《高等传热学》课程教学资源（文献资料）三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解.pdf_大学文库

第3引卷第5期岩石力学与工程学报 Vol.31 No.5 2012年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May,2012 三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解胡向东2，注洋2 (1.同济大学地下建筑与工程系，上海200092：2.同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海200092) 滴要：基于水~热异类相似原理，根据传热过程与地下水流动相似的特点，利用水力学中速度势函数叠加原理验证了现有的单管、单排管及双排管冻结温度场解析解。进而针对三排管冻结，引入“遮挡系数”，类比推导排管冻结温度场解析解，并用热学数值模拟方法加以验证。研究结果表明，解析解计算结果与数值模拟结果较吻合，证明推导过程正确，为今后多排管冻结温度场解析解的推导提供一定的思路，得到的结果可靠，能为3排冻结管冻结设计施工提供理论指导。关键词：土力学：人工地层冻结：三排冻结管：温度场：解析解：势函数：水-热异类相似中图分类号：TU43 文献标识码：A 文章编号：1000-6915(201205-1071-10 ANALYTICAL SOLUTION OF THREE-ROW-PIPED FROZEN TEMPERATURE FIELD BY MEANS OF SUPERPOSITION OF POTENTIAL FUNCTION HU Xiangdong2,WANG Yang!.2 (ofGeotechnical Engineering Tongji University,Shangha,China 2.Key Laboratory and Underground Engineering of Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092,China) Abstract Based on the theory of analogy between thermal and hydraulic problems,using the superposition of potential function in hydraulics,this paper proved the existing analytical solutions of temperature field for the single-piped,single-row-piped and double-row-piped frozen soil walls.Further by using the coefficient of coverage,an analytical solution of three-row-piped frozen temperature field was also worked out.Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough and will afford some new thoughts in working out the analytical solution of multi-row-piped frozen temperature field, as well as some reasonable guidance in three-row pipe freezing projects. Key words:soil mechanics:artificial ground freezing:three-row-piped freezing:temperature field:analytica :potential function:thermal-ydraulicanaloy 施工中。然而，冻结法理论上还存在许多词题有结 1引言深入研究，如多3排及3排以上)冻结管温度场计算。冻结管温度场的计算是人工冻结法理论研究的人工地层冻结技术历史悠久，因冻土帷幕具有基础，也是冻结施工设计的重要依据。冻结温度场令人满意的封水效果、力学强度以及冻结法在环保的计算主要有解析法、模拟法以及数值分析方法等及安全方面的显著优越性而被广泛应用于地下工程 3种，而解析法始终是研究的一个重要部分。 -00-0.回日期金项目：国家自然科学基金资助项目505120.5117836 作者筒介：胡向1961-，男，1982年毕业于淮南矿业学院采矿工程系，现任别教授、博士生导师，主要从事隧道与地下工程方面的教学与研究工f作，Emal:anton.geotech@tongji.edu.cn ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.enki.net

