第一篇热 传导 第一章导热的理论基础 本章闹述导热的理论基础。首先介绍导热的基本定律，然后，基于导热基本定律及能量守 恒定律，建立导热的微分方程，最后讨论导热问题的单值性条件及导热问题的求解方法 1.1导热基本定律 1.1.1温度场 某一物理量在空间的分布称为该物理量的场，如电场、磁场、引力场。温度在空间的分布称 为温度场。温度场有稳态温度场和非稳态温度场之分，如果温度场不随时间而变，称为稳态温 度扬：反之，称为非稳态温度场。 如果我们用r表示泛指的空间坐标，π表示时间，则稳态温度场及非稳态温度场的数学表 达式分别为 t=f(r】 (1-1) t=f(r,t) (1-2) 同一时刻，物体中由温度相同的点构成的面称为等温面，非稳态温度场的等温面可以随时 间而变化。 沿等温面的法线方向的温度变化率最大，称为温度梯度，用符号gradt表示，取等温面的 外法线方向作为温度梯度的正方向。直角坐标系中，温度梯度的表达式为 grad=嘉++2 (1-3) 上式中，jk分别表示xy、之方向的单位向量. 1.1.2导热基本定律 物体内的分子、原子及自由电子等微观粒子处于不断的热运动中，其热运动的强弱与所处 的温度有关，温度高，则热运动就强。当物体内温度分布不均匀时，微观粒子间就发生能量交 换，热量从温度较高（即热运动较强）的部分传递到温度较低（热运动较弱）的部分，这种依靠微 观粒子的热运动而产生的能量传递现象，称为热传导，简称导热.物体在导热过程中，各部分物 质不发生宏观位移。 导热现象遵循傅里叶定律。在各向同性的介质中，傅里叶定律的向量表达式为 1
q=-grad (1-4) 式中，9是热流密度（或称热通量），它是一个向量，其大小等于单位时间内通过单位等温面面 积的热量，并以等温面的外法线方向为正方向，单位是W/m入是比例系数，称为导扶系数（或 称导热率).了是nabla算子，m是法线方向的单位向量】 傅里叶定律是导热的一条基本定律。它表明，在各向同性介质中，热流密度的大小与温度 梯度成正比，其方向与温度梯度反向.由此可知，热流密度向量垂直于等温面，沿着温度降低的 方向。物体内的温度场一经确定，即可由傅里叶定律求得物体内各处的热流密度，进而求得热 量（即单位时间内的导热量）。因此，在导热问题的求解时，首先应把注意力集中于求解温度 场。 在直角坐标系中，热流密度向量可表示为 g=gi+qxi+ak (1-5)】 49表示g在,y,2方向的分量。 式(1-3)及式(1-5)代入式(1-4)，得到 ,=-4爱9=-号 =-是 (1-6) 上式表明，热流密度在任一方向上的分量与该方向上的温度变化率成正比。 特别值得指出的是，上面的讨论仅对各向同性材料中的导热过程有效。 根据傅里叶定律，当物体中某处由于热扰动而使该处温度发生变化时，整个物体内的温度 分布及热流密度立刻发生变化，即使离开扰动源无限远的地方，也能马上感受到扰动的影响， 这表明，热扰动是以无限大的速度传播的，显然，这一结论有很大的局限性，声音（压力波）以声 速传播，电磁波以光速传播，热扰动也必定以一有限的速度传播，由统计热力学理论可知，热扰 动只能以有限的速度在物体内传播。因此，必须对博里叶定律作适当的修正，式(1-4)变为 是+g=-grad t (1-7) c=Val 式中，a是材料的热扩散率（或称导温系数），c是热传播速度，)称为松弛时间。在大多数实际 导热问题中，a比2小10个量级，因而式(1-7)中左边第一项与第二项相比可忽略不计，式(1 7)退化为傅里叶定律，只有在深冷时，或在热负荷急剧变化的场合，前者c的值很小，后者头很 大，式(1)左边第一项才不能忽略 1.1.3导热系数 导热系数是表征材料导热能力的物理量，单位是W/(m·K),或W/八m·℃)。它与材料 的种类及其所处的状态有关。 热物性学的现代理论提供了对导热过程微观机理的解释，并有助于材料热物性宏观测试 值的整理。但这些理论尚不完普，还不能用于精确预测材料的导热系数值，材料导热系数仍然 由专门实验测定。 傅里叶定律提供了导热系数的定义式，是由实验测定材料导热系数的基础。由式(1-4)可 得导热系数的定义式为 ·2·
