第29卷第9期 岩石力学与工程学报 Vol.29 No.9 2010年9月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sepm.,2010 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 夏才初1之，张国柱2，肖素光2 （山.可济大学地下建筑与工程系，上海200092：2可济大学岩士及地下工程教有部重点实验室，上海200092 清要：将隧道非齐次的瞬态传热分解为周期函数边界下的瞬态传热和恒温边界下的稳态传热，利用分离变量 Lp变换相结合的方法，求解有保温热层的率区腿道瞬之 温度场的显式解析解。根据能量守恒，建立隧道 内气体的气一固糯合传热模型，并获得润内气体年平均温度和温度振幅的显式解析解。村砌温度影响因素分析表 明，随若隧道埋深和年平均气温的增加，二村内、外两侧的温度呈线性增加，当年平均气温低于0℃，季冻区说 道埋深小于80m时，5cm厚隔热层很难单独满足防寒需求，应与主动供暖措施联合：随着隔热层厚度的增加， 二村的度是增长势。增长速率却逐新减小，当隔执层厚度铝过5©m时，通过增加强执层厚度来提高电 度要考虑其经济性。依据隧址区的气候及地形条件，采用工程类比和解析解相结合的方法分段计算隔热层厚度 实测 对比结果表明理论解端足工程精度要 关键调：隧道工程：寒区隧道：温度场：解析解：隔热层厚度：分段计算 中围分类号：U45 文献标识码：A 文童墙号：1000-6915201009-1767-07 ANALYTICAL SOLUTION TO TEMPERATURE FIELDS OF TUNNEL IN COLD REGION CONSIDERING LINING AND INSULATION LAYER XIA Caichu'2,ZHANG Guozhu2,XIAO Suguang!.2 1.Dep .3 Key Lab nd Ens clmical and 200092.China Abst heat co nduction for tunnel with nonhomogeneousou uction is tra med into both transient heat cond uction with convection bounda y cond on or al emperature changed with sinusoid and steady heat conduction.Using the separation of variables and Laplac transform technique can obtain analytical solution to temperature fields of tunnel with insulation layer in cold region.The analvtical solutions of the annual mean temperature and temperature amplitude can be obtained by energy conservation and experiential method considering heat conduction/convection between the tunnel ground and the air flow in the tunnel.Temperature of lining varies with both tunnel depth and annual mean temperature linearly.When the annual mean temperature is below oc and the tunnel depth is less than 80 m,5 cm thick insulation layer alone satisfy the anti-fre zing requi ements.As the in thickne of in linin P hickness of insul layer s more ha cm the inc e thickness of i sulat on t e the linir emperature is not economi The insula on thic ness can be cal lated by engineering analogy and analytica solution based on climate and terrain conditions with piecewise calculation.Accuracy of the analytical solution is examined by comparing the calculated results with measured results.It is found that the calculated values agree well with those measured in the field. 糖日期2010-01-19 作回日期2010-04-10 盖金项目：国家白然科学基 主要从事随 1002016 Academic Jou al Eleetronie Publishing House.All rights www.cnki.ne
第 29 卷 第 9 期 岩石力学与工程学报 Vol.29 No.9 2010 年 9 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2010 收稿日期：2010–01–19；修回日期：2010–04–10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50878150)；交通部西部交通建设科技项目资助(2009318822047)；内蒙古自治区交通科技项目(NJ–2008–25) 作者简介：夏才初(1963–)，男，博士，1984 年毕业于中南大学采矿工程专业，现任教授、博士生导师，主要从事隧道、地下建筑工程、岩石力学及 能源地下工程等方面的教学与研究工作。E-mail：tjxiaccb@126.com 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 夏才初 1，2 ，张国柱 1，2 ，肖素光 1，2 (1. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092) 摘要：将隧道非齐次的瞬态传热分解为周期函数边界下的瞬态传热和恒温边界下的稳态传热，利用分离变量与 Laplace 变换相结合的方法，求解有保温隔热层的寒区隧道瞬态温度场的显式解析解。根据能量守恒，建立隧道洞 内气体的气–固耦合传热模型，并获得洞内气体年平均温度和温度振幅的显式解析解。衬砌温度影响因素分析表 明，随着隧道埋深和年平均气温的增加，二衬内、外两侧的温度呈线性增加，当年平均气温低于 0 ℃，季冻区隧 道埋深小于 80 m 时，5 cm 厚隔热层很难单独满足防寒需求，应与主动供暖措施联合；随着隔热层厚度的增加， 二衬的温度呈增长趋势，但增长速率却逐渐减小；当隔热层厚度超过 5 cm 时，通过增加隔热层厚度来提高衬砌温 度要考虑其经济性。依据隧址区的气候及地形条件，采用工程类比和解析解相结合的方法分段计算隔热层厚度。 与实测值对比结果表明，理论解满足工程精度要求。 