第 31 卷第 5 期岩石力学与工程学报 Vol.31 No.5 2012 年 5 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May，2012 收稿日期：2011–09–29；修回日期：2012–03–28 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50578120，51178336) 作者简介：胡向东(1961–)，男，1982 年毕业于淮南矿业学院采矿工程系，现任副教授、博士生导师，主要从事隧道与地下工程方面的教学与研究工作。E-mail：anton.geotech@tongji.edu.cn 三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解胡向东 1，2 ，汪洋 1，2 (1. 同济大学地下建筑与工程系，上海 200092；2. 同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092) 摘要：基于水–热异类相似原理，根据传热过程与地下水流动相似的特点，利用水力学中速度势函数叠加原理，验证了现有的单管、单排管及双排管冻结温度场解析解。进而针对三排管冻结，引入“遮挡系数”，类比推导 3 排管冻结温度场解析解，并用热学数值模拟方法加以验证。研究结果表明，解析解计算结果与数值模拟结果较吻合，证明推导过程正确，为今后多排管冻结温度场解析解的推导提供一定的思路，得到的结果可靠，能为 3 排冻结管冻结设计施工提供理论指导。关键词：土力学；人工地层冻结；三排冻结管；温度场；解析解；势函数；水–热异类相似中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2012)05–1071–10 ANALYTICAL SOLUTION OF THREE-ROW-PIPED FROZEN TEMPERATURE FIELD BY MEANS OF SUPERPOSITION OF POTENTIAL FUNCTION HU Xiangdong1，2 ，WANG Yang1，2 (1. Department of Geotechnical Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education，Tongji University，Shanghai 200092，China) Abstract：Based on the theory of analogy between thermal and hydraulic problems，using the superposition of potential function in hydraulics，this paper proved the existing analytical solutions of temperature field for the single-piped，single-row-piped and double-row-piped frozen soil walls. Further by using the coefficient of coverage，an analytical solution of three-row-piped frozen temperature field was also worked out. Comparison of the analytical solution with the numerical thermal analysis shows that the analytical solution is precise enough and will afford some new thoughts in working out the analytical solution of multi-row-piped frozen temperature field， as well as some reasonable guidance in three-row pipe freezing projects. Key words：soil mechanics；artificial ground freezing；three-row-piped freezing；temperature field；analytical solution；potential function；thermal-hydraulic analogy 1 引言人工地层冻结技术历史悠久，因冻土帷幕具有令人满意的封水效果、力学强度以及冻结法在环保及安全方面的显著优越性而被广泛应用于地下工程施工中。然而，冻结法理论上还存在许多问题有待深入研究，如多排(3 排及 3 排以上)冻结管温度场计算。冻结管温度场的计算是人工冻结法理论研究的基础，也是冻结施工设计的重要依据。冻结温度场的计算主要有解析法、模拟法以及数值分析方法等 3 种，而解析法始终是研究的一个重要部分

1072. 岩石力学与工程学报 2012年早在20世纪中期开始，Hr.Tpynak川就提出了一些经典的人工地层冻结温度场解析解，例如单管冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双排管冻结温度场公式等并且沿用至今。在国内胡向东等对这些公式进行了完善与应用性研究。但多排管冻结温度场至今尚无解析解答，无法满足工程实际的需求。水力场与热力场的相似性，被广泛应用于相关的研究中。20世纪60年代，5.B.5axa1mP根据热力与水力相似的原理，采用水力学中阿·依·恰图】抽水井O的学模刑尔内关于理想孔间相互干扰的解答，得到了单却及双排直线型布置的冻结管交圈后形成的冻结盛温度场分布的解析解。本文基于水~热异类相似 9=2w出 (5) 原理，也采用水力学中多孔相互干扰问题中的速式中：q为单位时间单位长度的涌水量或灌水量( 度势叠加理论，来求解3排冻结管冻结交圈后形成为负值时)，r为任意一点到点。的距离。