网格出版时：20l-2-l08562 e1.2062032015121.0856.002html 第表第用 Vol.No. 年月 基于拓扑优化的自发热体冷却用植入式导热路径 设计方法 陈文胡，刘书田，张永有 (大连理工大学，工业装各结构分析国家重点实验室。大连1I6024 摘要：对于具有较低号热系数和较高生热的热源材料（自发热体），通过优化植入内部的高导热材料的布局 降低内部温度，是实现白发热体冷却的重要措施。如何设计自发热体内部高导热材料的布同，是实现热源内部热 量高效收集和温度控制的关键问题。本文研究建立植入式导热路径的拓扑优化设计方法。考虑高导热材料的植入 对于热源分布的影响，以实现自发热体冷却的内置导热路径最优设计，基于固体各向同性材料惩罚模型(SMP Solid Material wit山Penalization)拓扑描述方法，以高导热材料的相对密度为导热路径描述参数，分别选 择合适的热传导系数和生热率的插值模型以建立热传导系数和生热率与相对密度的关系 并以结构散热弱度最 为目标，建立了植入式导热路径设计的拓扑优化数学模型和求解方法，该优化模型能够反映高导热材料的布局对 热源布局的影响。通过具体算例，给出了贴片式散热路径与植入式敢热路径的拓扑优化结果。设计结构表明，两 种优化模型获得的最优散热构型存在较大不同，并且考虑植入高导热材料对热源布局影响的设计结果散热性能优 于贴片式放热路径的设计结果。数值算例验证了本文所提出方法的正确性和有效性。 关镶词：传导路径，高导热材料，拓扑优化，散热弱度，热源布局 中图分类号：0343文献标识码：A doi10.60520459-1879-15-270 引言 电子器件的制备提供了技术支撑6。因此，针对植 入式导热通道，如何设计高导热材料的布局，实现 电子产品的小型化和集成电路的大规模化是 目前电子设各的发展趋势，随若电子设备中电子元 执源内部执量的高效收集和传输是需题研究的重要 器件的功率不断增大和物理尺寸逐渐减小， 其内高 问题 产生的热量如何高效的疏导到冷却区域是首要解决 许多研究工作者己经开展了一些散热通道优 的关键问题。申子产品的温度控制直接号影响设各的 化设计的工作，建立了计算模型和相应的求解方法。 例如，有学者基于物形理论律立了体，点 工作性能和效率，且随着温度的升高，电子器件的 失效率呈指数增长趋势。基于此，研究者提出了 c-to-Point)散热问题的设计方法,构形理 多方法来实现电子设各的冷却，如翅片散热，微 论从一个最优的基本元件出发，通过不同层级和尺 流道，梢入式导热通道等。其中，捕入式导 度的最优元件的组装，获得高导热材料的最优布局， 实现结构最高温度的最小化。过增元等以最小热 热通道（如电子设各热源内部植入高导热材料形成 势容耗散为 标 高效散热通道的方式)在近期尤为受到关注1。 建立了导热结构的设计理论和方 这种散热方式相比于翅片和微流道大大节省了空 法。程新广等基于生物进化准则实现多种工况下 间，有利于电子设备的小型化，并且3D打印技术 的高导热材料的布局设计。还有学者通过经验和直 觉提出了多种形式的传热路径设计方案可，如中 (增材制造)的快速发展为含有植入式导热材料的 型，平型，X型等，并对其进行了尺寸和形状的优 收稿 用 网路发表 高枚基本科研业务费(2342013DUT3RC(328)11计划(B14013).中国牌士后科号 2)刘书田，教投，主要研究方向：结构分析与化.Shutian Li山，profess, tion.E-mail 引用格式陈文，刘书。张水存，基于拓扑优化的自发热体冷却用植入式导热路径设计方法力学学报
第 卷 第 期 力 学 学 报 Vol. No. 年 月 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics ， — — 收稿， — — 录用， — — 网络发表. 1）国家自然科学基金（11172052, 11332004, 11402046），中央高校基本科研业务费（2342013DUT13RC (3)28），111 计划（B14013），中国博士后科学 基金（2015M571296）资助项目 2）刘书田，教授，主要研究方向：结构分析与优化. Shutian Liu, professor, research interests: Structural analysis and optimization. E-mail: stliu@dlut.edu.cn 引用格式：陈文炯，刘书田，张永存. 基于拓扑优化的自发热体冷却用植入式导热路径设计方法. 力学学报 基于拓扑优化的自发热体冷却用植入式导热路径 设计方法 1） 陈文炯，刘书田 2)，张永存 （大连理工大学，工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024） 摘要：对于具有较低导热系数和较高生热率的热源材料（自发热体），通过优化植入内部的高导热材料的布局以 降低内部温度，是实现自发热体冷却的重要措施。如何设计自发热体内部高导热材料的布局，是实现热源内部热 量高效收集和温度控制的关键问题。本文研究建立植入式导热路径的拓扑优化设计方法，考虑高导热材料的植入 对于热源分布的影响，以实现自发热体冷却的内置导热路径最优设计。基于固体各向同性材料惩罚模型（SIMP： Solid Isotropic Material with Penalization) 拓扑描述方法，以高导热材料的相对密度为导热路径描述参数，分别选 择合适的热传导系数和生热率的插值模型以建立热传导系数和生热率与相对密度的关系，并以结构散热弱度最小 为目标，建立了植入式导热路径设计的拓扑优化数学模型和求解方法。