关键词：隧道工程；寒区隧道；温度场；解析解；隔热层厚度；分段计算 中图分类号：U 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2010)09–1767–07 ANALYTICAL SOLUTION TO TEMPERATURE FIELDS OF TUNNEL IN COLD REGION CONSIDERING LINING AND INSULATION LAYER XIA Caichu1，2 ，ZHANG Guozhu1，2 ，XIAO Suguang1，2 (1. Department of Geotechnical Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education，Tongji University，Shanghai 200092，China) Abstract：The problem of time-dependent heat conduction for tunnel in cold region with nonhomogeneous outer boundary conduction is transformed into both transient heat conduction with convection boundary condition of air temperature changed with sinusoid and steady heat conduction. Using the separation of variables and Laplace transform technique can obtain analytical solution to temperature fields of tunnel with insulation layer in cold region. The analytical solutions of the annual mean temperature and temperature amplitude can be obtained by energy conservation and experiential method considering heat conduction/convection between the tunnel ground and the air flow in the tunnel. Temperature of lining varies with both tunnel depth and annual mean temperature linearly. When the annual mean temperature is below 0 ℃ and the tunnel depth is less than 80 m，5 cm thick insulation layer alone can not satisfy the anti-freezing requirements. As the increase in thickness of insulation layer，lining temperature presents an upward trend，but the growth rate has gradually decreased；when the thickness of insulation layer is more than 5 cm，the increase in the thickness of insulation to improve the lining temperature is not economical. The insulation thickness can be calculated by engineering analogy and analytical solution based on climate and terrain conditions with piecewise calculation. Accuracy of the analytical solution is examined by comparing the calculated results with measured results. It is found that the calculated values agree well with those measured in the field
·1768- 岩石力学与工程学报 2010年 Key words;tunnelling engineering:tunnel in cold region:temperature field:analytical solution:insulation layer thickness:piecewise calculation 圆形。2)不考虑村砌与电岩之间的接触热阻，封 1引言 砌与围岩接触良好的情况下，衬砌与围岩之间的接 触热阻非常小， 为便于计算 忽略接触热阻对传热 已建成的寒区隧道数量与日俱增，寒区隧道月 的影响。(3)洞内气温只沿隧道轴线方向变化，隧 暴露出来的冻害问题越来越多。对隧道温度场的研 道洞内气体在径向传递的热量非常小，与轴向相比 究，成为冻害研究的关键。国内多条寒区隧道进行 可以忽略。4洞内气体的流速为恒定值。 了温度场的现场监测及研家~匀。并获得了寒区赚 2.1寒区隧道围岩径向热传导方程 道径向、轴向温度变化规律以及递道洞内温度变化 寒区隧道温度场计算模型如图1所示 规律。这些研究成果为寒区隧道温度场理论解的 提供了指导，为验证理论解提供了依据。但寒 隧道温度场监 存在后性以及监测费用高等缺 点，需对寒区隧道温度场的解析解进行研究，为工 程设计提供依据和指导。 接远明等根据海十地风的实际情况对圆形 道的热传导方程进行简化，应用最纲一的最和摄动 技术对简化方程进行求解，给出了圆形腾道温度场 的近似解析解。 张耀等根据隧道现场实测的气温 资料，考虑正弦曲线规律变化的对流换热边界务 件，建立了圆形隧道热传导方程，运用微分方程 图1寒区膜道温度场计算地型 解方法和贝赛尔特征函数的正交和展开定理，得到 Fig1 Heat 了寒区有隔热层的圆形残道温度场解析解。但上述 求解都要求隧道洞内气温为已知的，当洞内气温未 上述方法则无法进行围岩温度场的求解。还 隧道围岩在径向传递的热量远大于其轴向，洞 需开展隧道洞内气体温度场解析解的研究】 内气温只沿隧道轴线方向变化，在理论计算时，仅 考虑隧道围岩在径向发生热传导，传热微分方程为 M.Krarti和J.F.Kreider根据能最守恒原理我 得了地下风洞洞内气体温度场的解析解，获得了年 (1) 平均温度和年温度振幅的解析解。K.Takumi等 利用香加原理和能量守恒原理求得了寒风薄道洞内 式中：k为第1层的热扩散系数，T为第1层的温 度，”为用岩深度。 气体温度场的解析解。但上述解析解并不话用于考 隧道围岩及衬砌传热的边界条件为：1)洞 老孤执日 一计 初村和用岩多层介后的实 又隧道洞内白体温度的 与洞内气体发生对流换热：(2)忽略隧道用岩与衬 法、积分变换法和分腐 分园 砌之间接触热阻：（③）影响范围以外的围岩温度等 变量与Laplace变换相结合的方法4o 对有衬砌利 于原始地温。此时有 隔热层的寒风隧道用岩温度场进行求解具有过程简 -4w小-ae小-e】a 单、计算量小的特点。本文根据能量守相，建立 道洞内气体和群道衬砌的气一固摇合传热模型，对 =1,2) 3) 洞内气体年平均温度和温府据幅讲行求解，获得 虑隔热月 初村和围岩等多层介质的实 0.2.-4a0ma20=l.2》④ 区隧道洞内气体温度场的解析解 ar 2理论推导 T,= (5) f(=,1)=T.(=)+T.n(=)cos(ot+) 群首是一个复杂的结物休体，为获得隧道围岩利 (6) 热解析解，需做如下4点假设： ()隧道横断面为 0=2π/ 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