的冻结壁温度场分布。这样通过所求得的解析解能掌握三排直线型冻结管温度场的分布规律，可为今将式(4)代入式5)可得后工程中3排直线型冻结管的设计施工提供一定的品依据。分离变量积分可得平面上势的表达式为 2速度势 (7 “势”是表示一个量，这个量的梯度形成一个式中：C为由边界条件确定的积分常数场。势的概念常常和拉普拉斯方程联系在一起，常把拉普拉斯方程的解叫做势函数。在渗流力学中 3单管温度场解析解根据达西定律有若将点看作单根冻结管，则当r=(为单根 v= K dp u dr 1) 冻结管形成的冻土柱半径，见图2时，=0，令式中 ,K分别为渗流速度和渗透系数，均用米表式(7)中中=0可求得常数C的值，此时有征多孔介质和液体的渗滤能力：“为流体的黏度： 8 p为水头压力差。引讲一个新的量势9，通常又称为速度势，即 o-4p 将式(2)代入式(1)，有 v=-d (3) dx 对式(2)进行微分可得平面上存在一个点，所有流体流向这一点，并在此消失。这是点。处有一口井抽水的数学模图2单根冻结管及其恒定势能边界型。若在这一点周围画出以r为半径的圆周（见图1） Fig2 Single freezing pipe and its constant potential boundary 当其成平面径向流时流量为 21994-2016Chim Academic Jour al Eleetronic Publishing House. www.cnki.net

• 1072 • 岩石力学与工程学报 2012年早在 20 世纪中期开始，Н. Г. Трупак[1]就提出了一些经典的人工地层冻结温度场解析解，例如单管冻结温度场公式，单排管冻结温度场公式以及双排管冻结温度场公式[2]等，并且沿用至今。在国内，胡向东等[3-7]对这些公式进行了完善与应用性研究。但多排管冻结温度场至今尚无解析解答，无法满足工程实际的需求。水力场与热力场的相似性，被广泛应用于相关的研究中[2-8]。20 世纪 60 年代，Б. В. Бахолдин[2]根据热力与水力相似的原理，采用水力学中阿·依·恰尔内关于理想孔间相互干扰的解答，得到了单排及双排直线型布置的冻结管交圈后形成的冻结壁温度场分布的解析解。本文基于水–热异类相似原理，也采用水力学中多孔相互干扰问题中的速度势叠加理论，来求解 3 排冻结管冻结交圈后形成的冻结壁温度场分布。这样通过所求得的解析解能掌握三排直线型冻结管温度场的分布规律，可为今后工程中 3 排直线型冻结管的设计施工提供一定的依据。 2 速度势 “势”是表示一个量，这个量的梯度形成一个场。势的概念常常和拉普拉斯方程联系在一起，常把拉普拉斯方程的解叫做势函数。在渗流力学中，根据达西定律有 d d K p v  x   (1) 式中：v，K 分别为渗流速度和渗透系数，均用来表征多孔介质和液体的渗滤能力；  为流体的黏度； p 为水头压力差。引进一个新的量势[9]，通常又称为速度势，即 K  p   (2) 将式(2)代入式(1)，有 d d v x    (3) 对式(2)进行微分可得 d d K  p   (4) 平面上存在一个点 o，所有流体流向这一点，并在此消失。这是点 o 处有一口井抽水的数学模型。若在这一点周围画出以 r 为半径的圆周(见图 1)，当其成平面径向流时流量为图 1 抽水井 O 的数学模型 Fig.1 Mathematical model of pumping well O d 2 d K p q r  r   (5) 式中：q 为单位时间单位长度的涌水量或灌水量(q 为负值时)，r 为任意一点到点 o 的距离。将式(4)代入式(5)可得 d 2 d q r r    (6) 分离变量积分可得平面上势的表达式为 ln 2 q   r C  (7) 式中：C 为由边界条件确定的积分常数。 3 单管温度场解析解若将点 o 看作单根冻结管，则当 r = (为单根冻结管形成的冻土柱半径，见图 2)时，Φe= 0，令式(7)中 Φ = 0 可求得常数 C 的值，此时有 ln 2 q C     (8) 图 2 单根冻结管及其恒定势能边界 Fig.2 Single freezing pipe and its constant potential boundary

第31卷第5期胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 ·1073· 当r=r。为冻结管半径)时，冻结管壁上的势 2-=∑（地-） (12) 可以表示为 (9a) 式中：中，为第井单独工作时点M的势。将式(7，(8)代入式(12)有当P=时，有 (13) =是n5+C (9b) 式中：9，为每口井的单位水流量，为第1井到供给联立式(9a,(9b)可得边缘上距离点M最近的点E的距离，，为第i井到点M的距离（见图3）。式(13)即为多井干扰下任意 (9c) 一点势函数的表达式。由此可得 g=2-4) (9d 第将式(8)，(9c)代入式(7)可得 0)-n (10) 图3单排直线型冻结管及其恒定势能边界 Fig3 Single-row freezing pipes and their constant 根据理想流体流动过程与理想热传导过程相似 potential boundaries 原理，出水量q可类比于冻结管的单位热流量，而势能r),中，中类比于冻土导热系数分别与冻 5 单排与双排直线型冻结管温度场结壁中任意一点温度、冻结壁边界温度（假定为解析解 0℃)、冻结管壁温度1的乘积，将其代入式(10) 当无限多根冻结管为单排直线型布置（见图3）即可得到单管冻结温度场解析解公式为 )=0- 时，类比于水力学中势叠加原理，以冻结管圆心的 11a 连线作为坐标系横轴，利用式(13)可以得到一排直线型冻结管冻结温度场内任意一点M的势函数表达式：化简可得 E+x-0 I(r)=ler (11b) 式中：中为坐标x,)即冻结壁边缘上任意一点的式(1Ib)为特鲁巴克单管冻结温度场公式势，理想状态下为0：1为相邻两冻结管之间的距离：对于直线型排布的冻结管，每根冻结管的单位 4 速度势叠加理论热流量都相同，即q9=…=q=-q,因此式(14) 可改写为在水力学中，有若干井同时工作时，由于每一口井的工作都会影响到地层内各点压力降低，对地根据贝塞特求和公式，层任一点M而言，所形成的压降PP相应于势差中-D。