该优化模型能够反映高导热材料的布局对 热源布局的影响。通过具体算例，给出了贴片式散热路径与植入式散热路径的拓扑优化结果。设计结构表明，两 种优化模型获得的最优散热构型存在较大不同，并且考虑植入高导热材料对热源布局影响的设计结果散热性能优 于贴片式散热路径的设计结果。数值算例验证了本文所提出方法的正确性和有效性。 关键词：传导路径，高导热材料，拓扑优化，散热弱度，热源布局 中图分类号： O343 文献标识码：A doi：10.6052/0459-1879-15-270 引 言 电子产品的小型化和集成电路的大规模化是 目前电子设备的发展趋势，随着电子设备中电子元 器件的功率不断增大和物理尺寸逐渐减小，其内部 产生的热量如何高效的疏导到冷却区域是首要解决 的关键问题。电子产品的温度控制直接影响设备的 工作性能和效率，且随着温度的升高，电子器件的 失效率呈指数增长趋势。基于此，研究者提出了许 多方法来实现电子设备的冷却，如翅片散热[1, 2]，微 流道[3-6]，植入式导热通道[7-12]等。其中，植入式导 热通道（如电子设备热源内部植入高导热材料形成 高效散热通道的方式）在近期尤为受到关注[13-15]。 这种散热方式相比于翅片和微流道大大节省了空 间，有利于电子设备的小型化，并且 3D 打印技术 （增材制造）的快速发展为含有植入式导热材料的 电子器件的制备提供了技术支撑[16]。因此，针对植 入式导热通道，如何设计高导热材料的布局，实现 热源内部热量的高效收集和传输是需要研究的重要 问题。 许多研究工作者已经开展了一些散热通道优 化设计的工作，建立了计算模型和相应的求解方法。 例如，有学者基于构形理论建立了体 - 点 （Volume-to-Point）散热问题的设计方法[7]，构形理 论从一个最优的基本元件出发，通过不同层级和尺 度的最优元件的组装，获得高导热材料的最优布局， 实现结构最高温度的最小化。过增元等[17]以最小热 势容耗散为目标，建立了导热结构的设计理论和方 法。程新广等[18]基于生物进化准则实现多种工况下 的高导热材料的布局设计。还有学者通过经验和直 觉提出了多种形式的传热路径设计方案[13-14]，如Φ 型，Ψ型，X 型等，并对其进行了尺寸和形状的优 网络出版时间：2015-12-11 08:56:22 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2062.O3.20151211.0856.002.html
化设计，取得了较好的效果。 材料（热传导系数k),并设计高导热材料的布局， 结构拓林代化通过设计材料在空间的合理分 使热量快速传递到边界热沉处耗散。 布，能够获得创新结构形式92。在热传导结构托 扑优化方面，已经开展了 一些相关的研究工作。例 Insulated boundary 如，李青等2采用双向进化算法(BES0)拓扑优 化方法实现了热传导结构的拓扑优化设计，汉森等 a.K 弱度为目标 获得了最优的散热结构形式。 和张永存研究了体，点问题的导热通道优化设 问题，并与仿生优化的结果进行了比较，发现通过 拓扑优化设计能够获得更为有效的散热路径。此外 张晖等网研究了热载荷相关性问题 。以上工作表 明，拓扑优化已经成为导热路径设计的有效方法。 但之前的设计中，优化模型均是在给定热源条件下 价化高导执材料的布局，沿有老忠导热通道的布后 Heat sink 对热源布局的影响。这些设计方法可用于贴片式( 导热材料附着在被冷却体上)散热结构的设计 对于描入式导热通道设计问颗，结构由白发热 图1体点问 材料和高导热材料构成。抽入的高导热材料仅起输 Fig.I1 Volume-to-Point problem 送热量的作用而不产热 它的布置对热源 (即芯月 通常情况下，对于导热路径的拓扑优化设计 材料)的分布必将产生影响，同时热源的分布反过 目前大部分的研究工作仅考虑高导热材料的布局问 来影响高导热材料的最代布局。因此，优化模型应 题9如，自发热材料的布局并不受高导热材料布局 包含导热通道的布局对热源布局的影响，而之前的 的影响，即在计算过程中热源是确定的（算例1中 散热结构拓扑优化模型没有考虑热源与 导热通道布 将进 一步说明)。采用基于体各向同性材料惩罚模 局的相互影响 斋要建 立包含热源布局与导热通道 (SIMP)的密度描述，将设计域离散为N个有限单 布置相关的最优散热通道设计方法】 元，第个单元内高导热材料的含量用单元密度（设 针对上述研究背景，本文基于拓扑优化建立植 计变量) P, 来表征。单元密度值 入式导热路径的设计方法，协同设计高导热材料和 单元填充高导热材料 热源材料布局优化问题 基于单元密度拓扑描述方 :而当 P,=0,该单元填充自发热材料，其热传导系数为 去 以高导热材 的相对密度为导热路 的 k。根据单元密度描述方法的思想，在优化过程中， 分别选择合适插值模型，建立热传导系数和生 热率与高导热材料相对密度的关系，并以结构散热 热传导系数 弱度最小为目标，建立植入式导热结构最优布局设 下插值形式 十的拓优化型和求醒方法。通数情算 k=ko+p"(k-ko) 本文所提出方法的正确性和有效性 同时验证考志 其中，P为惩罚系数 植入高导热材料对热源布局影响的必要性。 对于植入式导热路径设计问题，高导热材料本 1设计问题的建立和求解 身并不产热，它的植入对热源材料的分布产生影响 L1导热路径的拓扑描述 同时热源材料的分布反过来影响高导热材料的最优 布局。为了在设计过程中描述上述情况，我们以高 考虑图1所示稳态热传导问题，方形设计域 导热材的相率度作为执分布的袜救。区 内含自发热材料（比如，芯片材料等），该自发热材 域内某子域（单元）的相对密度为1， 表示该子区 料具有较低的热传导率k以及单位面积生热率 域内无热源（发热率为零），而相对密度为0，则表 示该区域存在热源，其发热率为给定的自发热材料 一定体积的高导热 的发热率。仿照热传导系数的材料插值模型，在