• 1768 • 岩石力学与工程学报 2010年 Key words：tunnelling engineering；tunnel in cold region；temperature field；analytical solution；insulation layer thickness；piecewise calculation 1 引 言 已建成的寒区隧道数量与日俱增，寒区隧道所 暴露出来的冻害问题越来越多。对隧道温度场的研 究，成为冻害研究的关键。国内多条寒区隧道进行 了温度场的现场监测及研究[1～5]，并获得了寒区隧 道径向、轴向温度变化规律以及隧道洞内温度变化 规律。这些研究成果为寒区隧道温度场理论解的求 解提供了指导，为验证理论解提供了依据。但寒区 隧道温度场监测存在滞后性以及监测费用高等缺 点，需对寒区隧道温度场的解析解进行研究，为工 程设计提供依据和指导。 赖远明等[6]根据冻土地区的实际情况对圆形隧 道的热传导方程进行简化，应用量纲一的量和摄动 技术对简化方程进行求解，给出了圆形隧道温度场 的近似解析解。张 耀等[7]根据隧道现场实测的气温 资料，考虑正弦曲线规律变化的对流换热边界条 件，建立了圆形隧道热传导方程，运用微分方程求 解方法和贝赛尔特征函数的正交和展开定理，得到 了寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解。但上述 求解都要求隧道洞内气温为已知的，当洞内气温未 知时，上述方法则无法进行围岩温度场的求解。还 需开展隧道洞内气体温度场解析解的研究。 M. Krarti 和 J. F. Kreider[8]根据能量守恒原理获 得了地下风洞洞内气体温度场的解析解，获得了年 平均温度和年温度振幅的解析解。K. Takumi 等[9] 利用叠加原理和能量守恒原理求得了寒区隧道洞内 气体温度场的解析解。但上述解析解并不适用于考 虑隔热层、二次衬砌、初衬和围岩等多层介质的寒 区隧道洞内气体温度场的求解。与常用的格林函数 法[10]、积分变换法[11]和分离变量法[12，13]相比，分离 变量与 Laplace 变换相结合的方法[14～16]对有衬砌和 隔热层的寒区隧道围岩温度场进行求解具有过程简 单、计算量小的特点。本文根据能量守恒，建立隧 道洞内气体和隧道衬砌的气–固耦合传热模型，对 洞内气体年平均温度和温度振幅进行求解，获得考 虑隔热层、二次衬砌、初衬和围岩等多层介质的寒 区隧道洞内气体温度场的解析解。 2 理论推导 隧道是一个复杂的结构体，为获得隧道围岩传 热解析解，需做如下 4 点假设：(1) 隧道横断面为 圆形。(2) 不考虑衬砌与围岩之间的接触热阻，衬 砌与围岩接触良好的情况下，衬砌与围岩之间的接 触热阻非常小，为便于计算，忽略接触热阻对传热 的影响。(3) 洞内气温只沿隧道轴线方向变化，隧 道洞内气体在径向传递的热量非常小，与轴向相比 可以忽略。(4) 洞内气体的流速为恒定值。 2.1 寒区隧道围岩径向热传导方程 寒区隧道温度场计算模型如图 1 所示。 图 1 寒区隧道温度场计算模型 Fig.1 Heat conduction model of tunnel in cold regions 隧道围岩在径向传递的热量远大于其轴向，洞 内气温只沿隧道轴线方向变化，在理论计算时，仅 考虑隧道围岩在径向发生热传导，传热微分方程为 2 2 i ii 1 i T TT k r rr t ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ (1) 式中： i k 为第 i 层的热扩散系数，Ti 为第 i 层的温 度， r 为围岩深度。 隧道围岩及衬砌传热的边界条件为：(1) 洞壁 与洞内气体发生对流换热；(2) 忽略隧道围岩与衬 砌之间接触热阻；(3) 影响范围以外的围岩温度等 于原始地温。此时有 1 1 0 110 ( ) [ ( ) ( )] T r t Tr t fz t r λ α ∂ − =− − ∂ ， ，， (2) 1 () () Tt r T t r iii i ， ， = + ( 1 2) i = ， (3) 1 1 () () ii i i i i Tt r T t r r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ， ， ( 1 2) i = ， (4) T T 3 0 = (5) M in A in ( ) ( ) ( )cos( ) 2π / fz t T z T z t ω ϕ ω φ =+ + ⎫⎪ ⎬ = ⎪⎭ ， ， ， (6)
第29卷第9期 夏才初，等。考虑村砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 1769 T。=T+(H-R-R)K 器) (17) 式中：T为隔热层温度，工，为村砌温度，T为围岩 的温度， 为第1层导热系数 其相应的边界条件为 为洞内气体的年平均温度，T,.。为洞内气体的温度 器=aRR=6 振幅。：为距洞口的距离，。为气温变化周期，0为 (18) 相位，T为恒温层用岩的温度，T为气温变化周期 R0s)=Rs）r=i=1,2)(19列 H为隧道埋深，与为隔热层的内半径，R为隧道围 岩温度场影响深度，R为恒温层埋深，K为用岩地 温增长梯度。 在隧道建设初期，受施工影响，隧道围岩初始 (20) 温度场被扰动，为便于计算，在求解隧道围岩瞬态 R=0(r=R) (21) 温度场时，初始温度按0℃考虑。根据叠加原理可 得，隧道围岩温度场T由周期函数Tsin(o+d)确 求解式17)可得 定的瞬态温度场和年平均温度T确定的稳态温 R=A.lo(ys/k,r)+B.Ko(s/kr) (22) 度场，两者叠加而得，即 T=T.+ (8) 式中：0为第一类修正贝赛尔函数：K,为第 类修正贝赛尔函数：A,B均为由边界条件确定 2.1.1周期函数边界下的隧道温度场 的系数： 隧道围岩传热微分方程为 A [-ajR() 警+晋}晋 (9 (23) (1)边界条件： A K 10) B.. I6)=T4n,）)r=5G=l2)(I) 其中， L1={()-o(mh1o(G)1(Gb0,0,0 (24) (12) K,={-K,(n)-hK(n,K(8,),-K(E20,0,0} T=0(r=R) (13) (25) 2=0,-16(2-h1,(h1o(8b1,(6)b0}(26) (2)初始条件： I0)=0 (14) K2={0,-K(2hhK(2hK(6h-K,(6b0y(27) 1={0,0,0,-1o(h-4(%h1o(6} (28) T.(1)=T.n(=)cos(or+) (15) K3=0,0,0,-K(nhAK(K(6》 (29) 为便于计算，将式(5)表示成复数的形式，在 复坐标系下进行方程求解，即 9.=s/k,=a(q) (30) T.(t)=Re[T(=)e (16) 对式(9)进行Laplace变换可得 将式(22)代入边界条件式(18)一(21)，可得 21994-2016Chim Academie Joural Eleetronic Publishing House.All rights http://www.cnki.net
第 29 卷 第 9 期 夏才初，等. 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 • 1769 • 0c 01 T T H R RK =+ − − ( ) (7) 式中：T1 为隔热层温度，T2 为衬砌温度，T3为围岩 的温度，λi 为第 i 层导热系数，α1为洞壁与气体之 间的换热系数，f ( ) z t ， 为隧道洞内气温[3～5]，TM in ， 为洞内气体的年平均温度，TA in ， 为洞内气体的温度 振幅，z 为距洞口的距离，φ 为气温变化周期，ϕ 为 相位，Tc 为恒温层围岩的温度，T 为气温变化周期， H 为隧道埋深， 0r 为隔热层的内半径，R0 为隧道围 岩温度场影响深度，R1为恒温层埋深，K 为围岩地 温增长梯度。 在隧道建设初期，受施工影响，隧道围岩初始 温度场被扰动，为便于计算，在求解隧道围岩瞬态 温度场时，初始温度按 0 ℃考虑。根据叠加原理可 得，隧道围岩温度场Ti 由周期函数 v 0 T td sin( ) ω + 确 定的瞬态温度场T1i 和年平均温度Tm 确定的稳态温 度场T2i 两者叠加而得，即 TT T iii = + 1 2 (8) 2.1.1 周期函数边界下的隧道温度场 隧道围岩传热微分方程为 2 1 11 2 i ii 1 i T TT k r rr t ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ (9) (1) 边界条件： 11 1 0 1 11 0 v ( ) [ ( ) ( )] T r t Tt r Tz t r λ α ∂ − =− − ∂ ， ，， 0 ( ) r r = (10) 1 1( 1) () () Tt r T t r ii i i ， ， = + i r r = ( 1 2) i = ， (11) 1 1( 1) 1 ( ) ( ) i i i i i i Tt r T tr r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ， ， i r r = ( 1 2) i = ， (12) 13 T = 0 ( 0 r R = ) (13) (2) 初始条件： 1 (0) 0 T i = (14) v A in Tt T z t ( ) ( )cos( ) = + ， ω