当有n口井同时工作时，地层中任一点M 的压降，应为各井单独工作时对点M引起压降的立w+-1-n(】总和©，即 (16a) 994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net

第 31 卷第 5 期胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 • 1073 • 当 r = r0(r0为冻结管半径)时，冻结管壁上的势可以表示为 CT 0 ln 2 q    r C  (9a) 当 r =  时，有 e ln 2 q     C  (9b) 联立式(9a)，(9b)可得 e CT 0 ln 2 q r      (9c) 由此可得 e CT 0 2( ) ln q r       (9d) 将式(8)，(9c)代入式(7)可得 e CT 0 ( ) ln ln r r r        (10) 根据理想流体流动过程与理想热传导过程相似原理，出水量 q 可类比于冻结管的单位热流量，而势能 Φ(r)，Φe，ΦCT类比于冻土导热系数分别与冻结壁中任意一点温度 t(r)、冻结壁边界温度(假定为 0 ℃)、冻结管壁温度 tCT的乘积[8]，将其代入式(10) 即可得到单管冻结温度场解析解公式为 CT 0 0 ( ) ln ln t r t r r       (11a) 化简可得 CT 0 ln ( ) ln r tr t r    (11b) 式(11b)为特鲁巴克单管冻结温度场公式[1]。 4 速度势叠加理论在水力学中，有若干井同时工作时，由于每一口井的工作都会影响到地层内各点压力降低，对地层任一点 M 而言，所形成的压降 pepM相应于势差 ΦeΦM。当有 n 口井同时工作时，地层中任一点 M 的压降，应为各井单独工作时对点 M 引起压降的总和[10]，即 e e 1 ( ) n M i Mi i        (12) 式中：Mi 为第 i 井单独工作时点 M 的势。将式(7)，(8)代入式(12)有 e 1 1 ln 2 n i Mi i i i q r        (13) 式中：qi为每口井的单位水流量，i为第 i 井到供给边缘上距离点 M 最近的点 E 的距离，ri为第 i 井到点 M 的距离(见图 3)。式(13)即为多井干扰下任意一点势函数的表达式。图 3 单排直线型冻结管及其恒定势能边界 Fig.3 Single-row freezing pipes and their constant potential boundaries 5 单排与双排直线型冻结管温度场解析解当无限多根冻结管为单排直线型布置(见图 3) 时，类比于水力学中势叠加原理，以冻结管圆心的连线作为坐标系横轴，利用式(13)可以得到一排直线型冻结管冻结温度场内任意一点 M 的势函数表达式： 2 2 e 2 2 1 () ( ) ln 2 () i x il xy q y x il            ，  (14) 式中：Φe 为坐标(x，)即冻结壁边缘上任意一点的势，理想状态下为 0；l 为相邻两冻结管之间的距离。对于直线型排布的冻结管，每根冻结管的单位热流量都相同，即 q1=q2=…=qi =…=q，因此式(14) 可改写为 2 2 2 2 e ( ) ( ) ln 4 () q y x il x y x il            ，  (15) 根据贝塞特求和公式[11]： 2 2 2 2 ln[ ( ) ] ln ch cos y x y x il l l                    (16a) o

• 1074 • 岩石力学与工程学报 2012年式(15)可改写成 e 2 2 ch cos ( ) ln 4 2 2 ch cos y x q l l x y x l l             ， (16b) 当 x = 0，y = r0时，管壁上一点 Φ(0，r0)的值为 0 0 e 2 ch 1 (0 ) ln 4 2 ch 1 r q l r l           ， (17a) 由于 ch(2x) = 2sh2 x+1，因此式(17a)可改写为 2 0 0 e 2 sh (0 ) ln 4 sh r q l r l         ， (17b) 故 e 0 0 2 (0 ) sh ln sh r q l r l          ， (18a) 由于 0r l >1，故有 2 2 2 2 e2 ln ch cos ln ch ln ln 2 2 l x ll l l            (19) 为此式(16)可改写为 2 22 ( ) ln ch cos ln 2 4 q yx x y l ll                     ， (20) 应注意到 Φ(x，y)，Φe，Φ(0，r0)分别类比于冻结温度 t(x，y)、冻结壁边界温度(假定为 0 ℃)、tCT 与导热系数之积[8]，并将式(18c)代入到式(20)，整理可得一排直线型冻结管温度场内任意一点温度表达式： CT 0 ( ) ln 2 t tx y A l l r l               ， (21) 其中， 1 22 ln 2 ch cos 2 y x A l l              式(21)即为巴霍尔金单排温度场解析解[2]。