化设计，取得了较好的效果。 结构拓扑优化通过设计材料在空间的合理分 布，能够获得创新结构形式[19-24]。在热传导结构拓 扑优化方面，已经开展了一些相关的研究工作。例 如，李青等[25]采用双向进化算法（BESO）拓扑优 化方法实现了热传导结构的拓扑优化设计，汉森等 [26]将有限体积法运用到稳态热传导问题中，以散热 弱度为目标，获得了最优的散热结构形式。刘书田 和张永存[27]研究了体-点问题的导热通道优化设计 问题，并与仿生优化的结果进行了比较，发现通过 拓扑优化设计能够获得更为有效的散热路径。此外， 张晖等[28]研究了热载荷相关性问题。以上工作表 明，拓扑优化已经成为导热路径设计的有效方法。 但之前的设计中，优化模型均是在给定热源条件下 优化高导热材料的布局，没有考虑导热通道的布局 对热源布局的影响。这些设计方法可用于贴片式（高 导热材料附着在被冷却体上）散热结构的设计。 对于植入式导热通道设计问题，结构由自发热 材料和高导热材料构成。植入的高导热材料仅起输 送热量的作用而不产热，它的布置对热源（即芯片 材料）的分布必将产生影响，同时热源的分布反过 来影响高导热材料的最优布局。因此，优化模型应 包含导热通道的布局对热源布局的影响，而之前的 散热结构拓扑优化模型没有考虑热源与导热通道布 局的相互影响。需要建立包含热源布局与导热通道 布置相关的最优散热通道设计方法。 针对上述研究背景，本文基于拓扑优化建立植 入式导热路径的设计方法，协同设计高导热材料和 热源材料布局优化问题。基于单元密度拓扑描述方 法，以高导热材料的相对密度为导热路径的描述参 数，分别选择合适插值模型，建立热传导系数和生 热率与高导热材料相对密度的关系，并以结构散热 弱度最小为目标，建立植入式导热结构最优布局设 计的拓扑优化模型和求解方法。通过数值算例验证 本文所提出方法的正确性和有效性，同时验证考虑 植入高导热材料对热源布局影响的必要性。 1 设计问题的建立和求解 1.1 导热路径的拓扑描述 考虑图 1 所示稳态热传导问题，方形设计域 Ω 内含自发热材料（比如，芯片材料等），该自发热材 料具有较低的热传导率 0 k 以及单位面积生热率 0 q ，方形域 Ω 所有的边界为绝热边界除了下底边 中点处的热沉。通过在域内植入一定体积的高导热 材料（热传导系数 p k ），并设计高导热材料的布局， 使热量快速传递到边界热沉处耗散。 Insulated boundary L L p k 0 0 q k , Heat sink T0 Ω 图 1 体-点问题 Fig. 1 Volume-to-Point problem 通常情况下，对于导热路径的拓扑优化设计， 目前大部分的研究工作仅考虑高导热材料的布局问 题[19, 20]，自发热材料的布局并不受高导热材料布局 的影响，即在计算过程中热源是确定的（算例 1 中 将进一步说明）。采用基于固体各向同性材料惩罚模型 （SIMP）的密度描述，将设计域离散为 N 个有限单 元，第 j 个单元内高导热材料的含量用单元密度（设 计变量） ρ j 来表征。单元密度值 1 ρ j = ，表示 单元填充高导热材料，其热传导系数为 p k ；而当 0 ρ j = ，该单元填充自发热材料，其热传导系数为 0 k 。根据单元密度描述方法的思想，在优化过程中， 相对密度取值连续化，即 ρ j ∈[0,1] ，第 j 个单元的 热传导系数与相对密度值取以下插值形式： 1 0 0 ( ) P j jp kk kk =+ − ρ (1) 其中， P1为惩罚系数。 对于植入式导热路径设计问题，高导热材料本 身并不产热，它的植入对热源材料的分布产生影响， 同时热源材料的分布反过来影响高导热材料的最优 布局。为了在设计过程中描述上述情况，我们以高 导热材料的相对密度作为热源分布的描述参数。区 域内某子域（单元）的相对密度为 1，表示该子区 域内无热源（发热率为零），而相对密度为 0，则表 示该区域存在热源，其发热率为给定的自发热材料 的发热率 0 q 。仿照热传导系数的材料插值模型，在
优化迭代过程中，发热率与相对密度的关系取以下 过如下列式求得： 形式的插值模型： P,=9,N do. (9) 4,=4%0-p5) (2) 其中，N,为单元形函数矩阵。因此，将材料差值模 本文计算中，选取=3月=1 型(1)(2)式代入(8)，就可以获得目标函数敏度 的解析表达： 1.2设计问题的建立 aC =-2BpaoN,do.)T, 对于稳态热传导问题，有限元控制方程可以为： ap (10) KT=P -BP-(k。-kTKT 为热载荷向量。本文中采用最小散热弱度（热势容） 若计算过程中认为高导热材料的布置不影响热源的 C=PT作为设计目标，建立如下拓扑优化问题的 布局，此时，目标函数的敏度可以表达为： 提法： ac =-RP(k。-kTKT, 11) find:X=(x) ap, min:C=PT (④其中，K为具有单位热传导系数的单元热传导矩 阵。对于二维正方形单元，K可以写成： 2 1 1 1 3 6 3 6 式中，y,为第个单元的面积（体积），V为设 域2的面积（体积），y,为体积分数。 