A=-grad i (1-8) 在实验中，只要测定热流密度q及物体内的温度分布，就可由式(1-8)求得导热系数。 不同材料的导热系数差别极大，一般而言，纯金属的导热系数最大（纯金属中，又以银的导 热系数为最大)，气体的导热系数最小.传热学教材[2]的附录中，列出了常见材料的导热系数 有关导热系数更详细的资料，可参阅文献[3~5]。 1.2各向异性材料中的导热 各个方向上导热系数都相同的材料，称为各向同性材料，此外，还有许多天然的或人造的 材料，其导热系数随方向而变化，这样的材料称为各向异性材料。例如石英、木材，石墨、层压 板，玻璃钢等。木材中，在顺木纹、垂直于木纹以及环绕木纹的三个方向上，导热系数是各不相 同的，各向异性材料中的热传导理论在科学和技术的各个领域里起着重要作用，但这方面的成 梁却十分有限。本教材中，仅涉及其最基础的内容。 各向异性材料与各向同性材料相比，其导热过程有两个重要的差别。其一，各向异性材料 沿各个方向的导热系数是不同的。其二，各向异性材料在某一方向上的热流密度分量不仅与该 方向上的温度变化率有关，而且还与其垂直方向上的温度变化率有关。在直角坐标系（红，x, )中，沿三个坐标轴方向的热流密度分量可表示为 =-毫一毫- (1-9a) m=-知是-是费 (1-9b (1-9c〉 以上三式可概括成如下的表达式 -名毫 =1,2,3 (1-10) 式中，入表示j方向上的单位温度变化率在方向上引起的热流密度的大小，反映了材科的定 向导热性能，称为导热系数分量.。根据不可逆过程热力学中的翁萨格原理(Onsagar'sprinci, ples),导热系数分量服从互易关系们 入y=i,j=1,2,3 (1-11a) 以外，正如文献[15]所述，根据不可逆热力学，有 >0 =1,2,3 (1-11b) 而且，系数，（≠》的大小被下述要求所限制 入·w-得>0≠j (1-11c) 导热系数的方向性使得各向异性材料中的导热规律复杂化了，但是，如果恰当地选择坐标 系（数学上通过矩阵的初等变换），一定可以找到 个坐标系（台，，），在(，，6)坐标系 中，沿(=1,2,3)方向的热流密度分量只与该方向上的温度变化率有关，而与其他两个方向 上的温度变化率无关。即 3
9a=-毫a=-4是96=-4爱 (1-12 坐标轴行，6,6称为导热系数主轴，4,2，d称为主导热系数.此式与式(1-4)形式上几乎完全 相同，只是三个主导热系数之值在一般情况下互不相等在丰轴坐标系(，，，，)内，热流密摩 向量表示为 g=-4-4影- (1-13) ≠-grad t 由上式可知，在各向异性材料中，热流密度一般不垂直于等温面（温度梯度一定垂直于等 温面)，且热流密度也不 定与温度梯度恰好反向。 下面以一个二维间问题为例，具体说明各向异性材料中导热的规律及其导热系数的变化特 征。图1,1上表示一块叠层各向异性材料的平板，图中斜线表示叠层面，沿叠层面及垂直叠层 面是导热系数的主轴6和，其主轴方向的导热系数分别为和.直角坐标系（红1）与主 轴不一致，现要推导在坐标系(x,x)中的方向导热系数与主轴导热系数间的关系。 9x1 图1.1曼层材料中的导热 ，现以主轴坐标系为旧坐标系，而以坐标系(x1,x)为新坐标系。在主轴坐标系中，温度梯度 及热流密度分别为 gad=爱+割 (1-14a) ga=-名毫9如=-4毫 (1-14b) q=qni'+qnj (1-14c) '和分别表示主轴方向的单位向量。 在坐标系(x)中，温度梯度及热流密度分别为 gadt=斋+ (1-15a) =一毫-爱 (1-15b) %,=-是- (1-15c) 4…