ϕ (15) 为便于计算，将式(15)表示成复数的形式，在 复坐标系下进行方程求解，即 i( ) v A in ( ) Re[ ( )e ] t Tt T z ω ϕ+ = ， (16) 对式(9)进行 Laplace 变换可得 2 2 1 i i i i R R k sR r rr ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ (17) 其相应的边界条件为 1 1 0 11 0 v ( ) [ ( ) ( )] R r s Rs r R s r λ α ∂ − =− − ∂ ， ， 0 ( ) r r = (18) 1 () () Rii i i rs R rs ， ， = + ( 1 2) i rri = = ， ， (19) 1 1 () () ii i i i i R rs R rs r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ， ， ( 1 2) i rri = = ， ， (20) 3 R = 0 ( 0 r R = ) (21) 求解式(17)可得 R A I s kr B K s kr i im i im i = + 0 0 ( / / ) ( ) (22) 式中： 0 I ( )⋅ 为第一类修正贝赛尔函数； 0 K ( )⋅ 为第二 类修正贝赛尔函数； Aim ， Bim 均为由边界条件确定 的系数： T 1 1 1v 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 0 0 0 0 0 m m m m m m A R r B A B A B ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ −α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ I K I K I K (23) 其中， 1 1 1 00 1 0 1 1 1 I = − { ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0} I hI I I η ηεε ， ， ，，， (24) 1 1 1 00 1 0 1 11 K =− − − { ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0} K hK K K η ηε ε ， ， ，，， (25) 2 0 2 11 2 0 2 1 2 I =− − {0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0} ， ， ， ，， I hI I I η η εε (26) 2 0 2 11 2 0 2 1 2 K =− − {0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0} ， ， ，， ， K hK K K η ηε ε (27) 3 0 3 11 3 0 3 I = −− {0 0 0 ( ) ( ) ( )} ，，， ， ， I hI I η η ε (28) 3 0 3 11 3 0 3 K = − {0 0 0 ( ) ( ) ( )} ，，， ， ， K hK K η η ε (29) 0 1 11 1 1 1 / /( ) / i i i i ii i ii i i i i q sk h q qr qr h k k α λ λ η ε λ + − + = = ⎫ ⎪ ⎬ = == ⎪ ⎭ ， ， ， (30) 将式(22)代入边界条件式(18)～(21)，可得
·1770· 岩石力学与工程学报 2010年 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道瞬态温度场为 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道温度场为 T=RelF(i@,r)T(,月 (31) T;Re[F(io,r)T.(=,1)]+F(r)T.+ 2,12恒温边界下的隧道温度场 GrT+(H-R-R)K灯 (44) 隧道村砌及围岩传热微分方程 为获得完整的围岩温度场解析解，还需要确定 停} 年平均温度T。和温度振幅T。 (32) 2,2隧道洞内气体温度场理论解 隧道洞内气温轴向传热模型如图2所示。 边界条件为 -4要=a-e训0=)倒 T=T (r=i=l 2) (34) -要=-型=12》 ar (35 T=T (r=R) (36 图2隧道洞内气温轴向传热模型 求解式(32)可得 Fig2 Heat conduction model of air flow in tunnel 37) 图2中，T。)为洞口温度，T(仁，)为洞壁处 将式(37)代入边界条件方程可得 的温度，，)为洞内气温，而4.为围岩与洞内 气体传递的热量。隧道洞内正微元体的能量守恒 -ak-aa (38) 方程如下： r(e()ph In +B=Au In+Bauu (39 c-6月 (40) (45) 其中， 4ln(5)+B2=T (41) T(0=T,) (46) 由式(37)~(41)可得△S的表达式： f(3)=T4.m(e)+T.n(e)cos(o1+p)(47) AS'= 式中：c为隧道内气体的比热容，为洞内气体风 「2 速，A为隧道断面的截面积，P为隧道环向弧长 -al。-a0000 么为围岩与洞内气体的对流换热系数。 Inn 1-lw-100 由式(45)~(47)即可获得洞内气温的年平均温 度T4.。和年温度振幅Ta此时有 0-2 00 0 (42) 0 Ing:1 -Inv: -1 0 0 0-3 0 +e-a-]4 0 0 0 0 Ing;1 22.1年平均温度T,。的确定 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道稳态温度场为 年平均温度的微分方程为 F(r)TM.+G(r)T (43) (49) 1994-2016China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.htp:/www.cnki.net
• 1770 • 岩石力学与工程学报 2010年 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道瞬态温度场为 1 v Re[ (i ) ( )] T F rT z t i = ω， ， (31) 2.1.2 恒温边界下的隧道温度场 隧道衬砌及围岩传热微分方程 2 2 2 2 1 0 i i i T T k r rr ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ (32) 边界条件为 21 1 1 21 M in 0 [ ( )] T T T rz r λ α ∂ − =− − ∂ ， ， 0 ( ) r r = (33) T T 2 2( 1) i i = + ( 1 2) i rri = = ， ， (34) 2 2( 1) 1 i i i i T T r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ( 1 2) i rri = = ， ， (35) T T 23 0 = ( 0 r R = ) (36) 求解式(32)可得 22 2 ln T A rB ii i = + (37) 将式(37)代入边界条件方程可得 1 1 0 21 1 21 1 M in 0 ln rA B T r λ α αα ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − =− ⎝ ⎠ ， (38) 2 2 2( 1) 2( 1) ln ln A rB A rB ii i i i i += + + + (39) 1 2 2( 1) i i i i i i A A r r λ λ + − =− + (40) 23 3 23 0 A ln( ) rBT + = (41) 由式(37)～(41)可得 ΔS′的表达式： Δ = S′ 1 10 1 0 1 1 1 2 1 1 ln 0 0 0 0 ln 1 ln 1 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r λ α α λ λ − − − − − 2 2 2 3 2 2 3 0 ln 1 ln 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ln 1 r r r r r λ λ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − − ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ (42) 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道稳态温度场为 2 M in 0 () () T FrT GrT i = + ， (43) 考虑衬砌及隔热层的寒区隧道温度场为 T F rT z t FrT i = + Re[ (i ) ( )] ( ) + ω， ，v M in ， c 01 Gr T H R R K ( )[ ( ) ] + −− (44) 为获得完整的围岩温度场解析解，还需要确定 年平均温度TM in ， 和温度振幅TA in ， 。 