ournal of U niversit y of S cien ce and Techn ol ogy Beijing, 2003, 10( 4) : 69 74. [ 4] 杨世铭, 陶文铨. 传热学[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1998. [ 5] 陆全康, 赵蕙芬. 数学物理方法[ M] . 北京: 高等教育出版社, 2003. [6] 李 , 刁乃仁, 方肇洪. 矩形直肋二维稳态导热的解析解及其 分析[ J] .山东建筑工程学院学报, 2005, 20( 1) : 6468. [ 7] 李 星, 卢 新, 吴春发, 等. 一维热演化问题的解析解法及其 动态模拟[ J] . 工程地球物理学报, 2004, 1( 3) : 260268. [ 8] 王海南, 王建华. 一维、稳态、非热平衡发汗冷却的解析解研究 [ J] . 航空动力学报, 2006, 21( 1) : 7782. [ 9] 约翰. 戴维斯, 彼得. 辛普森. 感应加热手册[ M ] . 张淑芳, 柳祥 训, 蔡慰望, 等译. 北京: 国防工业出版社, 1985. [ 10] 张洪济. 热传导[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1992. [ 11] Hott el H C, Sarofim A F. Radiative T ran sf er[ M] . New York : McGraw- H ill, 1967. [ 12] Modest M F. Radiative H eat Transf er [ M ] . New York : McGrawH ill, 1993. [ 13] 王明新. 数学物理方程[ M] . 北京: 清华大学出版社, 2005. [ 14] 陶文铨. 数值传热学[ M ]. 第 2 版. 西安: 西安交通大学出版 社, 2004. [ 15] 石 伟, 陈海耿, 宁宝林. 以炉温为基准的炉膛总括热吸收率 [ J] . 钢铁, 1997, 32( 4) : 6770. 第 3 期 崔 苗等: 加热炉内一维、非稳态、变热流钢坯温度场的解析 37