K 6 3 (12) 2 1.3敏度分析 3 Γ6 6 目标函数关于设计变量的敏度可以表达为： L6 6 3 rP (5) 从式(10)和(11)可以看出，对于是否考虑高导 dp. 热材料的布置对于热源的影响，目标函数敏度的表 对平衡方程(3)取微分可以得到： 法且右非常大的芳别 T水部罗 为了避免棋盘格现象和尽可能减少网格相关 ap,ap, (6 性，在本文计算中采用了敏度过滤技术，改写敏度 形式如下： 于是/ap,可以写成 1 (13) (7) ,=-dist(j).indist(jsr 将式(7)代入式(5)，可以得到目标函数的敏度可 以表达为： 气为山为单元与单元1中心之间的距高 -r 1.4迭代流程 ap, 本文中，优化列式(4)的求解采用序列线性规 (8) 划方法(SLP)。完整的拓扑优化迭代流程如下： 步骤1：问题初始化。定义设计域、设计变量 初值和过滤半径，施加载描和边界条件。 其中，卫，为第个单元的节点热荷载向量，可以通 步骤2：稳态温度场分析。将设计与离散成有
优化迭代过程中，发热率与相对密度的关系取以下 形式的插值模型： 2 0 (1 ) P j j q q = − ρ (2) 本文计算中，选取 1 2 P P = = 3, 1。 1.2 设计问题的建立 对于稳态热传导问题，有限元控制方程可以为： KT = P (3) 其中，K 为总热传导矩阵，T 为节点温度向量，P 为热载荷向量。本文中采用最小散热弱度（热势容） T C = P T 作为设计目标，建立如下拓扑优化问题的 提法： ( )T 1 2 T 1 find: , , , , min: s.t.: j N N j j j f X C v v V ρρ ρ ρ ρ = = = = P T (4) 式中， j v 为第 j 个单元的面积（体积），V 为设计 域Ω 的面积（体积）， f v 为体积分数。 1.3 敏度分析 目标函数关于设计变量的敏度可以表达为： T T j j j C ρρ ρ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ P T T P (5) 对平衡方程（3）取微分可以得到： ρ ρρ j j j ∂ ∂∂ + ∂ ∂∂ K TP TK = (6) 于是 ρ j ∂ ∂ T 可以写成 1 1 ρρρ j jj ∂ ∂∂ − − − ∂∂∂ T PK =K K T (7) 将式（7）代入式（5），可以得到目标函数的敏度可 以表达为： T T T 2 2 jj j j j j j j j j C ρρ ρ ρ ρ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ T P K TT T P K TT T (8) 其中， Pj 为第 j 个单元的节点热荷载向量，可以通 过如下列式求得： d e j jj e q Ω = Ω P N (9) 其中，N j 为单元形函数矩阵。因此，将材料差值模 型（1）（2）式代入（8），就可以获得目标函数敏度 的解析表达： ( ) 2 1 1 2 0 1 0 1 0 2 d ( ) e P j j ej j P j p j ej C P q P kk ρ ρ ρ − Ω − ∂ =− Ω ∂ − − T N T TKT (10) 若计算过程中认为高导热材料的布置不影响热源的 布局，此时，目标函数的敏度可以表达为： 1 1 0 1 0 ( ) P j p j ej j C P kk ρ ρ ∂ − =− − ∂ T TKT (11) 其中， 0 Ke 为具有单位热传导系数的单元热传导矩 阵。对于二维正方形单元， 0 Ke 可以写成： 0 2 111 3 636 12 1 1 63 6 3 1 12 1 3 63 6 1 1 12 6 3 63 e −−− − −− = −− − −−− K (12) 从式（10）和（11）可以看出，对于是否考虑高导 热材料的布置对于热源的影响，目标函数敏度的表 达具有非常大的差别。 为了避免棋盘格现象和尽可能减少网格相关 性，在本文计算中采用了敏度过滤技术，改写敏度 形式如下： 1 1 min min 1 ˆ , ˆ ˆ dist( ),{ dist( ) } n n i i i j i j i i i C C H H H r j,i i n j,i r ρ ρ ρ ρ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ =− ∈ ≤ (13) 其中，dist( ) j,i 为单元 j 与单元 i 中心之间的距离， min r 为过滤半径。 1.4 迭代流程 本文中，优化列式（4）的求解采用序列线性规 划方法（SLP）。完整的拓扑优化迭代流程如下： 步骤 1：问题初始化。定义设计域、设计变量 初值和过滤半径，施加载荷和边界条件。 步骤 2：稳态温度场分析。将设计与离散成有