2.2 隧道洞内气体温度场理论解 隧道洞内气温轴向传热模型如图 2 所示。 图 2 隧道洞内气温轴向传热模型 Fig.2 Heat conduction model of air flow in tunnel 图 2 中， 0 T t( ) 为洞口温度， d Tz t ( ) ， 为洞壁处 的温度， f ( ) z t ， 为洞内气温，而 z q 为围岩与洞内 气体传递的热量。隧道洞内 dz 微元体的能量守恒 方程如下： f f d p () () [ ( ) ( )] fz t fz t ph V fz t T z t t z Ac ρ ∂ ∂ + =− − ∂ ∂ ， ， ， ， (45) 其中， d 10 T z t Tr z t ()( ) ， ，， = (46) M in A in fz t T z T z t ( ) ( ) ( )cos( ) ， = ， ， + + ω ϕ (47) 式中： p c 为隧道内气体的比热容，Vf 为洞内气体风 速， A 为隧道断面的截面积， p 为隧道环向弧长， f h 为围岩与洞内气体的对流换热系数。 由式(45)～(47)即可获得洞内气温的年平均温 度TM in ， 和年温度振幅TA in ， 。此时有 i( ) i( ) A in A in f d d ie e d d t t T T M in T V z z ωϕ ωϕ ω + + ⎡ ⎤ + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， ， ， f i( ) M in A in 2d 1d p e ph t T T TT Ac ω ϕ ρ + − + −− ⎡ ⎤ ⎣ ， ， ⎦ (48) 2.2.1 年平均温度TM in ， 的确定 年平均温度的微分方程为 M in f f M in 2d p d ( ) d T ph V TT z Ac ρ =− − ， ， (49)
第29卷第9期 夏才初，等。考虑村砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 ·1771 边界条件为 以式(57)作为边界条件，获得的隧道衬砌及围 岩温度场理论解与实测值对比结果。隔热层内、外 T4.m=Tn.。(e=0) (50) 侧温度-时间曲线如图3所示。 求解式(49)可得 ,。理验信 其中， C(52) 11 2.2.2年温度振幅T.。的确定 年温度振幅的微分方程为 m+战22-小 边界条件为 Fig.3 Relationship between temperature and time in both inside and outside of insulation layer T。=T。(e=0) (54) 由图3可知 隔热层两侧温差很大，最大值 求解式(53)可得 7℃，说明隔热层起到很好的保温作用：隔热层两 五.=[+周 (53) 侧温度都呈现简谐振动，但内侧的温度振幅较外侧 小很多，并且两侧温度存在相位差：理论解与实测 其中 值在温度最低处吻合很好：由于计算模型中未考忠 小小号 相变对燧道温度场的影响，在最高点处理论解与 (56) 实测值存在一定误差，但能满足工程精度要求。 4参数分析 3算例对比分析 为了直观反映年平均温度、隧道埋深及隔热层 以青藏铁路风火山隧道为例，将现场实测值与 厚度对寒区隧道温度场的影响，按如下计算参数进 理论计算值进行对比分析，从而验证理论解的精 行比较分析。隧道等效半径为3.5m:隔热层位于 度。递道计算内径为3.5m,二次封商厚度为0.5m: 二村内侧：二衬厚度为0.5：初衬和围岩按同 隔热层厚度为0.05m,初砌厚度为0.3m,围岩的 介质考虑，厚度为10m(闹内气温对围岩温度场的 厚度为10m。 影响深度网。对于隔热层：导热系数为00 根据实测气温资料（由中铁西南科学研究院 W(m·℃)，热容量为0.072Jcm3.℃)方对于二衬： 提供)，2004年隧道DK1159+046断面的气温边界 导热系数为1.55w(m·℃)，热容量为2.46J/ 条件（其中，时间：单位为d)为 (cm3℃)片对于岩石：导热系数为15~40WmC), 热容量为1.67~2.09J(cm ·℃)对于围岩：导热 (2 T0=446+856co361- (57 系数取2.75W/mC,热容量取1.83J/(cm3·℃)。 41年平均温度对二村温度场的影响 由式(57)可得 利用式(4)确定年平均温度与村砌内、外侧温 0=Rc856e侵- 度的关系如图4所示。由图4可知：在隔热层厚度、 (58) 隧道埋深一定的情况下，衬内、外侧温度随着年 平均温度的增加呈线性增加趋势：当年平均温度低 Tm=8.56,T4.n=4.46 (59) 于0℃时，衬砌内侧最低温度始终位于0℃以下，5 1994-2016Chim Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights erved. http://www.cnki.ne
第 29 卷 第 9 期 夏才初，等. 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 • 1771 • 边界条件为 T T M in m 0 ， ， = ( 0) z = (50) 求解式(49)可得 M in m 0 e D Az D T T C C ⎛ ⎞ =+ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， ， (51) 其中， f f 0 00 pf pf [ ( ) 1] ( ) ph ph C Fr D Gr T ρ ρ Ac V Ac V = −= ， (52) 2.2.2 年温度振幅TA in ， 的确定 年温度振幅的微分方程为 A in f A in f 0 A in p d i [ (i ) ] d T ph T V F rT z Ac ω ω ρ += − ， ， ， ， (53) 边界条件为 T T A in A 0 ， ， = ( 0) z = (54) 求解式(53)可得 A in A 0 Re e A Bz A T T B B − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = −+ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ， ， (55) 其中， f f 0 f p f pf i (i ) ph ph A F rB V Ac V Ac V ω ω ρ ρ = =+ ， ， (56) 3 算例对比分析 以青藏铁路风火山隧道为例，将现场实测值与 理论计算值进行对比分析，从而验证理论解的精 度。隧道计算内径为 3.5 m，二次衬砌厚度为 0.5 m， 隔热层厚度为 0.05 m，初砌厚度为 0.3 m，围岩的 厚度为 10 m。 