当无限多根冻结管为双排直线型对齐排布(见图 4)时，同样可以通过势叠加原理，以第一排冻结管所在的直线作为坐标横轴，利用式(13)可以得到双排直线型冻结温度场内任意一点 M 的势函数表达式为 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 () q y x il x y x il           ，  2 2 2 2 2 e ( )( ) 4 ( )( ) q y L x il L x il            (22) 式中：q1为第一排冻结管与土体之间单位热交换量， q2 为第二排冻结管与土体之间单位热交换量，且有 q1=q2；L 为 2 排冻结管之间的间距。图 4 双排直线型对齐排布冻结管及其恒定势能边界 Fig.4 Aligned double-row freezing pipes and their constant potential boundaries 根据贝塞特求和公式，式(22)可改写为  ( ) x，y  e 2 2 2( ) 2 ch cos ch cos ln 4 2 2 2( ) 2 ch cos ch cos y x yL x q ll l l x Lx lll l                        (23) o

第 31 卷第 5 期胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 • 1075 • 同样地，根据冻结管壁上一点(0，r0)的速度势求出热流量 q 的表达式，化简步骤与一排直线型冻结管情形下相似，因此不再赘述。由此可得 e0 e0 0 0 2 (0 ) 2 (0 ) 1 1 2 e e ln 2 2 2 ln 1 e 2 L l l L l r r q l l r r l                     ，， (24) 对式(23)进行简化，化简过程与一排直线型冻结管情形相似，由此可得 2 2 2( ) ( ) ln ch cos ch 4 q y x yL x y ll l                  ， 2 2 (2 ) cos ln 4 x L l l             (25) 注意到 Φ(x，y)，Φe，Φ(0，r0)分别为冻结温度 t(x，y)、冻结壁边界温度(假定为 0 ℃)、tCT与导热系数之积[8]，并将式(24)代入式(25)可以得到双排直线型冻结管温度场内任意一点温度表达式为 CT 0 2 ln 2 xy t L t B l l r l                 (26a) 其中， B  1 2 2 2( ) 2 ln 4 ch cos ch cos 2 y x yL x ll l l                      (26b) 式(26a)即为对齐排布下巴霍尔金双排温度场公式[2]。若以 2 排冻结管的对称轴作为坐标系横轴(x，见图 4)，则可用 yL/2 来代替 y，由此可得 B 的表达式为 2 1 2 2 ln 4 ch cos 2 L y x B l l                        2 2 2 ch cos L y x l l                      (26c) 对于双排冻结管交错排布的情况(见图 5)，式(22) 可改写为图 5 双排直线型交错排布冻结管及其恒定势能边界 Fig.5 Staggered double-row freezing pipes and their constant potential boundaries 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 () q y x il x y x il           ，  2 2 2 2 e 2 ( ) 2 4 ( ) 2 l y L x il q l L x il                          (26d) 其余化简过程相似，因此得到的 B 的表达式为 2 1 2 2 ln 4 ch cos 2 L y x B l l                                2 2 2 ch cos L y x l l                        (26e) 6 3 排直线型管冻结温度场解析解当无限多根冻结管为 3 排直线型对齐排布(见图 6)时，利用势叠加原理，以第一排冻结管圆心的连线作为坐标系横轴，根据式(13)可得 3 排直线型冻结温度场内任意一点 M 的势函数表达式为 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 () q y x il x y x il           ，  2 2 2 2 2 ( )( ) 4 ( )( ) q y L x il  L x il          2 2 3 2 2 e ( 2) ( ) 4 ( 2) ( ) q y L x il L x il            (27) o