限元网格，采用有限元法计算式(3)，获得结构温 忽路高导热材料的布置对于热题的影响，仅采用(1) 度场。 式的材料差值格式，通过(11)式的嫩度分析更新 步骤3：目标函数与敏度计算。计算日标函数 设 。图2给出了目标函数的迭代历史以及高导热 以及通过式(10)获得目标函数关于设计变量的敏 材料布局的演化情况，图3给出了第1、25、50 度表达，并通过式(13)对敏度进行过滤。 300迭代步拓扑结果，图中设计域内黑色部分表征 步骤4：设计变量更新。采用序列线性规划方 高导热材料，白色区域为自发热材料。从高导热材 法(SLP)对设计变量进行更新 料布局演化过程可以看出，从靠近热沉处开始布置 步骤5：收敛判断。若收敛，选代停止：若不 随后延伸进入远离热源的区域，最终汇聚到热沉处 收敛，返回步骤2，重复步骤2-5。 耗散。 2算例与讨论 本节采用二维拓扑优化算例验证所提出的方 法的正确性和有效性。为了对比不同的计算结果， 定义无量纲峰值温度2,291为： 9.4/k。 (14) 其中，T和T分别为设计域？中的最大温度 iteration 25iteration 和最小温度。值越小表明结构的导热性能越好。 算例中结构尺寸和材料单位均采用无量纲量。 如图1所示，结构尺度为100100，采用正方形平 面单元离散结构，单元边长为1。发热材料的热作 导系数为k。=0.01,高导热材料热传导系数为 k。=1,设计域内发热材料单位面积生热率均为 9%=0.01,热沉处温度为,=0,体积分数 =0.15。优化参数过滤半径 =2,初始材料 50 iteration 布局均为材料相对密度（设计变量）为体积分数的 图3第1、25、50、300迭代步拓扑结果 均匀分布。 Fig.3Topology results of 150hiterations. 2.1算例1：贴片式散热通道设计 16*10 2.2算例2：植入式散热通道设计 本算例中考虑植入高导热材料对热源布局影 响，采用(1)和(2)式材料差值模型，通过(10】 式的敏度分析更新设计。图4给出了目标函数的 10 代历史以及高导热材料布局的演化情况。从图4中 可以看出，目标函数值随着迭代数的增加平稳下降， 最终收敛，最优拓扑为类似树形的结构。高导热材 料布局演化过程与算例1具有明显不同，高导热材 料的布置同时受到热沉（散热处）和热流荷载的 响，迭代开始时将材料布置在靠近热沉处和远离热 50 100 150 200 250 沉处（温度较高），这种布局方式能够将靠近热沉的 图2目标迭代历史 热量迅速传走，并且使得远离热沉处（高温区域） Fig.2 Iteration history of obiective function 的发热量减少。随后两部分材料逐渐相连形成散热 通道，将远离热沉区域的热量传递出来，最终获得 本算例在计算过程中认为热源是均匀分布的， 最优结果。为了进一步说明上述现象，图5给出了 第1、25、50、300迭代步拓扑结果，图6给出了相
限元网格，采用有限元法计算式（3），获得结构温 度场。 步骤 3：目标函数与敏度计算。计算目标函数， 以及通过式（10）获得目标函数关于设计变量的敏 度表达，并通过式（13）对敏度进行过滤。 步骤 4：设计变量更新。采用序列线性规划方 法（SLP）对设计变量进行更新。 步骤 5：收敛判断。若收敛，迭代停止；若不 收敛，返回步骤 2，重复步骤 2-5。 2 算例与讨论 本节采用二维拓扑优化算例验证所提出的方 法的正确性和有效性。为了对比不同的计算结果， 定义无量纲峰值温度[27, 29 ]为： max min 0 0 T T qAk τ − = (14) 其中，Tmax 和Tmin 分别为设计域 Ω 中的最大温度 和最小温度。τ 值越小表明结构的导热性能越好。 算例中结构尺寸和材料单位均采用无量纲量。 如图 1 所示，结构尺度为 100 100，采用正方形平 面单元离散结构，单元边长为 1。发热材料的热传 导系数为 0 k = 0.01 ，高导热材料热传导系数为 1 p k = ，设计域内发热材料单位面积生热率均为 0 q = 0.01 ，热沉处温度为 0 T = 0 ，体积分数 0.15 f v = 。优化参数过滤半径 min r = 2 ，初始材料 布局均为材料相对密度（设计变量）为体积分数的 均匀分布。 2.1 算例 1：贴片式散热通道设计 图 2 目标迭代历史 Fig. 2 Iteration history of objective function 本算例在计算过程中认为热源是均匀分布的， 忽略高导热材料的布置对于热源的影响，仅采用（1） 式的材料差值格式，通过（11）式的敏度分析更新 设计。图 2 给出了目标函数的迭代历史以及高导热 材料布局的演化情况，图 3 给出了第 1、25、50、 300 迭代步拓扑结果，图中设计域内黑色部分表征 高导热材料，白色区域为自发热材料。从高导热材 料布局演化过程可以看出，从靠近热沉处开始布置， 随后延伸进入远离热源的区域，最终汇聚到热沉处 耗散。 1st iteration 25th iteration 50th iteration 300th iteration 图 3 第 1、25、50、300 迭代步拓扑结果 Fig.3 Topology results of 1st , 25th ,50th ,300th iterations. 2.2 算例 2：植入式散热通道设计 本算例中考虑植入高导热材料对热源布局影 响，采用（1）和（2）式材料差值模型，通过（10） 式的敏度分析更新设计。图 4 给出了目标函数的迭 代历史以及高导热材料布局的演化情况。从图 4 中 可以看出，目标函数值随着迭代数的增加平稳下降， 最终收敛，最优拓扑为类似树形的结构。高导热材 料布局演化过程与算例 1 具有明显不同，高导热材 料的布置同时受到热沉（散热处）和热流荷载的影 响，迭代开始时将材料布置在靠近热沉处和远离热 沉处（温度较高），这种布局方式能够将靠近热沉的 热量迅速传走，并且使得远离热沉处（高温区域） 的发热量减少。随后两部分材料逐渐相连形成散热 通道，将远离热沉区域的热量传递出来，最终获得 最优结果。为了进一步说明上述现象，图 5 给出了 第 1、25、50、300 迭代步拓扑结果，图 6 给出了相