根据实测气温资料[7](由中铁西南科学研究院 提供)，2004 年隧道 DK1159+046 断面的气温边界 条件(其中，时间t 单位为 d)为 2 ( ) 4.46 8.56cos 365 Tt t ⎛ ⎞ π =− + −π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (57) 由式(57)可得 2 i 365 v ( ) Re 8.56e t T t ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ −π ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (58) A in M in T T ， ， = =− 8.56 4.46 ， (59) 以式(57)作为边界条件，获得的隧道衬砌及围 岩温度场理论解与实测值对比结果。隔热层内、外 侧温度–时间曲线如图 3 所示。 时间/年月日 图 3 隔热层内、外侧温度–时间曲线 Fig.3 Relationship between temperature and time in both inside and outside of insulation layer 由图 3 可知，隔热层两侧温差很大，最大值达 7 ℃，说明隔热层起到很好的保温作用；隔热层两 侧温度都呈现简谐振动，但内侧的温度振幅较外侧 小很多，并且两侧温度存在相位差；理论解与实测 值在温度最低处吻合很好；由于计算模型中未考虑 相变对隧道温度场的影响，在最高点处理论解与 实测值存在一定误差，但能满足工程精度要求。 4 参数分析 为了直观反映年平均温度、隧道埋深及隔热层 厚度对寒区隧道温度场的影响，按如下计算参数进 行比较分析。隧道等效半径为 3.5 m；隔热层位于 二衬内侧；二衬厚度为 0.5 m；初衬和围岩按同一 介质考虑，厚度为 10 m(洞内气温对围岩温度场的 影响深度[9]) 。对于隔热层：导热系数为 0.03 W/(m·℃)，热容量为 0.072 J/(cm3 ·℃)；对于二衬： 导热系数为 1.55 W/(m·℃)，热容量为 2.46 J/ (cm3 ·℃)；对于岩石：导热系数为 1.5～4.0 W/(m·℃)， 热容量为 1.67～2.09 J/(cm3 ·℃)；对于围岩：导热 系数取 2.75 W/m℃，热容量取 1.83 J/(cm3 ·℃)。 4.1 年平均温度对二衬温度场的影响 利用式(44)确定年平均温度与衬砌内、外侧温 度的关系如图 4 所示。由图 4 可知：在隔热层厚度、 隧道埋深一定的情况下，衬砌内、外侧温度随着年 平均温度的增加呈线性增加趋势；当年平均温度低 于 0 ℃时，衬砌内侧最低温度始终位于 0 ℃以下，5 T/℃ 20040101 20040401 20040701 20041001 20050101 理论值 实测值 外侧 内侧
·1772 岩石力学与工程学报 2010年 深0 -3-2-1 年平均温度/℃ 图5隧道埋深与二村内侧温度关系 ()年平均温度-二材外侧温度曲 Fig.5 Relationships between tunnel depth and inside 4r temperature of secondary lining 坪深28m 4.3隔热层厚度对二村温度的影响 由图6可知： 二衬内侧温度随若隔热层厚度的 增加而增加，但增长速率却逐渐减小，当保温隔热 层厚度超过5cm时，再通过增加保温隔热层厚度 米提高村砌温度是不经济的。 年平均温度℃ 间)年平均温度二村内侧温度线 图4年平均温度与二衬内、外侧温度曲线 Fig.4 Relationships between annual mean temperatures and -10 temperatures inside and outside secondary lining 平均度为 7 cm厚隔热层无法单独满足防寒抗冻要求，应该与主 隔热层厚度m 动供暖措施联合：当隧道埋深为100m,年平均温 图6隔热层厚度与二衬内侧温度关系 度为-3.0℃时，隔热层热层与衬砌之间的最低温度 insula 为-2.9℃，当年平均温度为1℃时，隔热层与村砌 re of se 之间的最低温度为1.1℃，年平均温度的高低对保 4.4工程应用的求解步骤 温隔热层的防寒能力有显著影响。在进行保温隔热 通过解析解式(44)可计算寒区隧道防冻保暖所 层厚度计算时，应考虑年平均温度的影响， 需隔热层的厚度，具体计算流程可描述为以下2个 4.2隧道埋深对二村温度场的影响 步骤：()根据隧址区的气象条件 工程条件和地 由地温分布规律可知，恒温层以下一定深度内 形特征，利用工程类比法来初步确定保温隔热层的 岩体的地温呈线性增加趋势，随着隧道埋深的增加 厚度。2)当年平均温度和温府振幅为己知量时」 隧道用岩的温度也会升高，由式(44)可确定隧道埋 直接利用下式确定隔热层厚度 深对衬砌温度的影响。 由图5可得：随着埋深的增加，二衬内侧温度 TG)>0 (60) 呈线性增加趋势，温度增长梯度不随年平均温度的 当年平均温度和温度振幅未知时，首先可以利 升高而发生变化 用式(51)和(55)确定年平均温度和温度振幅理论解， 994-016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.cnki.ne
• 1772 • 岩石力学与工程学报 2010年 (a) 年平均温度–二衬外侧温度曲线 (b) 年平均温度–二衬内侧温度曲线 图 4 年平均温度与二衬内、外侧温度曲线 Fig.4 Relationships between annual mean temperatures and temperatures inside and outside secondary lining cm 厚隔热层无法单独满足防寒抗冻要求，应该与主 动供暖措施联合；当隧道埋深为 100 m，年平均温 度为－3.0 ℃时，隔热层热层与衬砌之间的最低温度 为－2.9 ℃，当年平均温度为 1 ℃时，隔热层与衬砌 之间的最低温度为 1.1 ℃，年平均温度的高低对保 温隔热层的防寒能力有显著影响。在进行保温隔热 层厚度计算时，应考虑年平均温度的影响。 4.2 隧道埋深对二衬温度场的影响 由地温分布规律可知，恒温层以下一定深度内 岩体的地温呈线性增加趋势，随着隧道埋深的增加， 隧道围岩的温度也会升高，由式(44)可确定隧道埋 深对衬砌温度的影响。 由图 5 可得：随着埋深的增加，二衬内侧温度 呈线性增加趋势，温度增长梯度不随年平均温度的 升高而发生变化。 图 5 隧道埋深与二衬内侧温度关系 Fig.5 Relationships between tunnel depth and inside temperature of secondary lining 4.3 隔热层厚度对二衬温度的影响 由图 6 可知：二衬内侧温度随着隔热层厚度的 增加而增加，但增长速率却逐渐减小，当保温隔热 层厚度超过 5 cm 时，再通过增加保温隔热层厚度 来提高衬砌温度是不经济的。 图 6 隔热层厚度与二衬内侧温度关系 Fig.6 Relationships between insulation layer thickness and inside temperature of secondary lining 4.4 工程应用的求解步骤 通过解析解式(44)可计算寒区隧道防冻保暖所 需隔热层的厚度，具体计算流程可描述为以下 2 个 步骤：(1) 根据隧址区的气象条件、工程条件和地 形特征，利用工程类比法来初步确定保温隔热层的 厚度。(2) 当年平均温度和温度振幅为已知量时， 直接利用下式确定隔热层厚度： 2 1 T r() 0 ＞ (60) 当年平均温度和温度振幅未知时，首先可以利 用式(51)和(55)确定年平均温度和温度振幅理论解， 20 40 60 80 100 －10 －8 －6 －4 －2 0 2 二衬内侧温度/℃ 隧道埋深/m 年平均温度－3 ℃ 年平均温度－2 ℃ 年平均温度－1 ℃ 年平均温度 0 ℃ 年平均温度 1 ℃ 年平均温度 2 ℃ 年平均温度 3 ℃ 4 二衬内侧温度/℃ 3 4 5 6 7 －10 －8 －6 －4 －2 0 2 年平均温度为－3 ℃ 年平均温度为－2 ℃ 年平均温度为－1 ℃ 年平均温度为 0 ℃ 年平均温度为 1 ℃ 年平均温度为 2 ℃ 年平均温度为 3 ℃ 隔热层厚度/cm 8 －12 －3 －2 －1 0 1 2 3 －6 －4 －2 0 2 4 二衬内侧温度/℃ 年平均温度/℃ 埋深 100 m 埋深 80 m 埋深 60 m 埋深 40 m 埋深 20 m －3 －2 －1 0 1 2 3 －4 －2 0 2 4 6 8 埋深 100 m 埋深 80 m 埋深 60 m 埋深 40 m 埋深 20 m 二衬外侧温度/℃ 年平均温度/℃