q=qi十q,Jj (1-15d) 同一物体中，温度梯度及热流密度与坐标系无关。由此，可以得到 9z-qe,cosB-9e,sinB (a) 94,=9%,sinf+q4,cos月 (6) 是-cos9-毫in9 (c) 是-素in+毫eop (d) (c)和(d)联立，可解得 是-是cosg+盖sinA (e) 亮一孟inB+是cosA ( 式(e)和式(D代人式(a),得到 a=-A去coap+ingco+A-密in+宽co)in (co()sinco (1-16a) 同理可得 (1-16b) 比较式(1-15b)、(1-15c)和式(1-16a)、(1-16b),得 Au=(Aicos'B+Asin"B) (1-17a) Au==(-)sinBcos月 (1-17b) n=(Asin'8+Acos"B) (1-17c) 式(117)告诉我们，各向异性材料的导热主轴及主轴方向导热系数知道后，任何方向上的 导热系数就能算出， 如果使图1.】所示叠层平板的两表面维持常温t和2，则平板中将产生一维稳态温度 杨4=毫=0此时。 94=-（a-名os6in9是 (1-18a) 4,=-（sim+4 (1-18b) 热流密度与x轴的夹角的正切为 9x1(入1-入2)sinBcos月 g-g2,-5im8+4cos币 (1-19) 显然，若能满足以下两个条件，则中=0，或热流密度的方向与等温面法线方向一致：(1)入= ,即材料为各向同性；或(2)B=0,即坐标系（红1，x)与主轴一致， 对各向异性材料来说，即使取主轴坐标系，热流密度并不与等温面垂直，而温度梯度总是 沿等温面的法线方向 5
在本书以后的讨论中，只讨论各向同性材料中的导热。 1.3导热方程 傅里叶定律揭示了物体中任意位置处热流密度与该处温度梯度间的关系。如果把能量守 恒定律与傅里叶定律结合起来，就能得到导热方程。导热方程是所有导热过程所必须遵循的， 它可以以积分方程或微分方程的形式表示，本节中仅论述导热微分方程。 在直角坐标系中的导热微分方程，许多传热学教材中都有推导[2]，这里直接引用其推导 结果 是(oc)=7(A7)+g (1-20) 式中，c是材料的比热，P是密度，q,是体积发热率， 常物性时，式(1-20)变为 -7+受 (1-21) 上式中，a=A/(p)称为热扩散率，它也是一个重要的热物性参数，表征材料在非稳态导热过程 中扩散热量的能力，其值可由物性表中查得。不同材料的热扩散率差别极大，油的扩散率为 1×10'm/s,而银的扩散率可达2×10-m'/s。式中，等号左边称为非稳态项，等号右边第 项称为扩散项，第二项称为热源项。 无内热源时，9.=0，式(1-21)简化为 -4 (1-22) 上式背称为傅里叶导热微分方程，它是一个典型的抛物线型偏微分方程 对于稳态导热问题，非稳态项消失，式(1-21)简化为 t+=0 (1-23) 上式称为泊桑方程 对于无内热源的稳态导热向题，上式可进一步简化为 71=0 (1-24) 上式称为拉普拉斯方程，它是典型的椭圆型偏微分方程。 在求解实际导热问题时，所遇到的物体的几何形状是各式各样的，为了使该问题易于求 解，往往对不同的具体问题采用不同的坐标系，以尽可能减少导热方程中自变量的数目，或使 边界条件的表达简化。下面，我们推导任意正交坐标系中的导热微分方程。 任意正交坐标系中导热方程的推导，可以采用控制容积内的能量平衡法，也可通过不同正 交坐标系中基本量（单位向量、梯度等）的关系，由直角坐标系中的导热微分方程转换而得). 这里采用第一种方法。 图1.2表示一个正交坐标系(，，x),x1x,西是它的坐标轴，它与直角坐标xyz的 函数关系为 6