应的温度场分布。 Fig5 Topology results ofiterations 图7给出了算例1和算例2的结果对比，可以 发现忽略植入高导热材料对热源布局影响，无量钢 峰值温度t=0.0620,而考虑植入高导热材料对热 源布局影响，无量纲峰值温度为t=0.0556,相对 性能提升了10.3%。 若采用构形理论设计本算例中的体-点问题，其 极限的无量纲峰值温度为 m=/k,,/k)=0.0667 (15) 该结果要明显大于采用拓扑优化获得的结果， 2*10 图6第1、25、50、300迭代步温度场 Fig6Temperature field results of Ist ￥￥￥ 25th,50th,300th iterations. 100 250 图4目标迭代历史 Fig.4 Iteration history ofobjective function 1iteration r=0.0556 =0.0620 图7结果对比 Fig 7Comparison of results 3结论 50 iteration 300iteration 本文建立了实现自发热体最优冷却的植入式导 热路径设计的拓扑代化模型和求解方法。桶过引入 图5第1、25、50、300迭代步拓扑结果 合适的插值模型、高导热材料的相对密度，以实现
应的温度场分布。 图 7 给出了算例 1 和算例 2 的结果对比，可以 发现忽略植入高导热材料对热源布局影响，无量纲 峰值温度 τ = 0.0620 ，而考虑植入高导热材料对热 源布局影响，无量纲峰值温度为 τ = 0.0556，相对 性能提升了 10.3%。 若采用构形理论设计本算例中的体-点问题，其 极限的无量纲峰值温度[30]为 limit 0 1 0.0667 ( ) p f τ = = kv k (15) 该结果要明显大于采用拓扑优化获得的结果。 图 4 目标迭代历史 Fig. 4 Iteration history of objective function 1st iteration 25th iteration 50th iteration 300th iteration 图 5 第 1、25、50、300 迭代步拓扑结果 Fig.5 Topology results of 1st , 25th ,50th ,300th iterations. 图 6 第 1、25、50、300 迭代步温度场 Fig.6 Temperature field results of 1st , 25th ,50th ,300th iterations. τ = 0.0556 0.0620 τ = 图 7 结果对比 Fig 7 Comparison of results 3 结 论 本文建立了实现自发热体最优冷却的植入式导 热路径设计的拓扑优化模型和求解方法。通过引入 合适的插值模型、高导热材料的相对密度，以实现
导热路径（高导热材料的布局）的描述以及受导热 路径影响的热源分布的描述。算例的设计结果验证 了本文方法对植入式导热通道设计的有效性。植入 2 式散热路径与贴片式散热路径设计结果的比较表 明，两种最优散热构型存在很大不同，说明对于植 入式散热结构设计，优化模型中考虑高导热材料对 热源分布的影响非常必要。此外，高导热材料与发 热材料的导热系数之比以及高导热材料的用量对最 优导热路径的构型均有影响，对于这些影响的讨论 将是在后续研究应关注的问题。 19 参考文献 ith e2014632 12 多相 ctural topology opt Grant PS.Xie YM.Querin OM.Evoluti 4723) d M.Shariatzadch.Nou m2014221 2006,34 27 ien of rente S.T olution of desigr 少 12 ation of steady-st 13. LAO.Const Joumal f Heat and M Tramyer,2013,1) 206,493332.34 madi M.Mould M.Nourazar SS.i (责任编铜
导热路径（高导热材料的布局）的描述以及受导热 路径影响的热源分布的描述。算例的设计结果验证 了本文方法对植入式导热通道设计的有效性。植入 式散热路径与贴片式散热路径设计结果的比较表 明，两种最优散热构型存在很大不同，说明对于植 入式散热结构设计，优化模型 中考虑高导热材料对 热源分布的影响非常必要。此外，高导热材料与发 热材料的导热系数之比以及高导热材料的用量对最 优导热路径的构型均有影响，对于这些影响的讨论 将是在后续研究应关注的问题。 参考文献 1. Ndao S, Peles Y, Jensen MK. Effects of pin fin shape and configuration on the single-phase heat transfer characteristics of jet impingement on micro pin fins. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2014, 70: 856-863. 2. Patel V, Savsani V. Optimization of a plate-fin heat exchanger design through an improved multi-objective teaching-learning based optimization (MO-ITLBO) algorithm. Chemical Engineering Research and Design, 2014, 92(11): 2371-2382. 