• 1076 • 岩石力学与工程学报 2012年图 6 3 排直线型对齐排布冻结管及其恒定势能边界 Fig.6 Aligned three-row freezing pipes and their constant potential boundaries 式中：q3为第三排冻结管与土体之间单位热交换量。由于对称性，第一、三排冻结管与土体之间的单位热交换量相等，而对于第二排的冻结管而言，由于第一、三排冻结管的遮挡效应，第二排冻结管与土体之间的热交换量比第一、三排都少，因此引入一个遮挡效应系数，有：q1=q3，q2=q1=q3。现探求遮挡效应系数的计算方法[12]。以第二排冻结管圆心的连线作为对称轴，对称轴两边温度场的排布完全相同，取其中一半作为研究对象，同理用贝塞特公式进行化简，则任意一点的势函数表达式为 1 2 2 ch cos ( ) ln 4 2 2 ch cos y x q l l x y x l l            ， 2 e 2 2 ch cos 2 ln 4 2 2 ch cos q yL x l l L x l l               (28a) 为了确定 q1与 q2的比值，可考察第一排冻结管管壁上的点(0，r0)与第二排冻结管管壁上的点(0， r0L)，即分别有 0 1 0 2 ch 1 (0 ) ln 4 2 ch 1 r q l r l          ， 2 0 e 2 ch 1 2 ln 4 2 ch 1 q r L l L l             (28b) 0 1 0 2( ) ch 1 (0 ) ln 4 2 ch 1 r L q l r L l            ， 2 0 e 2 ch 1 2 ln 4 2( ) ch 1 q r l L l          (28c) 由于这 2 点都是冻结管壁上的点，因此势是相等的，即 (0，r0)= (0，r0L)，这样即可得到 q1 与 q2的比值，又考虑到 ch(2x) = 2sh2 x+1，因此可得到遮挡效应系数的表达式为 0 2 1 0 2 sh sh ln 2 sh sh 2 2 sh sh ln 2 sh sh r L l l L q l l q r L l l L L l l                    (29a) 由于 2 ( 2) 1 sh e 2 L l L l         ，且 0 0 sh r r l l    ，化简后可得 ( 2) 0 2 ( 2) 0 2( ) 1 e ln ln 2 e 2 1 e ln ln 2 e L l L l l L l L L l l r l r l                                                         (29b) 即 0 0 2ln 2 2 ln 2 l r L l l r       (29c) 因此将式(27)利用贝塞特公式简化后可得 1 2 2 ch cos ( ) ln 4 2 2 ch cos y x q l l x y x l l                 ， 2 2 ch cos 2 2 ch cos yL x l l L x l l                        e 2( 2) 2 ch cos 22 2 ch cos yL x l l L x l l                 (30) o

第 31 卷第 5 期胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 • 1077 • 同样地用冻结管壁上一点(0，r0)的势 Φ(0，r0)求得冻结管单位热流量 q1，可得 0 ( ) ( 2) 2 2 0 2 [ (0 )] 11 1 ee e 22 2 ln 11 1 ee e 22 2 e L L ll l LL L ll l r q r l                             ， e 0 o 2 [ (0 )] (2 ) ln 2 r l l r           ， (31) 将式(30)按照单排管解析解推导过程简化，并将式(31)代入到(30)中，可得 3 排冻结管温度场解析解的最终表达式为 CT 0 (2 ) ( ) ( ) (2 ) ln 2 t L tx y C l l l r                  ， (32a) 其中， 1 22 (2 ) ln 2 ch cos 2 y x C l l              2 2 22 2 ch cos ch cos yL x y L x ll l l                       (32b) 若以第二排冻结管圆心的连线作为坐标横轴 (x，见图 6)，即用 yL 代替式(32b)中的 y，可得 C 的表达式为 1 2( ) 2 (2 ) ln 2 ch cos 2 yL x C l l               22 2 2 ch cos ch cos y x yL x ll l l                     (32c) 图 7 给出了 3 排直线型交错排布冻结管及其恒定势能边界。