x=x(红1xz） y=y() (1-25) =z(1xx) 田1,2正交坐标系4 在正交坐标系中任一点P处，取dx1,dx,dx构成的徽元六面体。徽元六面体的边长为 dl1,dl:,d山。在直角坐标系(x,yz)内，相邻两点间的微分长度ds可表示为 (d)2=(dx2+(dy+(dx) (1-26) 徽元六面体中对应的那段到长d山，只要求得两端点间的dx,dy,dz,代入上式就能算 出。山，所表示的那段弧，仅有x坐标变化了d,其他两个坐标没有发生变化，因此，由式(1 25)求得对应的dx,dy,dz为 dd dy d ded 代入式(1-26)，求得 d出，=√++ 同理可以求得d,d H=√(++ i=1,2,3 (1-27) dl,=H,dx·i=1,2,3 (1-28) 式中的H,称为拉梅系数（或称度规系数），它可以是常数，也可以是坐标云的函数。如若 直角坐标系与正交曲线坐标系的面数关系已经知道，则拉梅系数就可由式(1-27)算出。 7
山：求得后，就可求得微元六面体各个面的面积及其体积，它们是 dA=dl·dl,=H·H,·dz·dx, dA2=dh·dh=H1·H,·dx1·dx (1-29) dA=d·d=H1·H·d·dr dA=Hd·d·dx(H·dx) i=1,2,3 dw=d,·d,·d,=H·dx1·dx4·dx1 式中H=H1·H2·H,。 由微元六面体的能量平衡，可以写出如下热平衡式： 导入控制容积的净热流量十控制容积内热源发热量=控制容积内内能增量 对各向同性材料，导入净热量为 含-毫A-[-受A-引毫A出，]} =名引毫Ad出， -名引景品dd 控制容积内热源发热量为 g.·dw=g,·H·dx1·dx2·dx 单位时间内控制容积内能增量为 dHdrd 代入热平衡式，经整理后得到 四-这引昂+m (1-30) 上式即为变物性时正交坐标系中导热微分方程的表达式.在不同的具体条件下，式(1-30) 可以简化。 常物性时，简化为 县亲=名是+ (1-31) 常物性稳态导热，简化为 名品)+贤=0 (1-32) 对于稳态导热而言，温度场及等湿面均不随时间而变化。因此，如果把正交曲线坐标的 两个坐标轴x,放在等温面上(x4,互相正交)，坐标轴与等温面垂直，温度扬戒为 维温度场t=(),问题在于，温度场本身是求解的目标，在一般情况下，等温面必须要在油 度场解出后才能知道，所以在温度场解出前，能把温度场简化为一维问题的正交坐标系是无 8
法确定的。然而，对一些简单的问题，根据导热问题的具体条件，可以判断等温面的形状，然 后正确选用坐标系，把导热问题简化为一维问题。 举例来说，如图1.3所示有一圆柱体内的稳态导热，有内热源，两个端面分别维持，和 t,侧表面绝热，试选择合适的坐标系。 绝热 图1,3西柱体导热 初看起来，本例似应选择圆柱坐标系。实际上，由于两端面是等温面，侧表面绝热，据此 可以判断所有的等温面均是与端面平行的平面，所以本例是沿等温面法线方向的一维导热 =(x). 1.4导热过程的单值性条件 导热方程是导热过程温度场的普遍性描述，反映了导热过程的共性，是求解导热问题的出 发点。但是导热方程并不能提供各种不同的具体条件下物体内的温度分布。这就是说，一切导 热过程中的温度分布都必须满足导热方程，但它不仅要满足导热方程，而且还要满足导热过程 进行的条件，所以每个导热过程的温度场是各不相同的。