3. Xie G, Zhang F, Sundén B, Zhang W. Constructal design and thermal analysis of microchannel heat sinks with multistage bifurcations in single-phase liquid flow. Applied Thermal Engineering, 2014, 62(2): 791-802. 4. Zhang LY, Zhang YF, Chen JQ, Bai SL. 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第卷第期 力学学报 Vol.No. 年月 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics OPTIMIZATION DESIGN OF CONDUCTIVE PATHWAYS FOR COOLINGA HEAT GENERATING BODY WITH HIGH CONDUCTIVE INSERTS P Wenjiong Chen,Shutian Liu2,Yongcun Zhang (Sate Key Laboratory of Analysisfor Industrial Equpment.Dalian University of Techmnology:116023.Dalian.China) Abstract It is an importance to optimize the position of high conductive material ina heat generating body wih low thermal conductivity and high heat generation for reducing the intemal temperature.Akey problem is how to design the structures with high conductiv aterial in the heat ting body for temperature control and hea collection.In this paper.a new method based on topology optimization is proposed to design the conductive pathways with embedded high c rials Based u on SIMP a oach,an artificial material model with thermal conductivity and heat generation rate is suggested and the relative densities of the high conductive material are taken as design variables.With the minimum heat potential capacity as the objective,a topology optimization model for designing high conductive inserts is formulated and the corresponding solving method is developed.Two topology optimization configu ons of high conductive surfaces and high conductive inserts are given in the numerical examples,and they are much diffe capability of heat dissipation for the high conductive inserts is much better than that of the high conductive surfaces.It indicates that it is necessary to consider the impact of the conductive pathways on the layout of h source.Several numerical examples are given to demonstrate the and validity of the proposed optimization method. Key words:conductive pathways,high conductive inserts,topology optimization,heat potential capacity,heat source layout The project was supported by the National Natural of China (Grant N 11172052,11332004 and 11402046),the Fundamental Researe is for The Central Universities of China (2342013DUT13RC (3)28)and the 111 Project (B14013)and octoral Science Found. (2015M571296】 2)Shutian Liu,professo research int tural analysis and ootimization E-mail:stliu @dlut edu.cn