第29卷第9期 夏才初，等.考虑村砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 ·1773· 然后利用式(60)确定隔热层厚度。 450-453.(NIE Fengming.Dynamic state of air temperature in railwa 5结论 10440-453 问孙文臭.寒区特长公路隧道抗防冻对策研究顾士学位论文]D 通过对寒区隧道温度场理论解的研究，获得了 成都：西南交通大学，2005.SUN Wenhao.Su小on frost-resistin 以下几点结论及认识。 and anti-freezing strategies of extra-long highway tunnel in cold (l)利用叠加原理及分离变量和Laplace变换 相结合的方法获得了有衬砌和隔热层的隧道温度场 解析解：利用能量守恒建立了隧道洞内气体的气 赖明。喻文兵，吴紫汪，等、寒区圆形面道温度场的解析 解冰川漆土，2001,23(2)：126-130.LA1 Yuanming,YU 固耦合传热模型，并获得了年平均温度和温度振幅 Wenbing。VU Ziwang。aal.Approximate anal小tical solution fo 的解析解。 emperature fields of a circular tunnel in cold regions Journal o (②)隧道埋深和年平均温度对二衬的温度有重 0gy,2001,232126-130.nChinese》 要影响，随若隧道埋深和年平均温度的增加，二衬 内、外两侧的温度品线性幽加。当年平均气温低于 析解U球川冻土，2009.31(1)片114-118(ZHANG Y3,HE Shusheng 0℃，隧道埋深小于80m,5cm厚隔热层不能单独 LI Jinebo.Analytic solutions for temperature fields of a cireular tunne 满足防寒需求，应与主动供暖措施联合：随着隔热 with insulation layer in cold region[J].Journal of Glaciology and 层厚度的增加，二衬外侧的温度呈增长趋势，但增 y.2009,31014-118(（nChinese)》 长速率却逐渐减小，当保温隔热层厚度超过5©m KRARTI M.KREIDER JE.Anolytic 时，通过增加保温隔热层厚度来提高二衬温度是不 underground air tunnel[J].Energy Conversion and Management 经济的。 1995,3710):1561-1574 ()依据隧址区气候及地形条件，采用工程类 191 TAKUMI K.TAKASHI M.KOUICHI E An estimation of inne 比和解析解相结合的方法分段计算隔热层厚度。 temperatures at cold region tunnel for hext insulator (4)隧道围岩的热物性参数、地温及洞口处气 codingsofstnuctunlEn m51小5n小2008 温是寒区隧道防冻保暖设计的重要参数，在寒区隧 32-3 道勘察时， 需要进行这些参数的测试及监测 [10]SIEGEL R.Transient thermal analysis of parallel translucent layers by using green's functions[J].Journal of Thermophysics and Heat 参考文献(References): ransfer,1999,131片10-17. 川张德华，王梦怎，任少强青藏铁路多年诛土隧道围岩季节活动层 1980. 温度及应的试验研几岩石力学与工程学报 207.23 [12]SUNEET S,PRASHANT K J,RIZWAN U.Analytical solution to 614-619(ZHANG Dehe Mengsh transient heat conduction in polar coordinates with multiple lavers in Experimental study of temperature and res e of seasonal activ radial directionJ).Intemational Journal of Thermal Sciences.2008. 731:261-273. layer of tunnel's surrounding rock in permafrost region on Qinghai- Tibet plateaull.Chinese Joumal of Rock Mechanies and Engineering K J,SUNEET S.RIZWAN U. 2007.363h.614-619 in Chinese transient asymmetric heat conduction in a mutilayer annulus[J] 张先军。青藏铁路昆仑山隧道内气温及地温分布特征现场试验 Joumal of Heat Transfer,2009,131(1):1 -7. 所究岩石力学与工程学报，205,2461086-1089(HAN [14]LU X.TERVOLA P.VILJANEN M.Transient analytical solution to Xianjun.Field experiment on dist cters of air temperatu heat conduction in multi-dimensional composite cylinder slabL and ground temperature in Kunlunsh tunnel of Qinghai-一Tihe f.206.495-6 railwayJl Chinese Journal of Rock Mechan ics and Engin 107-1114 200s.261.1085-10s91 nchinesel) [15]LU X.VILJANEN M.An analytical method to solve heat conduction )陈建助，罗寒冷地区道温度场的变化规交道运输工 in layered spheres with time-dependent boundary conditions[] 程学报，2008,2：4 Physics Letters A.2006.3654-5h1274-282. rules temper field for tune in 6)LUX.TERVOLAP.VILJANEN M.Anew analytical method Transportation Engineering.2008,82):44 -48.(in Chinese)) 间也凤鸣.寒冷地区铁路腿道气温状态冰川陈土，198器，104： Physics A:Mathematical and General.2005.38(13):2 873-2 890 1994-2016 China Academie Joural Eleetronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 29 卷 第 9 期 夏才初，等. 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 • 1773 • 然后利用式(60)确定隔热层厚度。 5 结 论 通过对寒区隧道温度场理论解的研究，获得了 以下几点结论及认识。 (1) 利用叠加原理及分离变量和 Laplace 变换 相结合的方法获得了有衬砌和隔热层的隧道温度场 解析解；利用能量守恒建立了隧道洞内气体的气– 固耦合传热模型，并获得了年平均温度和温度振幅 的解析解。 (2) 隧道埋深和年平均温度对二衬的温度有重 要影响，随着隧道埋深和年平均温度的增加，二衬 内、外两侧的温度呈线性增加，当年平均气温低于 0 ℃，隧道埋深小于 80 m，5 cm 厚隔热层不能单独 满足防寒需求，应与主动供暖措施联合；随着隔热 层厚度的增加，二衬外侧的温度呈增长趋势，但增 长速率却逐渐减小，当保温隔热层厚度超过 5 cm 时，通过增加保温隔热层厚度来提高二衬温度是不 经济的。 (3) 依据隧址区气候及地形条件，采用工程类 比和解析解相结合的方法分段计算隔热层厚度。 (4) 隧道围岩的热物性参数、地温及洞口处气 温是寒区隧道防冻保暖设计的重要参数，在寒区隧 道勘察时，需要进行这些参数的测试及监测。 参考文献(References)： [1] 张德华，王梦恕，任少强. 青藏铁路多年冻土隧道围岩季节活动层 温度及响应的试验研究[J]. 岩石力学与工程学报，2007，26(3)： 614–619.(ZHANG Dehua，WANG Mengshu，REN Shaoqiang. Experimental study of temperature and response of seasonal active layer of tunnel′s surrounding rock in permafrost region on Qinghai— Tibet plateau[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007，26(3)：614–619.(in Chinese)) [2] 张先军. 青藏铁路昆仑山隧道洞内气温及地温分布特征现场试验 研究[J]. 岩石力学与工程学报，2005，24(6)：1 086–1 089.(ZHANG Xianjun. Field experiment on distribution characters of air temperature and ground temperature in Kunlunshan tunnel of Qinghai—Tibet railway[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005，24(6)：1 086–1 089.(in Chinese)) [3] 陈建勋，罗彦斌. 寒冷地区隧道温度场的变化规律[J]. 交通运输工 程学报，2008，8(2)：44–48.(CHEN Jianxun，LUO Yanbin. Changing rules temperature field for tunnel in cold area[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering，2008，8(2)：44–48.(in Chinese)) [4] 乜风鸣. 寒冷地区铁路隧道气温状态[J]. 冰川冻土，1988，10(4)： 450–453.(NIE Fengming. Dynamic state of air temperature in railway tunnel in cold regions[J]. Journal of Glaciology and Geocryology，1988， 10(4)：450–453.(in Chinese)) [5] 孙文昊. 寒区特长公路隧道抗防冻对策研究[硕士学位论文][D]. 成都：西南交通大学，2005.(SUN Wenhao. Study on frost-resisting and anti-freezing strategies of extra-long highway tunnel in cold area[M. S. Thesis][D]. Chengdu：Southwest Jiaotong University， 2005.(in Chinese)) [6] 赖远明，喻文兵，吴紫汪，等. 寒区圆形截面隧道温度场的解析 解[J]. 冰川冻土，2001，23(2)：126–130.(LAI Yuanming，YU Wenbing，WU Ziwang，et al. Approximate analytical solution for temperature fields of a circular tunnel in cold regions[J]. Journal of Glaciology and Geocryology，2001，23(2)：126–130.(in Chinese)) [7] 张 耀，何树生，李靖波. 寒区有隔热层的圆形隧道温度场解 析解[J]. 冰川冻土，2009，31(1)：114–118.(ZHANG Yao，HE Shusheng， LI Jingbo. Analytic solutions for temperature fields of a circular tunnel with insulation layer in cold region[J]. Journal of Glaciology and Geocryology，2009，31(1)：114–118.(in Chinese)) [8] KRARTI M，KREIDER J F. Analytical model for heat transfer in an underground air tunnel[J]. Energy Conversion and Management， 1995，37(10)：1 561–1 574. [9] TAKUMI K，TAKASHI M，KOUICHI F. An estimation of inner temperatures at cold region tunnel for heat insulator design[C]// Proceedings of Structural Engineering Symposium. [S.l.]：[s.n.]，2008： 32–38. [10] SIEGEL R. Transient thermal analysis of parallel translucent layers by using green′s functions[J]. Journal of Thermophysics and Heat Transfer，1999，13(1)：10–17. [11] OZISIK M N. Heat conduction[M]. New York：John Wiley and Sons， Inc.，1980. [12] SUNEET S，PRASHANT K J，RIZWAN U. Analytical solution to transient heat conduction in polar coordinates with multiple layers in radial direction[J]. International Journal of Thermal Sciences，2008， 47(3)：261–273. [13] PRASHANT K J，SUNEET S，RIZWAN U. Analytical solution to transient asymmetric heat conduction in a mutilayer annulus[J]. Journal of Heat Transfer，2009，131(1)：1–7. [14] LU X，TERVOLA P，VILJANEN M. Transient analytical solution to heat conduction in multi-dimensional composite cylinder slab[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer，2006，49(5–6)： 1 107–1 114. [15] LU X，VILJANEN M. An analytical method to solve heat conduction in layered spheres with time-dependent boundary conditions[J]. Physics Letters A，2006，365(4–5)：274–282. [16] LU X，TERVOLA P，VILJANEN M. A new analytical method to solve the heat equation for a multi-dimensional composite slab[J]. Journal of Physics A：Mathematical and General，2005，38(13)：2 873–2 890