其推导过程与 3 排冻结管对齐排布是一样的，因此本文不再重复，只给出交错排布下 3 排冻结管温度场解析解的表达式： CT 0 (2 ) ( ) ( ) (2 ) ln 2 t L tx y C l l l r                  ， (33a) 其中，图 7 3 排直线型交错排布冻结管及其恒定势能边界 Fig.7 Staggered three-row freezing pipes and their constant potential boundaries 1 2( ) 2 (2 ) ln 2 ch cos 2 yL x C l l                2 2 2( ) 2 ch cos ch cos y x yL x ll l l                  (33b) 为了便于书写，可以把对齐排布与交错排布解析解表达式统一起来，即 CT 0 (2 ) ( ) ( ) (2 ) ln 2 t L tx y C l l l r                  ， (34a) 其中， 1 2( ) 2 (2 ) ln 2 ch cos 2 yL x C l l                2 2 2( ) 2 ch cos ch cos y x yL x ll l l                   (34b) 当 3 排冻结管对齐排布时， = 1；当为中间一排冻结管错开排布时， =1。根据得到的解析解绘制出的温度场形象如图 8 所示。 7 解析解与数值解的对比数值结果能较好地反映人工冻结温度场分布，故本文用热力学数值计算来检验解析解计算结果(以对齐排布情况为例)。采用 ANSYS 软件进行稳态导热数值计算。参数的选择上，针对 3 排冻结管布置，主要参数是管间距 l 与排间距 L 及其比值 l/L，以及排外冻土厚度

• 1078 • 岩石力学与工程学报 2012年 (a) 冻结管对齐排 (b) 冻结管交错排列图 8 温度场示意图 Fig.8 Sketch of temperature fields ξ。工程上常取 L=1.0～1.6 m，限于篇幅，本文提供 L = 1.0 和 1.6 m 这 2 种情况的计算结果。工程上常用的 l/L 为 0.5～1.0。对于 L=1.0 m 的情况，l/L 分别取 0.50，0.80 和 1.00 进行数值计算；对于 L=1.6 m 的情况，l/L 分别取 0.50，0.75 和 1.00 进行数值计算。对于排外冻土厚度 ξ，取 ξ/l 为具有代表性的 1.5 进行计算，即每种情况下 ξ = 1.5l。冻结管表面温度和冻结管半径取工程中常用值，即 tCT = 30 ℃， r0= 0.054 m。由于 3 排管冻结温度场横向沿第二排冻结管中心连线(称“轴面”)具有对称性，纵向具有周期性，因此存在一个周期对称重复的区域，即由主面、界面、轴面和冻土边界围成的区域(其中主面、界面和轴面的定义，以及该重复区域如图 6 所示)。在建立计算模型和进行网格划分时，只需取该重复区域(包含第一排半根冻结管和第二排 1/4 冻结管)即可(见图 9)。根据对称性和周期性，计算后便可获得整个温度场数值。因此，模型的边界条件为：最上边是冻土边界的温度，即 0 ℃；而下、左、右边分别对应 3 排冻结管温度场中的轴面、主面和界面，均为绝热边界。 X Y Z (a) 网格划分图 (b) 温度云图图 9 有限元网格划分图及温度云图 Fig.9 Finite element mesh figure and color map of temperature fields 解析解与数值计算结果对比如图 10 所示。 (a) L=1.0 m，l/L=0.50 (b) L=1.0 m，l/L=0.80 －35 －30 －25 －20 －15 －10 －5 0 －3 －2 －1 0 1 2 3 主面数值计算主面解析解计算界面数值计算界面解析解计算冻结管 y/m t/℃ －35 －30 －25 －20 －15 －10 －5 0 －2 －1 0 1 2 y/m t/℃ 主面数值计算主面解析解计算界面数值计算界面解析解计算冻结管单位：℃ 温度/℃ 温度/℃ －30 －28.5 －22 －10 0 －29.9 －26 －16 －5

第 31 卷第 5 期胡向东等：三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 • 1079 • (c) L=1.0 m，l/L=1.00 (d) L=1.6 m，l/L=0.50 (e) L=1.6 m，l/L=0.75 (f) L=1.6 m，l/L=1.00 图 10 解析解与数值计算结果对比 Fig.10 Comparisons between analytical solution and numerical solution 由图 10 可见，无论排距 L 以及 l/L 怎样变化，数值解计算结果与解析解计算结果始终能很好地吻合，说明热力学中多排冻结管温度场分布问题可以用水力学中的问题类比解决，并能得到较好的效果。从主面解析解曲线图像中可以看出，排内冻土在靠近第二排冻结管的点温度较靠近第一、三排冻结管的点温度要低，即第一、二排之间的冻土温度分布是不对称的。这与实际情况也较为吻合，因为排内的冻土越往外，受到外界热源的影响越大，而越往内，受到的热影响越小。当管间距较小时，界面上最低温度与主面上最低温度相差较小，说明冻结管间距较小时，排内冻土温度梯度不大，这也与实际情况较为吻合。 8 结论 (1) 基于水–热异类相似原理，通过类比利用水力学中势叠加原理，推导得到 3 排直线型冻结管温度场分布的解析解公式。 (2) 在探求最外排与中间排冻结管热交换量时，引入遮挡效应系数，得到最外排冻结管与中间排冻结管热交换量比值，能有效地将内外排冻结管与冻土热交换量区别开来，客观反映了实际情况。 (3) 将解析解计算结果与数值计算结果相对比，发现两者吻合得很好，说明此解析解具有足够的正确性，在工程应用中具有足够的精度，为今后－35 －30 －25 －20 －15 －10 －5 0 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 主面数值计算主面解析解计算界面数值计算界面解析解计算冻结管 y/m t/℃ －35 －30 －25 －20 －15 －10 －5 0 －3 －2 －1 0 1 2 3 主面数值计算主面解析解计算界面数值计算界面解析解计算冻结管 y/m t/℃ －35 －30 －25 －20 －15 －10 －5 0 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 主面数值计算主面解析解计算界面数值计算界面解析解计算冻结管 y/m t/℃ －35 －30 －25 －20 －15 －10 －5 0 －3 －2 －1 0 1 2 3 主面数值计算主面解析解计算界面数值计算界面解析解计算冻结管 y/m t/℃