对一个确定的导热过程来说，既满足 导热方程，又满足该导热过程的特定条件的温度场才是唯一的，这种从满足微分方程的温度场 中唯一地确定特定温度场的条件，称为单值性条件。上述关系可以简明地表示为 导热方程十单值性条件=确定温度场 导热问题的单值性条件有几何条件、物理条件，时间条件及边界条件4方面的内容，下面 分别子以讨论 1.4.1几何条件 几何条件说明物体的形状和大小，它确定了所研究问题的空间区域。 物体的几何形状对坐标系的选择起决定性的作用，虽然，物体内的温度场与所选的坐标系 无关，但不同的坐标系，其导热微分方程及边界条件的表达方式也就不同。坐标系的选择原则 是使导热微分方程中的空间坐标自变量尽可能少，边界条件便于表达，以使导热问题易于 求解 .9
1.4.2物理亲件 物理条件包括材料的热物性及有无内热源。原则上材料的热物性分为常物性及变物性两 类，严格意义上的常物性材料是没有的变物性时需要知道热物性随温度的变化关系，变物性 给温度场的求解带来很大困准，求解温度场时需要知道物性，而物性又取决于温度，这是温度 场和物性场耦合的求解问题，只有极少数变导热系数的导热问题，可以通过适当的变换而求得 分析解，对变物性导热问题最简便的处理方法，是以物性的某个平均值（如算术平均值）代替变 物性，然后按常物性的导热问题求解，这样处理，会给解得的温度场带来一定的误差，它仅适用 于材料物性在所研究的温度范围内变化不大，或对解的精确度要求不高的场合， 本书只讨论导热问题的分析解法，因此主要研究常物性导热问题。变物性的导热问题， 般可用数值法求解。 几何条件及物理条件确定后，微分方程的具体形式完全被确定了，这样的方程，在数学领 域称为泛定方程，如前面提及的拉普拉斯方程，泊桑方程及热传导方程等数理方程这门课，就 是专门研究这些泛定方程求解的。 1.4.3时间条件 时间条件说明导热过程在时间上进行的特点。如果物体内的温度场是稳态温度场，导热过 程不随时间面变，时间就不是独立变量，导热方程中没有瞬态项，反之，非稳态导热的导热方程 中就有瞬态项。我们所处的环境连续不断地在变化，所有的热过程都受到其影响，因此严格意 义上的稳态导热是不存在的。稳态导热是相对的。 瞬态导热是非稳态导热的一种重要形式。瞬态导热的特点是边界条件及内热源不随时间 而变，而在过程起始时刻，物体内的温度场与该边界条件下的稳定温度场有差异，从而使物体 内的温度随时间而变化，当时间足够长时，物体内的温度分布达到该边界条件下的稳态温度 场。在过程开始时刻物体内的温度分布称为初始条件。瞬态导热是由于初始条件与同样条件 下的稳态温度场的差异而引起的，随着时间的推移，物体内的温度场与稳态温度场间的差异越 来越小。由此可知，对于有限大的物体而言，初始条件的影响只在一定时间内起作用 如果边界条件及（或）内热源随时间而变，那末物体内的温度场不可能达到稳定，但初始茶 件对温度场的影响仍只能在一有限时间内起作用，时间足够长后，温度场仅随边界条件或内热 源的变化而变。这种只依赖于边界条件或内热源的非稳态温度场，称为准稳态温度场。 综上所述，时间条件规定三方面内容： (1)过程是稳态过程或非稳态过程 (2)非稳态过程给出初始条件. (3)边界条件及内热源随时间的变化关系。 1.4.4边界条件 我们所研究的物体总是处于一定环境中，该物体与外部环境之间的换热条件称为边界条 件。物体内的导热过程和该物体与环境间的换热过程是互相影响的，因此，物体内的导热过程 和物体与环境间的换热组成一个耦合何题，严格地说，应将物体内的导热过程和它与外部环境 间的换热过程统一处理，以确定物体的温度扬，这样做，可以使温度场的解更符合实际，但它会 10