第 卷 第 期 力 学 学 报 Vol. No. 年 月 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics ， Received ，revised 1）The project was supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11172052, 11332004 and 11402046), the Fundamental Research Funds for The Central Universities of China (2342013DUT13RC (3)28) and the 111 Project (B14013) and China Postdoctoral Science Foundation (2015M571296). 2）Shutian Liu, professor, research interests: Structural analysis and optimization. E-mail: stliu@dlut.edu.cn OPTIMIZATION DESIGN OF CONDUCTIVE PATHWAYS FOR COOLING A HEAT GENERATING BODY WITH HIGH CONDUCTIVE INSERTS 1） Wenjiong Chen, Shutian Liu2), Yongcun Zhang (State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, 116023, Dalian, China) Abstract： It is an importance to optimize the position of high conductive material in a heat generating body with low thermal conductivity and high heat generation for reducing the internal temperature. A key problem is how to design the structures with high conductive material in the heat generating body for temperature control and heat collection. In this paper, a new method based on topology optimization is proposed to design the conductive pathways with embedded high conductive materials. Based upon SIMP approach, an artificial material model with thermal conductivity and heat generation rate is suggested and the relative densities of the high conductive material are taken as design variables. With the minimum heat potential capacity as the objective, a topology optimization model for designing high conductive inserts is formulated and the corresponding solving method is developed. Two topology optimization configurations of high conductive surfaces and high conductive inserts are given in the numerical examples, and they are much different. The capability of heat dissipation for the high conductive inserts is much better than that of the high conductive surfaces. It indicates that it is necessary to consider the impact of the conductive pathways on the layout of heat source. Several numerical examples are given to demonstrate the effectiveness and validity of the proposed optimization method. Key words：conductive pathways, high conductive inserts, topology optimization, heat potential capacity, heat source layout