·1080. 岩石力学与工程学报 2012年 3排直线型冻结管冻结设计以及探求3排直线型冻 2010.32(4):778 785.(HU Xiangdong.Average temperature 结管温度场分布的特征提供一定的理论指导。 of Glaciology and Geocryology,2010,32(4):778-785.(in Chinese) 参考文献(References): 门)胡向东，何挺秀.多排管直线冻士墙平均温度的等效梯形计算 [1]TPYTIAK H F.3aM 方法U煤炭学报，2009,34(11)：1465-1469.HU Xiangdong CTHoao8[M].Mockaa:ymmerexiranar.1954:110-117. HE Equivalent-raeid methd of average temp calculation for multi-row-pipe straight frozen soil wall[J].Journal o China Coal Socicty.2009.3401:1 465-1469(in Chinese)) 21-27 [8)骑家杰.特殊凿并M1北京：煤炭工业出版社，1981：74 3引胡向东，黄峰，白楠.考虑土层冻结温度时人工冻结温度场模型.中国矿业大学学报：自然科学版，2008,374：50-555H China Coal Industry Press.1981:74-77.(in Chinese)) Xianedone.HUANG Fene.BAI Nan.Models of artificial frozer 葛家理。现代油藏渗流力学原理，北京：石工业出版社 2001:69(GE Jiali.Modem reservoir seepage flow mechanics University of Mining and Technology:Natural Science.2008.37(4) 550 =555 (in Chinese)) Chinese》 4胡向东，白楠，余锋.单排管冻结温度场Tupk和Bakholdin [I0]CHARNYYA.地下水气动力M陈钟样，郎兆新，译.北京公式的适用0同济大学学报：自然科学，200837906-910，石油工业出版社，I982:129-133.(CHARNY Y A.Underground (HU Xiangdong.BAI Nan,YU Feng.Analysis of Trupak and ydrogs by CHEN Zhongxiang.LANG Bakholdin Formulas for tem rature field of sinels-row-pipe frozen Zhaoxin.Beijing:Petroleum Industry Press.1982:129-133.(in 367:906-910.(in Chinese》 [11]WILLIAM H.Reservoir engineering and conformal mapping of oil 5]HU X D.Average temperature model of double-row-pipe (M]Tul The Petroleum Publishing Company,1979 wall by equivalent trapezoid methodfCU/Proceedings of the Second 115-11&. Intemnational Symposiur on Computational Mechanics and the CRIST正AN.地下水力学（下历M刘宁，叶诗美，王兼身，译 Twelfth International Conference on the Enha nt and Promoti 北京：中国工业出版社，1964：297-302.(CRISTEA N,Hydraulica of Computational Methods in Engineering and Science.New York (Vol.)M]by LU Weining.YE Shmei,WANG American International of Physics.2009:1 333-1 338. Jianshen.Beijing:China Industry Press.1964:297-302.(in 6胡向东.直线形单排管流土唯幕平均温度计算方法)冰川冻土 Chinese) 21994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

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